\documentclass[11pt]{article} % Packages gestion des caractères, du français et de la mise en page \usepackage[french]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[margin=2.5cm]{geometry} \usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0},hypertexnames=false]{hyperref} \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\headheight}{4ex} \setlength{\headsep}{2ex} \renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet} \usepackage{comment} \usepackage{enumitem} \usepackage{tabularx} % Graphiques et Figures \usepackage{subfig} \usepackage{pgf,tikz} \usetikzlibrary{arrows} \usepackage[figurename=Figure]{caption} % Packages pour les maths \usepackage{mathtools} \usepackage{amsthm} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{stmaryrd} % Nouveaux environnements \theoremstyle{plain} \newtheorem{thm}{Théorème} \newtheorem{cor}[thm]{Corollaire} \newtheorem{lem}[thm]{Lemme} \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} \theoremstyle{definition} \newtheorem*{dfn}{Définition} \newtheorem{exo}{Exercice} \newtheorem*{ntn}{Notation} \newtheorem*{ntns}{Notations} \theoremstyle{remark} \newtheorem*{hint}{Indication} \newtheorem*{rem}{Remarque} \newtheorem*{ex}{Exemple} \newtheorem*{exs}{Exemples} % Commandes et opérateurs utiles \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \renewcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \renewcommand{\S}{\mathbb{S}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\Poisson}{\; \propto \hspace{-0.96em} \cdot \hspace{0.5em}} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\hat}{\widehat} \newcommand{\cov}[2]{\Cov\parentheses*{#1, #2}} \newcommand{\CVL}[1]{\xrightarrow[#1]{\text{loi}}} \newcommand{\CVP}[1]{\xrightarrow[#1]{\P}} \newcommand{\CVps}[1]{\xrightarrow[#1]{\text{p.s.}}} \newcommand{\dx}{\dmesure\!} \newcommand{\esp}[1]{\mathbb{E}\squarebrackets*{#1}} \newcommand{\espcond}[2]{\mathbb{E}\squarebrackets*{#1 \mvert #2}} \newcommand{\gauss}[2]{\mathcal{N}\parentheses*{#1,#2}} \newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}} \newcommand{\one}{\mathbf{1}} \newcommand{\trans}[1]{\,\prescript{\text{t}}{}{\! #1}} \newcommand{\var}[1]{\Var\parentheses*{#1}} \newcommand{\vol}[1]{\Vol\parentheses*{#1}} \DeclareMathOperator{\card}{Card} \DeclareMathOperator{\Cov}{Cov} \DeclareMathOperator{\dist}{dist} \DeclareMathOperator{\dmesure}{d} \DeclareMathOperator{\Id}{Id} \DeclareMathOperator{\vect}{Vect} \DeclareMathOperator{\sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\Var}{Var} \DeclareMathOperator{\Vol}{Vol} \DeclarePairedDelimiter{\ang}{\langle}{\rangle} \DeclarePairedDelimiter{\brackets}{\{}{\}} \DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil} \DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor} \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lvert}{\rvert} \DeclarePairedDelimiter{\Norm}{\lVert}{\rVert} \DeclarePairedDelimiter{\parentheses}{(}{)} \DeclarePairedDelimiterX{\prsc}[2]{\langle}{\rangle}{#1\,, #2} \DeclarePairedDelimiter{\squarebrackets}{[}{]} \DeclarePairedDelimiterX{\ssquarebrackets}[2]{\llbracket}{\rrbracket}{#1;#2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Gestion de l'affichage des solutions avec le package comment % Nouveaux compteurs pour avoir une numérotation des équations indépendante dans les solutions \newcounter{aux} \newcounter{soleq} % Définition d'un environnement sol qui peut être commenté à loisir ci-dessous % La numération des équations est indépendantes et en chiffres romains dans les solutions \specialcomment{sol}{ \setcounter{aux}{\value{equation}} \setcounter{equation}{\value{soleq}} \renewcommand{\theequation}{\roman{equation}} \par\begingroup\color{violet} } { \endgroup \setcounter{soleq}{\value{equation}} \setcounter{equation}{\value{aux}} \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}} } % Le contenu des environnements sol est visible par défaut, décommenter la ligne suivante le cache %\excludecomment{sol} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Informations du document \author{Thomas Letendre} \date{2025 -- 2026} \title{Feuille 3 -- Indépendance et convergence en probabilité} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mise en page de l'en-tête %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \thispagestyle{fancy} \lhead{Université de Rennes, 2025--2026} \rhead{Probabilités et Statistiques pour la Science des Données} \makeatletter \begin{center} \begin{Large} \@title \end{Large} \end{center} \hrule \vspace{1ex} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Début du corps du texte %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo}[Évènements presque sûrs] Soit $\parentheses{\Omega,\cA,\P}$ un espace de probabilité. \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ et $B \in \cA$ sont indépendants si et seulement si $A$ et $B^c$ le sont. \item Si $A \in \cA$ est presque sûr, montrer qu'il est indépendant de tout évènement $B \in \cA$. \item Montrer qu'une variable aléatoire constante est indépendante de toute variable aléatoire. \end{enumerate} \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo}[Exemples et contre-exemples] Dans cet exercice, par donner un exemple on entend: définir un espace de probabilité $\parentheses{\Omega,\cA,\P}$, définir des variables aléatoires sur $\Omega$, et prouver qu'elles ont les propriétés souhaitées. \begin{enumerate} \item Donner un exemple de deux variables aléatoires indépendantes. \item Donner un exemple de deux variables aléatoires dépendantes. \item Donner un exemple de trois variables aléatoires $X$, $Y$ et $Z$ qui sont indépendantes deux à deux, mais globalement dépendantes. \item Donner un exemple de deux variables aléatoires dépendantes $X$ et $Y$ telles que $\cov{X}{Y}=0$. \begin{hint} Considérer une variable uniforme sur le cercle unité dans $\R^2$. \end{hint} \end{enumerate} \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo}[Mouvement social] Vous attendez le bus un jour de grève des transports, et avez le choix entre deux lignes pour vous rendre à la fac. On note $X$ et $Y$ le temps d'attente avant l'arrivée du prochain bus pour chacune des deux lignes. On modélise $X$ et $Y$ par des variables exponentielles indépendantes de paramètre $\lambda >0$. On note $T_1=\min(X,Y)$ et $T_2=\max(X,Y)$ et on admet que ce sont des variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité que $X$ et $Y$. \begin{enumerate} \item Déterminer les fonctions de répartition de $X$, $Y$ et $T_1$. En déduire la loi de $T_1$. \end{enumerate} Le premier bus arrivant étant bondé, vous hésitez à attendre le suivant (forcément de l'autre ligne pour simplifier), en vous disant que vu ce que vous avez attendu il ne devrait pas trop tarder. \begin{enumerate}[resume] \item Trouver la loi de $T_2-T_1$, le temps qu'il vous resterait à attendre. \item Montrer que $T_2-T_1$ et $T_1$ sont indépendantes. Cela vaut-il la peine de forcer le passage? \end{enumerate} \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo}[Limite d'un maximum] Soit $(X_k)_{k \geq 1}$ une suite de v.a.i.i.d. réelles, définies sur un espace de probabilité $(\Omega,\cA,\P)$, dont la loi commune est décrite par la fonction de répartition $F_1$. Pour tout $n \in \N^*$, on admet que $Y_n=\max_{1 \leq i \leq n} X_i$ définit une variable aléatoire sur $\Omega$, dont la fonction de répartition sera notée $F_n$. \begin{enumerate} \item Soit $n \in \N^*$, exprimer $F_n$ en fonction de $F_1$. \item On suppose que $F_1^{-1}(\brackets{1}) \neq \emptyset$ et on note $x_0=\inf F_1^{-1}(\brackets{1})$. Montrer que $F_1(x_0)=1$. \item Montrer que $Y_n \CVP{n \to +\infty}x_0$. \item Déterminer $x_0$ dans le cas où les $(X_k)_{k \geq 1}$ suivent une loi uniforme sur $[a;b]$. \end{enumerate} \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo}[Convergence en proba mais pas en moyenne] Soit $(\Omega,\cA,\P)$ un espace de probabilité. Pour tout $n \in \N^*$, soit $X_n$ une v.a. discrète sur $\Omega$ telle que $\P(X_n=n)=\frac{1}{n}$ et $\P(X_n=0)=1-\frac{1}{n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $X_n \CVP{n \to +\infty}0$. \item Est-ce que $\esp{X_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{}0$? \end{enumerate} \end{exo} \end{document}