\documentclass[11pt]{article}


% Packages gestion des caractères, du français et de la mise en page

\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0},hypertexnames=false]{hyperref}

\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\headheight}{4ex}
\setlength{\headsep}{2ex}
\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}

\usepackage{comment}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tabularx}


% Graphiques et Figures

\usepackage{subfig}
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage[figurename=Figure]{caption}


% Packages pour les maths

\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{stmaryrd}


% Nouveaux environnements

\theoremstyle{plain}
	\newtheorem{thm}{Théorème}
	\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
	\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
	\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}


\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}

\theoremstyle{remark}
	\newtheorem*{hint}{Indication}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
		

% Commandes et opérateurs utiles

\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}

\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\one}{\mathbf{1}}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\hat}{\widehat}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}

\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}

\DeclarePairedDelimiter{\ang}{\langle}{\rangle}
\DeclarePairedDelimiter{\brackets}{\{}{\}}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\Norm}{\lVert}{\rVert}
\DeclarePairedDelimiter{\parentheses}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiterX{\prsc}[2]{\langle}{\rangle}{#1\,, #2}
\DeclarePairedDelimiter{\squarebrackets}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiterX{\ssquarebrackets}[2]{\llbracket}{\rrbracket}{#1;#2}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Gestion de l'affichage des solutions avec le package comment

% Nouveaux compteurs pour avoir une numérotation des équations indépendante dans les solutions

\newcounter{aux}
\newcounter{soleq}

% Définition d'un environnement sol qui peut être commenté à loisir ci-dessous
% La numération des équations est indépendantes et en chiffres romains dans les solutions

\specialcomment{sol}{
	\setcounter{aux}{\value{equation}}
	\setcounter{equation}{\value{soleq}}
	\renewcommand{\theequation}{\roman{equation}}
	\par\begingroup\color{violet}
	}
	{
	\endgroup
	\setcounter{soleq}{\value{equation}}
	\setcounter{equation}{\value{aux}}
	\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}
	}

% Le contenu des environnements sol est visible par défaut, décommenter la ligne suivante le cache
%\excludecomment{sol}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


% Informations du document

\author{Thomas Letendre}
\date{2025 -- 2026}
\title{Feuille 1 -- Variables aléatoires}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Mise en page de l'en-tête

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\thispagestyle{fancy}

\lhead{Université de Rennes, 2025--2026}
\rhead{Probabilités et Statistiques pour la Science des Données}

\makeatletter

\begin{center}
\begin{Large}
\@title
\end{Large}
\end{center}

\hrule

\vspace{1ex}

\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Début du corps du texte

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Modélisation élémentaire]

Pour chacune des situations suivantes, déterminer un espace probabilisé permettant de la modéliser, expliciter les variables aléatoires sous-entendues par l'énoncé et donner leur loi.

\begin{enumerate}
\item \label{item: groupe} On divise $120$ élèves en trois groupes $A$, $B$ et $C$, d'effectifs respectifs $36$, $40$ et $44$. On choisit un groupe au hasard et s'intéresse au nombre d'élèves dans ce groupe.

\item Comme en~\ref{item: groupe} ci-dessus, mais on choisit un·e élève au hasard et on s'intéresse au nombre d'élèves dans son groupe.

\item On mélange un jeu de $52$ cartes et on en pioche $5$ successivement. On s'intéresse à la $3^\text{ème}$ carte, puis à la paire formée par la $3^\text{ème}$ et la $5^\text{ème}$ carte.

\item \label{item: nombre} On tire deux nombres réels uniformément au hasard entre $0$ et $2$, et on s'intéresse à leur somme.

\item Comme en~\ref{item: nombre} ci-dessus, mais cette fois on note $1$ si la somme dépasse $1$ et $0$ sinon.

\item On considère deux urnes. La première contient $5$ boules noires et $5$ boules blanches. La seconde contient $2$ boules noires en $1$ boule blanche. On pioche sans remise $2$ boules dans la première urne et $1$ boule dans la seconde. On s'intéresse au nombre total de boules noires piochées.
\end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Météorologie]

On suppose qu'il y a deux météos possibles pour un jour donné (beau temps ou pluie, que l'on encodera en $1$ ou $0$), que la météo du jour est indépendante de celle des jours précédents, et qu'il pleut avec probabilité $\frac{1}{4}$.

\begin{enumerate}
\item Pour un jour donné, quelle est la loi de sa météo?

\item Quelle est la probabilité qu'il pleuve au moins un jour parmi $5$ jours consécutifs?

\item Quelle est la probabilité que, sur une semaine donnée, il pleuve $2$ jours et fasse beau $5$ jours?

\item Quelle est la probabilité que, sur une semaine donnée, il pleuve les $5$ premiers jours et fasse beau les $2$ derniers?

\item Il pleut aujourd'hui. Quelle est la loi du nombre de jours à attendre avant qu'il fasse beau? 
\end{enumerate}  

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Barème]

Un·e étudiant·e répond à un QCM. Pour chacune des $10$ questions, $3$ réponses sont proposées, dont une seule est juste. On compte $2$ points par réponse juste et $-1$ point par réponse fausse. On modélise le nombre de bonnes réponses par variable aléatoire $X$ de loi binomiale $\cB(10,\frac{1}{3})$.

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de la note $N$ obtenue par l'étudiant·e.

\item Calculer la probablité que $N$ soit négative.
\end{enumerate}  

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Transformations d'une variable uniforme]

Soit $U$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $\ssquarebrackets{1}{7}$.

\begin{enumerate}
\item On note $P$ la variable qui vaut $1$ si $U$ est paire et $0$ sinon. Déterminer la loi de $P$.
\item On note $A$ l'aire du triangle de sommets $1$, $-1$ et $e^{\frac{2iU \pi}{7}}$ dans $\C$. Déterminer la loi de~$A$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Densité et transformations affines]

Soit $X$ une variable aléatoire réelle continue de densité $f$. Soient $a >0$ et $b \in \R$, on note $Y = aX+b$. Déterminer la densité de $Y$. Expliciter la densité de $Y$ dans chacun des cas suivants, et éventuellement reconnaitre une loi connue.

\begin{enumerate}
\item $X \sim \cU([0,1])$,

\item $X \sim \cN(0,1)$,

\item $X \sim \cE(1)$.
\end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Baignade interdite]

L'été, sur la plage de Guildo, on mesure la concentration d'algues vertes en début de journée. Si cette concentration dépasse $5\,mg.cm^{-2}$, la plage est fermée pour la journée, sinon elle est ouverte.

On suppose que la concentration en algues un jour donné ne dépend pas de celle des jours précédents, et que sa valeur (en $mg.cm^{-2}$) est modélisée par une variable aléatoire $\cE(\frac{1}{3})$, dont la densité est
\begin{align*}
f: x \longmapsto \begin{cases} \frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}} & \text{si}\ x\geq 0,\\ 0 & \text{sinon}. \end{cases}
\end{align*}

\begin{enumerate}
\item Pour un jour donné, quelle est la probabilité que la plage ferme?

\item Pour une semaine donnée, déterminer la loi du nombre de jours de fermeture de la plage.

\item Suite à un amendement législatif, les règles ont changé: si la concentration maximale mesurée au cours d'une semaine  dépasse $5\,mg.cm^{-2}$, la plage devra fermer la semaine suivante. Un lundi donné, quelle est la probabilité que la plage soit fermée la semaine suivante?
\end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Loi de Cauchy]

Soit $f:t \mapsto \frac{1}{\pi}\frac{1}{1+t^2}$ de $\R$ dans $\R$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est la densité d'une certaine variable aléatoire $X$.

\item Déterminer la loi de $Y = \frac{2}{\pi}\arctan(X)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Parties entière et fractionnaire]

Soit $U$ une variable aléatoire uniforme sur $]0;1[$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X = \ln(1/U)$.
\item En notant $Y = \floor{X}$ la partie entière de $X$, déterminer les lois de $Y$ et $X-Y$.
\end{enumerate} 

\end{exo} 

\end{document}