\documentclass[11pt]{article}


% Packages gestion des caractères, du français et de la mise en page

\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0},hypertexnames=false]{hyperref}

\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\headheight}{4ex}
\setlength{\headsep}{2ex}
\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}

\usepackage{comment}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tabularx}


% Graphiques et Figures

\usepackage{subfig}
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage[figurename=Figure]{caption}


% Packages pour les maths

\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{stmaryrd}


% Nouveaux environnements

\theoremstyle{plain}
	\newtheorem{thm}{Théorème}
	\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
	\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
	\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}


\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}

\theoremstyle{remark}
	\newtheorem*{hint}{Indication}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
		

% Commandes et opérateurs utiles

\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}

\newcommand{\Poisson}{\; \propto \hspace{-0.96em} \cdot \hspace{0.5em}}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\hat}{\widehat}

\newcommand{\cov}[2]{\Cov\parentheses*{#1, #2}}
\newcommand{\CVL}[1]{\xrightarrow[#1]{\text{loi}}}
\newcommand{\CVP}[1]{\xrightarrow[#1]{\P}}
\newcommand{\CVps}[1]{\xrightarrow[#1]{\text{p.s.}}}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\esp}[1]{\mathbb{E}\squarebrackets*{#1}}
\newcommand{\espcond}[2]{\mathbb{E}\squarebrackets*{#1 \mvert #2}}
\newcommand{\gauss}[2]{\mathcal{N}\parentheses*{#1,#2}}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\one}{\mathbf{1}}
\newcommand{\trans}[1]{\,\prescript{\text{t}}{}{\! #1}}
\newcommand{\var}[1]{\Var\parentheses*{#1}}
\newcommand{\vol}[1]{\Vol\parentheses*{#1}}


\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}
\DeclareMathOperator{\sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
\DeclareMathOperator{\Vol}{Vol}

\DeclarePairedDelimiter{\ang}{\langle}{\rangle}
\DeclarePairedDelimiter{\brackets}{\{}{\}}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\Norm}{\lVert}{\rVert}
\DeclarePairedDelimiter{\parentheses}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiterX{\prsc}[2]{\langle}{\rangle}{#1\,, #2}
\DeclarePairedDelimiter{\squarebrackets}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiterX{\ssquarebrackets}[2]{\llbracket}{\rrbracket}{#1;#2}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Gestion de l'affichage des solutions avec le package comment

% Nouveaux compteurs pour avoir une numérotation des équations indépendante dans les solutions

\newcounter{aux}
\newcounter{soleq}

% Définition d'un environnement sol qui peut être commenté à loisir ci-dessous
% La numération des équations est indépendantes et en chiffres romains dans les solutions

\specialcomment{sol}{
	\setcounter{aux}{\value{equation}}
	\setcounter{equation}{\value{soleq}}
	\renewcommand{\theequation}{\roman{equation}}
	\par\begingroup\color{violet}
	}
	{
	\endgroup
	\setcounter{soleq}{\value{equation}}
	\setcounter{equation}{\value{aux}}
	\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}
	}

% Le contenu des environnements sol est visible par défaut, décommenter la ligne suivante le cache
%\excludecomment{sol}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


% Informations du document

\author{Thomas Letendre}
\date{2025 -- 2026}
\title{Feuille 2 -- Moments}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Mise en page de l'en-tête

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\thispagestyle{fancy}

\lhead{Université de Rennes, 2025--2026}
\rhead{Probabilités et Statistiques pour la Science des Données}

\makeatletter

\begin{center}
\begin{Large}
\@title
\end{Large}
\end{center}

\hrule

\vspace{1ex}

\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Début du corps du texte

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Lois discrètes usuelles]
Rappeler la définition des lois suivantes et calculer leur espérance et leur variance.
\begin{enumerate}
\item Loi uniforme $\cU\parentheses*{\ssquarebrackets{1}{n}}$ sur $\ssquarebrackets{1}{n}$, où $n \in \N^*$.
\item Loi de Bernoulli  $\cB(p)$ de paramètre $p \in [0;1]$.
\item Loi binomiale $\cB(n,p)$ de paramètre $n \in \N^*$ et $p \in [0;1]$.
\item Loi géométrique $\cG(p)$ de paramètre $p \in ]0;1]$.
\item Loi de Poisson $\Poisson(\lambda)$ de paramètre $\lambda>0$.
\end{enumerate}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Espérance d'une somme]
On lance deux dés standards au hasard et on note $X$ le résultat de la somme. Calculer $\esp{X}$.
\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Prouesse physique]
Selon les lois de la physique quantique, vous avez une probabilité~$p$ (petite mais positive) de traverser un mur. Pour être optimiste disons $p=10^{-20}$.
\begin{enumerate}
\item Vous voulez en avoir le coeur net et envisagez de foncer sur le mur le plus proche de manière répétée et indépendante jusqu'à traverser, puis de noter $X$ le nombre d'essais nécessaires. Quelle est la loi de $X$?
\item En déduire le nombre d'essais minimal garantissant $90\%$ de chances de traverser.
\end{enumerate}
\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Lois à densité usuelles]
Rappeler la définition des lois suivantes et calculer leur espérance et leur variance.
\begin{enumerate}
\item Loi uniforme $\cU([a;b])$ sur l'intervalle $[a;b]$.
\item Loi exponentielle $\cE(\lambda)$ de paramètre $\lambda >0$.
\item Loi gaussienne $\gauss{\mu}{\sigma^2}$ de paramètre $\mu \in \R$ et $\sigma^2>0$ (commencer par $\mu=0$ et $\sigma^2=1$).
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Saving Coco]
L'erreur de mesure de votre balance de cuisine est modélisée par une variable aléatoire $E\sim \gauss{0}{\sigma^2}$, où $\sigma$ est donné par le constructeur (et vaut disons $1$ g). Vous préparez une assiette de graines pour Coco, votre perroquet favori, et mesurez un poids $\mu$. Le poids réel de l'assiette est une variable aléatoire que l'on notera $X=\mu+E$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X$.
\item Soit $\epsilon>0$, donner une majoration de $\P\parentheses*{X \geq \mu + \epsilon}$ en utilisant l'inégalité de Chebyshev.
\item Coco étant diabétique, lui donner plus de $100$ g de graines lui serait fatal. Quelle valeur maximale de mesure $\mu$ vous autorisez-vous pour être sûr à $99 \%$ de garder Coco en vie?
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Moments de la gaussienne]
Soit $X \sim \gauss{0}{1}$ une gaussienne centrée réduite.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ est $L^p$ pour tout $p \in \N^*$. Est-ce que $X$ est $L^\infty$?
\item Montrer que, pour tout $p \in \N$, $\esp{X^{2p+1}}=0$.
\item Montrer que, pour tout $p \in \N$, $\esp{X^{2p+2}}=(2p+1)\esp{X^{2p}}$.
\item En déduire l'expression de tous les moments d'ordres pairs de $X$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}