\documentclass[11pt]{article}


% Packages gestion des caractères, du français et de la mise en page

\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0},hypertexnames=false]{hyperref}

\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\headheight}{4ex}
\setlength{\headsep}{2ex}
\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}

\usepackage{comment}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tabularx}


% Graphiques et Figures

\usepackage{subfig}
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage[figurename=Figure]{caption}


% Packages pour les maths

\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{stmaryrd}


% Nouveaux environnements

\theoremstyle{plain}
	\newtheorem{thm}{Théorème}
	\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
	\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
	\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}


\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}

\theoremstyle{remark}
	\newtheorem*{hint}{Indication}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
		

% Commandes et opérateurs utiles

\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}

\newcommand{\Poisson}{\; \propto \hspace{-0.96em} \cdot \hspace{0.5em}}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\hat}{\widehat}

\newcommand{\cov}[2]{\Cov\parentheses*{#1, #2}}
\newcommand{\CVL}[1]{\xrightarrow[#1]{\text{loi}}}
\newcommand{\CVP}[1]{\xrightarrow[#1]{\P}}
\newcommand{\CVps}[1]{\xrightarrow[#1]{\text{p.s.}}}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\esp}[1]{\mathbb{E}\squarebrackets*{#1}}
\newcommand{\espcond}[2]{\mathbb{E}\squarebrackets*{#1 \mvert #2}}
\newcommand{\gauss}[2]{\mathcal{N}\parentheses*{#1,#2}}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\one}{\mathbf{1}}
\newcommand{\trans}[1]{\,\prescript{\text{t}}{}{\! #1}}
\newcommand{\var}[1]{\Var\parentheses*{#1}}
\newcommand{\vol}[1]{\Vol\parentheses*{#1}}


\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}
\DeclareMathOperator{\sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
\DeclareMathOperator{\Vol}{Vol}

\DeclarePairedDelimiter{\ang}{\langle}{\rangle}
\DeclarePairedDelimiter{\brackets}{\{}{\}}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\Norm}{\lVert}{\rVert}
\DeclarePairedDelimiter{\parentheses}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiterX{\prsc}[2]{\langle}{\rangle}{#1\,, #2}
\DeclarePairedDelimiter{\squarebrackets}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiterX{\ssquarebrackets}[2]{\llbracket}{\rrbracket}{#1;#2}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Gestion de l'affichage des solutions avec le package comment

% Nouveaux compteurs pour avoir une numérotation des équations indépendante dans les solutions

\newcounter{aux}
\newcounter{soleq}

% Définition d'un environnement sol qui peut être commenté à loisir ci-dessous
% La numération des équations est indépendantes et en chiffres romains dans les solutions

\specialcomment{sol}{
	\setcounter{aux}{\value{equation}}
	\setcounter{equation}{\value{soleq}}
	\renewcommand{\theequation}{\roman{equation}}
	\par\begingroup\color{violet}
	}
	{
	\endgroup
	\setcounter{soleq}{\value{equation}}
	\setcounter{equation}{\value{aux}}
	\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}
	}

% Le contenu des environnements sol est visible par défaut, décommenter la ligne suivante le cache
%\excludecomment{sol}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


% Informations du document

\author{Thomas Letendre}
\date{2025 -- 2026}
\title{Feuille 3 -- Indépendance et convergence en probabilité}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Mise en page de l'en-tête

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\thispagestyle{fancy}

\lhead{Université de Rennes, 2025--2026}
\rhead{Probabilités et Statistiques pour la Science des Données}

\makeatletter

\begin{center}
\begin{Large}
\@title
\end{Large}
\end{center}

\hrule

\vspace{1ex}

\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Début du corps du texte

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Évènements presque sûrs]

Soit $\parentheses{\Omega,\cA,\P}$ un espace de probabilité.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $A$ et $B \in \cA$ sont indépendants si et seulement si $A$ et $B^c$ le sont.

\item Si $A \in \cA$ est presque sûr, montrer qu'il est indépendant de tout évènement $B \in \cA$.

\item Montrer qu'une variable aléatoire constante est indépendante de toute variable aléatoire.
\end{enumerate}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Exemples et contre-exemples]

Dans cet exercice, par donner un exemple on entend: définir un espace de probabilité $\parentheses{\Omega,\cA,\P}$, définir des variables aléatoires sur $\Omega$, et prouver qu'elles ont les propriétés souhaitées.

\begin{enumerate}
\item Donner un exemple de deux variables aléatoires indépendantes.

\item Donner un exemple de deux variables aléatoires dépendantes.

\item Donner un exemple de trois variables aléatoires $X$, $Y$ et $Z$ qui sont indépendantes deux à deux, mais globalement dépendantes.

\item Donner un exemple de deux variables aléatoires dépendantes $X$ et $Y$ telles que $\cov{X}{Y}=0$.

\begin{hint}
Considérer une variable uniforme sur le cercle unité dans $\R^2$.
\end{hint}

\end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Mouvement social]
Vous attendez le bus un jour de grève des transports, et avez le choix entre deux lignes pour vous rendre à la fac. On note $X$ et $Y$ le temps d'attente avant l'arrivée du prochain bus pour chacune des deux lignes. On modélise $X$ et $Y$ par des variables exponentielles indépendantes de paramètre $\lambda >0$. On note $T_1=\min(X,Y)$ et $T_2=\max(X,Y)$ et on admet que ce sont des variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité que $X$ et $Y$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les fonctions de répartition de $X$, $Y$ et $T_1$. En déduire la loi de $T_1$.
\end{enumerate}
Le premier bus arrivant étant bondé, vous hésitez à attendre le suivant (forcément de l'autre ligne pour simplifier), en vous disant que vu ce que vous avez attendu il ne devrait pas trop tarder.
\begin{enumerate}[resume]
\item Trouver la loi de $T_2-T_1$, le temps qu'il vous resterait à attendre.
\item Montrer que $T_2-T_1$ et $T_1$ sont indépendantes. Cela vaut-il la peine de forcer le passage?
\end{enumerate} 
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Limite d'un maximum]

Soit $(X_k)_{k \geq 1}$ une suite de v.a.i.i.d. réelles, définies sur un espace de probabilité $(\Omega,\cA,\P)$, dont la loi commune est décrite par la fonction de répartition $F_1$. Pour tout $n \in \N^*$, on admet que $Y_n=\max_{1 \leq i \leq n} X_i$ définit une variable aléatoire sur $\Omega$, dont la fonction de répartition sera notée $F_n$.

\begin{enumerate}

\item Soit $n \in \N^*$, exprimer $F_n$ en fonction de $F_1$.

\item On suppose que $F_1^{-1}(\brackets{1}) \neq \emptyset$ et on note $x_0=\inf F_1^{-1}(\brackets{1})$. Montrer que $F_1(x_0)=1$.

\item Montrer que $Y_n \CVP{n \to +\infty}x_0$.

\item Déterminer $x_0$ dans le cas où les $(X_k)_{k \geq 1}$ suivent une loi uniforme sur $[a;b]$.
\end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Convergence en proba mais pas en moyenne]

Soit $(\Omega,\cA,\P)$ un espace de probabilité. Pour tout $n \in \N^*$, soit $X_n$ une v.a. discrète sur $\Omega$ telle que $\P(X_n=n)=\frac{1}{n}$ et $\P(X_n=0)=1-\frac{1}{n}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $X_n \CVP{n \to +\infty}0$.

\item Est-ce que $\esp{X_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{}0$?
\end{enumerate}

\end{exo}

\end{document}