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% Commandes et opérateurs utiles

\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
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\newcommand{\Poisson}{\; \propto \hspace{-0.96em} \cdot \hspace{0.5em}}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
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\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\hat}{\widehat}

\newcommand{\cov}[2]{\Cov\parentheses*{#1, #2}}
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% Gestion de l'affichage des solutions avec le package comment

% Nouveaux compteurs pour avoir une numérotation des équations indépendante dans les solutions

\newcounter{aux}
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% Définition d'un environnement sol qui peut être commenté à loisir ci-dessous
% La numération des équations est indépendantes et en chiffres romains dans les solutions

\specialcomment{sol}{
	\setcounter{aux}{\value{equation}}
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%\excludecomment{sol}

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% Informations du document

\author{Thomas Letendre}
\date{2025 -- 2026}
\title{Feuille 4 -- Fonction caractéristique et convergence en loi}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Mise en page de l'en-tête

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\thispagestyle{fancy}

\lhead{Université de Rennes, 2025--2026}
\rhead{Probabilités et Statistiques pour la Science des Données}

\makeatletter

\begin{center}
\begin{Large}
\@title
\end{Large}
\end{center}

\hrule

\vspace{1ex}

\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Début du corps du texte

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dans cette feuille, toutes les variables aléatoires sont définies sur un espace de probabilité $\parentheses*{\Omega,\cA,\P}$.

Si $X$ est une variable aléatoire réelle, on note $\phi_X:\R \to \C$ sa fonction caractéristique. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Fonction caractéristique et transformation affine]
\label{exo: transformation affine}

Soit $X$ une variable aléatoire réelle. Soient $a,b \in \R$ et $Y =a X+b$. Montrer que, $\forall t \in \R$, $\phi_Y(t) = e^{itb}\phi_X(at)$.

\begin{sol}

Soit $t \in \R$, on peut calculer directement:
\begin{equation*}
\phi_Y(t) =\esp{e^{itY}} = \esp{e^{it(aX+b)}} = \esp{e^{itaX}e^{itb}} = e^{itb}\esp{e^{i(at)X}}=e^{itb}\phi_X(at).
\end{equation*}

\end{sol}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Fonction caractéristique et somme indépendante]
\label{exo: somme independante}

Soient $n \in \N^*$ et $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires réelles indépendantes. On note $S= \sum_{k=1}^n X_k$, montrer que $\phi_S = \prod_{k=1}^n \phi_{X_k}$.

\begin{sol}

De nouveau, on calcule directement, en utilisant l'indépendance. Pour tout $t \in \R$,
\begin{equation*}
\phi_S(t) = \esp{e^{itS}} = \esp{\exp\parentheses*{it\sum_{k=1}^n X_k}} = \esp{\prod_{k=1}^n e^{itX_k}} = \prod_{k=1}^n\esp{e^{itX_k}} = \prod_{k=1}^n \phi_{X_k}(t).
\end{equation*}

\end{sol}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Fonction caractéristiques usuelles]
\label{exo: fonction carac usuelles}

Déterminer la fonction caractéristique de la variable aléatoire réelle $X$ dans chacun des cas suivants.

\begin{enumerate}

\item $X$ est constante égale à $c \in \R$.

\begin{sol}

On est dans le cas d'une variable discrète telle que $\P(X=c)=1$. On a donc, pour tout $t \in \R$, $\phi_X(t) = \esp{e^{itX}} = e^{itc}$. En particulier, si $c=0$, alors $\phi_X$ est constante à $1$. Le cas $c=0$ et l'exercice~\ref{exo: transformation affine} permettent de retrouver le cas $c$ quelconque.

\end{sol}

\item $X \sim \cB(p)$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p \in [0;1]$.

\begin{sol}

Pour tout $t \in \R$, on a
\begin{equation*}
\phi_X(t) = \esp{e^{itX}} = e^{it0}\P(X=0) + e^{it1}\P(X=1) = 1(1-p) + e^{it}p = 1 +p(e^{it}-1).
\end{equation*}
Pour $p=0$ ou $p=1$, on retrouve le cas d'une v.a.r. constante (à $0$ ou $1$ respectivement) et le résultat est cohérent avec la question précédente.

\end{sol}

\item $X \sim \cB(n,p)$ suit une loi binomiale de paramètres $n \in \N^*$ et $p \in [0;1]$.

\begin{sol}

\emph{Méthode 1.} On peut faire un calcul direct. Pour tout $t \in \R$,
\begin{align*}
\phi_X(t) &= \esp{e^{itX}} = \sum_{k=0}^n e^{itk}\P(X=k) = \sum_{k=0}^n e^{itk}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(pe^{it})^k(1-p)^{n-k}\\
&= \parentheses*{pe^{it}+(1-p)}^n =  \parentheses*{1 + p(e^{it}-1)}^n.
\end{align*}

\emph{Méthode 2.}  On peut utiliser la description de la loi binomiale comme somme de Bernoulli indépendantes. Soit $Y_1,\dots,Y_n$ des v.a.i.i.d. de loi $\cB(p)$. On sait que $Y = \sum_{k=1}^n Y_k\sim\cB(n,p)$. Par ailleurs, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire ne dépend que de sa loi. En utilisant l'indépendance des $(Y_k)_{1 \leq k \leq n}$ et l'exercice~\ref{exo: somme independante}, il vient $\phi_X=\phi_Y = \prod_{k=1}^n \phi_{Y_k} = \parentheses*{\phi_{Y_1}}^n$ puisque les $(Y_k)_{1 \leq k \leq n}$ sont de même loi. Par la question précédente, pour tout $t \in \R$,
\begin{equation*}
\phi_X(t) = \parentheses*{1 +p(e^{it}-1)}^n.
\end{equation*}

De nouveau, on observe que pour $p=0$ ou $p=1$ ou $n=1$, on retrouve les résultats des questions précédentes.

\end{sol}

\item $X \sim \cG(p)$ suit une loi géométrique de paramètre $p \in\, ]0;1]$.

\begin{sol}

Pour tout $t \in \R$, on a
\begin{align*}
\phi_X(t) &= \esp{e^{itX}} = \sum_{k \in \N^*} e^{itk}\P(X=k) = \sum_{k \in \N^*} e^{itk}p(1-p)^{k-1} = pe^{it}\sum_{k \in \N^*} \parentheses*{e^{it}(1-p)^{k-1}}\\
&= pe^{it}\sum_{j \in \N} \parentheses*{e^{it}(1-p)^j} = \frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}.
\end{align*}

\end{sol}

\item $X \sim \cE(\lambda)$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$.

\begin{sol}

On peut faire un calcul direct, cette fois dans le cas d'une variable à densité. Soit $t \in \R$,
\begin{align*}
\phi_X(t) &= \esp{e^{itX}} = \int_0^{+\infty} e^{itx} \lambda e^{-\lambda x} \dx x = \lambda \int_0^{+\infty} e^{(it-\lambda)x} \dx x = \lambda \squarebrackets*{\frac{e^{(it-\lambda)x}}{it-\lambda}}_{x=0}^{+\infty}\\
&= \lambda\parentheses*{\lim_{x \to +\infty}\frac{e^{(it-\lambda)x}}{it-\lambda}} - \lambda\frac{1}{it-\lambda} = \frac{\lambda}{\lambda-it} + \lambda \lim_{x \to +\infty}\frac{e^{(it-\lambda)x}}{it-\lambda}.
\end{align*}
Pour tout $x \in \R$, on a $\norm*{\frac{e^{(it-\lambda)x}}{it-\lambda}} = \frac{\norm{e^{itx}e^{-\lambda x}}}{\norm{it-\lambda}} = \frac{e^{-\lambda x}}{t^2+\lambda^2} \xrightarrow[x \to +\infty]{}0$. A fortiori, $\frac{e^{(it-\lambda)x}}{it-\lambda} \xrightarrow[x \to +\infty]{}0$. Donc, pour tout $t \in \R$, $\phi_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda-it}$.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Fonction caractéristique des gaussiennes]
\label{exo: gaussiennes}

Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\gauss{0}{1}$.

\begin{enumerate}

\item Justifier que $\phi_X:\R \to \C$ est de classe $\cC^\infty$, et rappeler l'expression de ses dérivées successives.

\begin{sol}

D'après le cours, si une variable aléatoire est $L^p$ pour $p \in \N^*$, alors sa fonction caractéristique est de classe $\cC^p$. Ici, on sait que $X \in L^p(\Omega)$ pour tout $p \in \N^*$, donc $\phi_X \in \cC^p(\R)$ pour tout $p \in \N^*$, c'est-à-dire $\phi_X \in \cC^\infty(\R)$.

Par ailleurs, le cours dit qu'on obtient les dérivées successives de $\phi_X$ en dérivant dans l'espérance. Pour tout $p \in \N$, pour tout $t \in \R$, $\phi_X^{(p)}(t) = \esp{(iX)^p e^{itX}}$.

\end{sol}

\item En intégrant par parties, montrer que $\forall t \in \R$, $\phi_X'(t)=-t\phi_X(t)$.

\begin{sol}

Soit $t \in \R$, on cherche à relier $\phi_X'(t)$ à $\phi_X(t)$. On a
\begin{equation*}
\phi'_X(t) = \esp{iX e^{itX}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\R ix e^{itx} e^{-\frac{x^2}{2}}\dx x = \frac{i}{\sqrt{2\pi}} \int_\R xe^{-\frac{x^2}{2}}e^{itx} \dx x.
\end{equation*}
Comme $x \mapsto e^{itx}$ et $x \mapsto e^{-\frac{x^2}{2}}$ sont de classe $\cC^1$, pour tout $M>0$, par intégration par parties,
\begin{multline*}
\int_{-M}^M xe^{-\frac{x^2}{2}}e^{itx} \dx x = \squarebrackets*{-e^{-\frac{x^2}{2}}e^{itx}}_{x=-M}^M + \int_{-M}^M e^{-\frac{x^2}{2}}it e^{itx}\dx x\\
=\parentheses*{e^{-iMt}-e^{iMt}} e^{-\frac{M^2}{2}} + it\int_{-M}^M e^{itx}e^{-\frac{x^2}{2}} \dx x=-2i\sin(Mt) e^{-\frac{M^2}{2}}+ it\int_{-M}^M e^{itx}e^{-\frac{x^2}{2}} \dx x.
\end{multline*}
En faisant $M \to +\infty$, on obtient
\begin{equation*}
\int_\R xe^{-\frac{x^2}{2}}e^{itx} \dx x = it\int_\R e^{itx}e^{-\frac{x^2}{2}} \dx x,
\end{equation*}
d'où, pour tout $t \in \R$,
\begin{equation*}
\phi_X'(t) = \frac{-t}{\sqrt{2\pi}}\int_\R e^{itx}e^{-\frac{x^2}{2}} \dx x = -t \esp{e^{itX}} = -t\phi_X(t).
\end{equation*}

\end{sol}

\item En déduire l'expression de $\phi_X$.

\begin{sol}

La fonction $\phi_X$ est solution sur $\R$ de l'équation différentielle suivante d'inconnue $y:\R \to \C$
\begin{equation*}
\forall t \in \R, \qquad y'(t) = -ty(t).
\end{equation*}
Une primitive de $t \mapsto -t$ étant $t \mapsto -\frac{t^2}{2}$, les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme $y:t \mapsto Ce^{-\frac{t^2}{2}}$ avec $C \in \C$. Il existe donc $C \in \C$ tel que $\phi_X:t \mapsto C e^{-\frac{t^2}{2}}$. Comme par ailleurs $\phi_X(0)=1$, on a $C=1$, et finalement, $\phi_X:t\mapsto e^{-\frac{t^2}{2}}$.

\end{sol}

\item Soient $\mu \in \R$, $\sigma>0$ et $Y \sim \gauss{\mu}{\sigma^2}$. Déterminer l'expression de $\phi_Y$.

\begin{sol}

On rappelle que $\sigma X + \mu \sim \gauss{\mu}{\sigma^2}$. Comme la fonction caractéristique ne dépend que de la loi, on peut utiliser le résultat de l'exercice~\ref{exo: transformation affine} pour calculer. Pour tout $t \in \R$, on a
\begin{equation*}
\phi_Y(t) = \phi_{\sigma X+\mu}(t) = e^{it\mu}\phi_X(\sigma t) = e^{it\mu} e^{-\frac{\sigma^2t^2}{2}} = e^{it\mu - \frac{t^2}{2}\sigma^2}.
\end{equation*}

\end{sol}

\item Soient $n \in \N^*$, $\mu_1,\dots,\mu_n \in \R$ et $\sigma_1,\dots,\sigma_n \in\, ]0;+\infty[$. Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables indépendantes telles que, $\forall k \in \ssquarebrackets{1}{n}$, $X_k \sim \gauss{\mu_k}{\sigma_k^2}$. Déterminer la loi de $S= \sum_{k=1}^n X_k$.

\begin{sol}

On calcule la fonction caractéristique de $S$. Pour tout $t \in \R$, d'après l'exercice~\ref{exo: somme independante},
\begin{equation*}
\phi_S(t) = \prod_{k=1}^n \phi_{X_k}(t) = \prod_{k=1}^n e^{it\mu_k-\frac{t^2}{2}\sigma_k^2} = \exp\parentheses*{it\parentheses*{\sum_{k=1}^n \mu_k}-\frac{t^2}{2}\parentheses*{\sum_{k=1}^n \sigma_k^2}}.
\end{equation*}
On reconnait la fonction caractéristique d'une variable $\gauss{\mu}{\sigma^2}$, où on a posé $\mu = \sum_{k=1}^n \mu_k$ et $\sigma = \sqrt{\sum_{k=1}^n \sigma_k^2}$. Comme la fonction caractéristique détermine totalement la loi d'une variable aléatoire, on a $S \sim \gauss{\mu}{\sigma^2}$.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Un exemple de convergence en loi]
\label{exo: ex CVL}

Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\cU([0;1])$. Pour tout $n \in \N^*$, soit $X_n \sim \cU\parentheses*{\brackets{\frac{k}{n}\mid k \in \ssquarebrackets{1}{n}}}$. Montrer que $X_n \CVL{n \to+\infty} X$.

\begin{sol}

On propose deux méthodes. La première utilise directement la définition de la convergence en loi. La seconde utilise la convergence simple de la fonction caractérisitique.

\emph{Méthode 1.} Soit $f:\R \to \R$ continue et bornée. On a $\esp{f(X)} = \int_0^1 f(x) \dx x$ et, pour tout $n \in \N^*$, $\esp{f(X_n)} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n})$. On reconnait une somme de Riemann. Comme $f$ est continue sur $[0;1]$, on a
\begin{equation*}
\esp{f(X_n)} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\parentheses*{\frac{k}{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^1 f(x) \dx x=\esp{f(X)}.
\end{equation*}
C'est valable pour tout $f \in \cC_b^0(\R)$, donc $X_n \CVL{n\to +\infty} X$.

\emph{Méthode 2.}
D'après le cours, il s'agit de montrer que $\parentheses*{\phi_{X_n}}_{n \in \N^*}$ converge simplement vers $\phi_X$ sur $\R$ lorsque $n \to +\infty$. Soit $t \in \R^*$, pour tout $n \in \N^*$ on a
\begin{align*}
\phi_{X_n}(t) &= \esp{e^{itX_n}} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e^{it\frac{k}{n}} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \parentheses*{e^{\frac{it}{n}}}^k = \frac{e^{\frac{it}{n}}}{n} \frac{1-e^{it}}{1-e^{\frac{it}{n}}} = \frac{e^{\frac{it}{n}}}{n} \frac{e^{\frac{it}{2}}\parentheses*{e^{\frac{it}{2}}-e^{-\frac{it}{2}}}}{e^{\frac{it}{2n}}\parentheses*{e^{\frac{it}{2n}}-e^{-\frac{it}{2n}}}}\\
&= \frac{e^{\frac{it}{2}(1+\frac{1}{n})}}{n} \frac{\sin(\frac{t}{2})}{\sin(\frac{t}{2n})} = e^{\frac{it}{2}}\sin\parentheses*{\frac{t}{2}} \frac{e^\frac{it}{2n}}{n \sin(\frac{t}{2n})} \xrightarrow[n \to +\infty]{}\frac{2e^{\frac{it}{2}}}{t}\sin\parentheses*{\frac{t}{2}}.
\end{align*}

Calculons maintenant $\phi_X(t)$.
\begin{align*}
\phi_X(t) = \esp{e^{itX}} = \int_0^1 e^{itx} \dx x = \squarebrackets*{\frac{e^{itx}}{it}}_{x=0}^1 = \frac{1}{t} \frac{e^{it}-1}{i} = \frac{2e^{\frac{it}{2}}}{t} \frac{e^{\frac{it}{2}}-e^{-\frac{it}{2}}}{2i} = \frac{2e^{\frac{it}{2}}}{t}\sin\parentheses*{\frac{t}{2}}.
\end{align*}
Donc $\phi_{X_n}(t)\xrightarrow[n \to +\infty]{} \phi_X(t)$ pour tout $t \in \R^*$. Pour $t=0$, on a $\phi_{X_n}(0)=1 \xrightarrow[n \to +\infty]{}1 = \phi_X(0)$. D'où le résultat.

\end{sol}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Approximation de Poisson par des binomiales]
\label{exo: Poisson et binomiale}

Soient $\lambda>0$ et $X \sim \Poisson(\lambda)$. Pour tout $n \in \N^*$, soient $p_n \in [0;1]$ et $X_n \sim \cB(n,p_n)$. On suppose $n p_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \lambda$. Montrer que $X_n \CVL{n \to +\infty} X$. On pourra utiliser que $\phi_X:t \mapsto \exp\parentheses*{\lambda(e^{it}-1)}$.

\begin{sol}

Commençons par observer que comme $n p_n \xrightarrow[n \to +\infty]{}\lambda$, on a $p_n \sim \frac{\lambda}{n}$ et donc $p_n \xrightarrow[n \to +\infty]{}0$. On propose ensuite deux méthodes. La première utilise la convergence ponctuelle de la fonction de probabilité, la seconde celle de la fonction caractéristique.

\emph{Méthode 1.} Comme $X$ et les $(X_n)_{n \in \N^*}$ sont discrètes à valeurs dans $\N$, il suffit de montrer que $\forall k \in \N$, $\P\parentheses*{X_n=k}\xrightarrow[n \to +\infty]{} \P(X=k)$. Soit $k \in \N$, pour tout $n\in \N^*$, on a
\begin{equation*}
\P\parentheses*{X_n=k} = \binom{n}{k}p_n^k (1-p_n)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(np_n)^k}{n^k}(1-p_n)^{n-k}= \frac{(np_n)^k}{k!} \frac{n!}{n^k(n-k)!} (1-p_n)^n.
\end{equation*}
D'une part, comme $p_n \xrightarrow[n\to +\infty]{}0$, on a $(1-p_n)^n = \exp\parentheses*{n \ln \parentheses*{1-p_n}} = \exp \parentheses*{-np_n +o(np_n)}$. L'argument de l'exponentielle converge vers $-\lambda$, donc $(1-p_n)^n \xrightarrow[n\to +\infty]{}e^{-\lambda}$. D'autre part,
\begin{equation*}
1 \geq \frac{n!}{n^k(n-k)!} = \frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{n^k} \geq \frac{(n-k)^k}{n^k}= \parentheses*{1-\frac{k}{n}}^k\xrightarrow[n \to +\infty]{}1,
\end{equation*}
donc $\frac{n!}{n^k(n-k)!}\xrightarrow[n \to +\infty]{}1$. Finalement, $\P\parentheses*{X_n=k} \xrightarrow[n \to +\infty]{}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}=\P\parentheses*{X=k}$. C'est vrai pour tout $k \in \N$, d'où le résultat.

\emph{Méthode 2.}  D'après le cours, il suffit de montrer que $\parentheses*{\phi_{X_n}}_{n \in \N^*}$ converge simplement vers $\phi_X$ sur $\R$ lorsque $n \to +\infty$. Soit $t \in \R$, d'après l'exercice~\ref{exo: fonction carac usuelles}, pour tout $n \in \N^*$ on a $\phi_{X_n}(t) = \parentheses*{1+p_n(e^{it}-1)}^n$.

Comme $p_n \xrightarrow[n \to +\infty]{}0$, pour tout $n$ assez grand, on a $\norm{p_n(e^{it}-1)}\leq p_n (\norm{e^{it}}+1)\leq 2p_n <1$, et $1+p_n(e^{it}-1) \in \brackets*{z \in \C\mvert \Re(z) >0}$.

On rappelle qu'il existe une fonction $\log:\C \setminus ]-\infty,0] \to \brackets*{z \in \C \mvert \Im(z) \in ]-\pi;\pi[}$ réciproque de $\exp:\brackets*{z \in \C \mvert \Im(z) \in ]-\pi;\pi[} \to \C \setminus ]-\infty,0]$ et que $\log(1+z) = z+o(\norm{z})$ lorsque $z \to 0$. On peut faire le même calcul que sur $\R$. Pour tout $n$ assez grand,
\begin{align*}
\phi_{X_n}(t) &= \exp\parentheses*{n \log\parentheses*{1+p_n(e^{it}-1)}} = \exp\parentheses*{n\parentheses*{p_n(e^{it}-1)+ o\parentheses*{p_n\norm{e^{it}-1}}}}\\
&= \exp\parentheses*{np_n(e^{it}-1)+ o\parentheses*{np_n}}.
\end{align*}
Comme $np_n \xrightarrow[n \to +\infty]{}\lambda$, l'argument de l'exponentielle converge vers $\lambda(e^{it}-1)$, et on a donc bien $\phi_{X_n}(t) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \exp\parentheses*{\lambda(e^{it}-1)}=\phi_X(t)$. Cela établit la convergence simple de $\parentheses*{\phi_{X_n}}_{n \in \N^*}$ vers $\phi_X$.

\end{sol}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Convergence en loi de gaussiennes, \emph{facultatif}]
\label{exo: CVL gaussiennes}

On dit qu'une variable aléatoire réelle $X$ est gaussienne s'il existe $\mu \in \R$ et $\sigma \geq 0$ tels que $\phi_X:t \mapsto e^{it\mu - \frac{t^2}{2}\sigma^2}$. On note alors $X \sim \gauss{\mu}{\sigma^2}$.

\begin{enumerate}

\item \label{q: repart} Pour tout $n \in \N$, soit $Y_n$ une variable aléatoire constante égale à $\mu_n \in \R$. On suppose que $Y_n \CVL{n \to +\infty}Y$. Montrer que la fonction de répartition $F_Y$ de $Y$ est à valeurs dans $\brackets*{0;1}$.
\begin{sol}

Soit $n \in \N$, notons $F_{Y_n}$ la fonction de répartition de $Y_n$. Pour tout $x \in \R$, on a
\begin{equation*}
F_{Y_n}(x) = \P\parentheses*{Y_n \leq x} = \begin{cases} 1 & \text{si} \ \mu_n \leq x,\\ 0 & \text{sinon.}\end{cases}
\end{equation*}
Donc $F_{Y_n}= \one_{[\mu_n;+\infty[}$.

Par l'absurde, supposons qu'il existe $x \in \R$ tel que $F_Y(x) \in\, ]0;1[$. Par continuité à droite de~$F_Y$, il existe $\epsilon>0$ tel que, $\forall y \in [x,x+\epsilon[$, $F_Y(y) \in\, ]0;1[$. Comme $F_Y$ est croissante, elle a au plus un nombre dénombrable de points de discontinuité, en particulier elle a un point de continuité $y \in [x,x+\epsilon[$.

Comme $Y_n \CVL{n \to +\infty} Y$, on a alors $F_{Y_n}(y) \xrightarrow[n\to +\infty]{} F_Y(y)$. La suite $(F_{Y_n}(y))_{n \in \N}$ est à valeur dans $\brackets{0;1}$, donc $F_Y(y) \in \brackets{0;1}$. Contradiction. Donc $F_Y$ est à valeurs dans $\brackets{0;1}$.

\end{sol}

\item \label{q: constante}  Montrer que $Y$ est constante égale à un certain $\mu \in \R$.

\begin{sol}

Comme $F_Y(x)\xrightarrow[x \to +\infty]{}1$, on a $F_Y(x) \geq \frac{1}{2}$ pour tout $x$ assez grand. Cette fonction étant à valeurs dans $\brackets{0;1}$, on a $F_Y(x)=1$ pour tout $x$ assez grand. De même, comme $F_Y(x) \xrightarrow[x \to -\infty]{}0$, on a $F_Y(x)=0$ pour tout $x$ assez petit. Par croissance de $F_Y$, l'ensemble $\brackets*{x \in \R \mvert F_Y(x)=1}$ est donc non-vide et minoré. On note $\mu \in \R$ son infimum.

Par continuité à droite de $F_Y$, on a $F_Y(\mu)=1$. Soit $x < \mu$, par définition de $\mu$, on a $F_Y(x) <1$ et donc $F_Y(x)=0$. Par croissance de $F_Y$, on a donc $F_Y = \one_{[\mu,+\infty[}$. Donc $Y$ est une variable constante égale à $\mu \in \R$.

\end{sol}

\item \label{q: CV} Montrer que $\mu_n \xrightarrow[n \to +\infty]{}\mu$.

\begin{sol}

Soit $\epsilon>0$. Le point $\mu-\epsilon$ est un point de continuité de $F_Y = \one_{[\mu,+\infty[}$. Comme $Y_n \CVL{n \to +\infty}Y$, on a donc $F_{Y_n}(\mu-\epsilon) \xrightarrow[n \to +\infty]{} F_Y(\mu-\epsilon)=0$. Comme $ \parentheses*{F_{Y_n}(\mu-\epsilon)}_{n \in \N}$ est à valeurs dans $\brackets{0;1}$, pour tout $n$ assez grand, $\one_{[\mu_n;+\infty[}(\mu-\epsilon) = F_{Y_n}(\mu-\epsilon)=0$ et donc $\mu_n > \mu -\epsilon$. De même, $F_{Y_n}(\mu+\epsilon) \xrightarrow[n \to +\infty]{} F_Y(\mu+\epsilon)=1$, donc $\one_{[\mu_n;+\infty[}(\mu+\epsilon) = F_{Y_n}(\mu+\epsilon)=1$ pour tout $n$ assez grand, et donc $\mu_n \leq \mu +\epsilon$. Ainsi, pour tout $n$ assez grand, $\mu-\epsilon < \mu_n \leq \mu +\epsilon$. C'est valable pour tout $\epsilon>0$, donc $\mu_n \xrightarrow[n\to+\infty]{}\mu$.
\end{sol}

\end{enumerate}

Pour tout $n \in \N$, on introduit $\mu_n \in \R$, $\sigma_n \geq 0$ et $X_n \sim \gauss{\mu_n}{\sigma_n^2}$. On suppose que la $X_n \CVL{n \to +\infty} X$.

\begin{enumerate}[resume]

\item Soient $n \in \N$ et $t \in \R^*$, expliciter $\norm*{\phi_{X_n}(t)}$ puis exprimer $\sigma_n$ en fonction de $\phi_{X_n}(t)$.

\begin{sol}

D'après l'exercice~\ref{exo: gaussiennes}, on a $\norm*{\phi_{X_n}(t)} = \norm*{e^{it\mu_n-\frac{t^2}{2}\sigma_n^2}} = \norm*{e^{it\mu_n}e^{-\frac{t^2}{2}\sigma_n^2}}=e^{-\frac{t^2}{2}\sigma_n^2} \in ]0;1]$. Donc, en résolvant, $\sigma_n = \sqrt{-\frac{2}{t^2}\ln\parentheses*{\norm{\phi_{X_n}(t)}}}$, puisque $t\neq 0$.

\end{sol}

\item Montrer qu'il existe $t_0 \neq 0$ tel que $\norm{\phi_X(t_0)} \in\, ]0;1]$.

\begin{sol}

On sait que $\phi_X(0)=1$ et que $\phi_X$ est continue en $0$. Donc, pour tout $t$ assez proche de $0$, on a $\phi_X(t)$ proche de $1$ (dans $\C$), en particulier $\norm{\phi_X(t)}$ proche de $1$ (dans $\R$). Il existe donc $t_0 \neq 0$ tel que $\norm{\phi_X(t_0)}>0$. Par ailleurs, $\norm{\phi_X(t_0)}\leq 1$ d'après le cours.

\end{sol}

\item En déduire qu'il existe $\sigma \geq 0$ tel que $\sigma_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sigma$ et que, $\forall t \in \R$, $\norm{\phi_X(t)} = e^{-\frac{t^2}{2}\sigma^2}$.

\begin{sol}

Comme $X_n \CVL{n \to +\infty}X$, on a $\phi_{X_n}(t_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \phi_X(t_0)$. En utilisant la formule de la question précédente, on a
\begin{equation*}
\sigma_n = \sqrt{-\frac{2}{t_0^2}\ln\parentheses*{\norm{\phi_{X_n}(t_0)}}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sqrt{-\frac{2}{t_0^2}\ln\parentheses*{\norm{\phi_X(t_0)}}}=:\sigma.
\end{equation*}
Le terme de droite est bien un réel positif ou nul puisque $\norm{\phi_X(t_0)} \in\, ]0;1]$.

Soit $t \in \R$, d'après les questions précédentes, on a
\begin{equation*}
\norm*{\phi_X(t)} = \lim_{n \to +\infty} \norm*{\phi_{X_n}(t)}  = \lim_{n \to +\infty} e^{-\frac{t^2}{2}\sigma_n^2} = e^{-\frac{t^2}{2}\sigma^2}.
\end{equation*}

\end{sol}

\item Montrer que $(\mu_n)_{n \in \N}$ converge vers un certain $\mu \in \N$ et que $X \sim \gauss{\mu}{\sigma^2}$.

\begin{hint}
Utiliser la convergence simple de $\frac{\phi_{X_n}}{\norm*{\phi_{X_n}}}$ et se ramener aux questions~\ref{q: repart}, \ref{q: constante} et \ref{q: CV}.
\end{hint}

\begin{sol}

Pour tout $t \in \R$, on a $\frac{\phi_{X_n}(t)}{\norm{\phi_{X_n}(t)}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\phi_X(t)}{\norm{\phi_X(t)}}$, les termes étant bien définies puisque les dénominateurs ne s'annulent pas.

D'une part, la fonction limite $t \mapsto \frac{\phi_X(t)}{\norm{\phi_X(t)}}$ est continue en $0$ puisque $\phi_X$ l'est et $\phi_X(0) \neq 0$. D'autre part, pour tout $t \in \R$, $\frac{\phi_{X_n}(t)}{\norm{\phi_{X_n}(t)}}=\frac{e^{it\mu_n-\frac{t^2}{2}\sigma_n^2}}{e^{-\frac{t^2}{2}\sigma_n^2}}=e^{it\mu_n} = \phi_{Y_n}(t)$, où $Y_n$ est constante égale à $\mu_n$ comme dans les questions~\ref{q: repart}, \ref{q: constante} et \ref{q: CV}.

La suite $\parentheses*{\phi_{Y_n}}_{n \in \N}$ converge donc simplement sur $\R$ vers une fonction continue en $0$. D'après le théorème de Lévy, la suite $(Y_n)_{n \in \N}$ converge donc en loi vers une certaine variable aléatoire~$Y$. Par les questions~\ref{q: repart}, \ref{q: constante} et \ref{q: CV}, il existe $\mu \in \R$ tel que $Y$ est contante égale à $\mu$ et $\mu_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \mu$. On a donc, pour tout $t \in \R$,
\begin{equation*}
\frac{\phi_{X_n}(t)}{\norm{\phi_{X_n}(t)}} =e^{it\mu_n} = \phi_{Y_n}(t) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \phi_Y(t) = e^{it\mu}.
\end{equation*}
Par unicité de la limite, $\frac{\phi_X(t)}{\norm{\phi_X(t)}} = e^{it\mu}$ et donc $\phi_X(t) = e^{it\mu}\norm{\phi_X(t)}=e^{it\mu -\frac{t^2}{2}\sigma^2}$. Ainsi, $\phi_X$ est la fonction caractéristique d'une variable $\gauss{\mu}{\sigma^2}$. Comme la fonction caractéristique détermine totalement la loi, on a bien $X \sim \gauss{\mu}{\sigma^2}$.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}

\end{document}