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% Commandes et opérateurs utiles

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% Gestion de l'affichage des solutions avec le package comment

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% Informations du document

\author{Blanche Buet, Dominique Hulin et Thomas Letendre}
\date{2024 -- 2025}
\title{Feuille 7 -- Transformation de Fourier au sens des distributions}


\begin{document}

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% Mise en page de l'en-tête

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Xr@{}}
Université Paris-Saclay & Master Mathématiques et Applications \\
\@date & Distributions et Analyse de Fourier
\end{tabularx}

\vspace{1ex}

Enseignant·e·s: \@author .

\vspace{2ex}

\hrule

\begin{center}
\begin{Large}
\@title
\end{Large}
\end{center}

\hrule

\vspace{2ex}

\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Début du corps du texte

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Convergence dans $\cS'$ et $\cD'$]

Soit $(T_n)_{n \in \N}$ une suite à valeurs dans $\cS'(\R^d)$ telle que $T_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\cD'}0$. Est-ce que $(T_n)_{n \in \N}$ converge dans $\cS'(\R^d)$ en général?

\begin{sol}

En général la convergence au sens de $\cD'$ n'implique pas la convergence au sens de $\cS'$, même lorsque tous les termes de la suite et la limite sont tempérées. On va construire un contre-exemple en dimension $d=1$ lorsque la limite est $0$.

On a déjà vu qu'une façon de construire une suite de distributions qui converge vers $0$ dans $\cD'(\R)$ est ``d'envoyer de la masse à l'infini''. Comme les fonctions-test sont à support compact, elles ne permettent pas de détecter ce phénomène. En revanche, les fonctions de l'espace de Schwartz pouvant ne pas s'annuler sur $\R$, elles peuvent détecter ce phénomène si on envoie suffisamment de masse à l'infini pour compenser la décroissance rapide.

Pour tout $n \in \N$, on note $T_n$ la distribution associée à $f_n:x \mapsto \one_{[n,n+1]}(x)e^{x^2}$, qui est continue par morceaux, en particulier $L^1_\loc$. On a $T_n \in \cD'(\R)$ et même $T_n \in \cE'(\R) \subset \cS'(\R)$. Pour tout $\varphi \in \cD(\R)$, il existe $N \in \N$ tel que $\supp(\varphi) \subset [-N,N]$. Alors, pour tout $n >N$, $\prsc{T_n}{\varphi} = \int_n^{n+1}\varphi(x)e^{x^2}\dx x=0$. Donc $\prsc{T_n}{\varphi} \xrightarrow[n \to +\infty]{}0$ pour tout $\varphi \in \cD(\R)$, c'est-à-dire $T_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\cD'}0$.

Supposons par l'absurde que $(T_n)_{n \in \N}$ converge dans $\cS'(\R)$ vers $T$. Alors pour tout $\varphi \in \cS(\R)$ on aurait $\prsc{T_n}{\varphi}\xrightarrow[n \to +\infty]{}\prsc{T}{\varphi}$. En particulier, ce serait le cas pour tout $\varphi \in \cD(\R) \subset \cS(\R)$, d'où $\prsc{T}{\varphi}=0$ pour tout $\varphi \in \cD(\R)$. Donc $T_{\vert \cD(\R)}=0$, puis $T=0$ par densité de $\cD(\R)$ dans $\cS(\R)$. On devrait donc avoir $\prsc{T_n}{\varphi}\xrightarrow[n \to+\infty]{}0$ pour tout $\varphi \in \cS(\R)$. Soit $f:x \mapsto e^{-x^2}$. On a $f \in \cS(\R)$ et pour tout $n \in \N$
\begin{equation*}
\prsc{T_n}{f} = \int_\R f_n(x)f(x) \dx  = \int_n^{n+1} e^{x^2}e^{-x^2}\dx x =1.
\end{equation*}
Contradiction. Donc $(T_n)_{n \in \N}$ ne converge pas dans $\cS'(\R)$, bien qu'elle converge vers $0$ dans $\cD'(\R)$.

\end{sol}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Propriétés fonctionnelles de $\cF$ dans $\cS'(\R^d)$]
\label{exo: prop fonctionnelle de F dans S'}

Soient $a \in \R^d$ et $\lambda >0$, on rappelle que pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a défini $\tau_a\varphi : x \mapsto \varphi(x-a)$ et $\varphi_\lambda:x \mapsto \varphi\parentheses*{\lambda x}$, et pour tout $T \in \cS'(\R^d)$, on a défini $\tau_aT:\varphi \mapsto \prsc{T}{\tau_{-a}\varphi}$ et $\dil_\lambda T:\varphi \mapsto \frac{1}{\lambda^d} \prsc{T}{\varphi_\frac{1}{\lambda}}$. On note aussi $e_a:\xi \mapsto e^{i a\cdot \xi}$.

Soit $T \in \cS'(\R^d)$, exprimer les distributions tempérées suivantes en fonction de $\hat{T}$.

\begin{enumerate}

\item $\cF\parentheses*{\partial^\alpha T}$, où $\alpha \in \N^d$.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a $\partial^\alpha \hat{\varphi} = \cF\parentheses*{(-iX)^\alpha \varphi}$ donc
\begin{equation*}
\prsc*{\cF\parentheses*{\partial^\alpha T}}{\varphi} = \prsc*{\partial^\alpha T}{\hat{\varphi}}= (-1)^{\norm{\alpha}} \prsc*{T}{\partial^\alpha \hat{\varphi}} = \prsc*{T}{\cF\parentheses*{(iX)^\alpha \varphi}} = \prsc{(iX)^\alpha \hat{T}}{\varphi}.
\end{equation*}
Donc $\cF\parentheses*{\partial^\alpha T} = (iX)^\alpha \hat{T}$, comme dans $\cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item $\cF\parentheses*{X^\alpha T}$, où $\alpha \in \N^d$.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a $X^\alpha \hat{\varphi} = (-i)^{\norm{\alpha}}\cF\parentheses*{\partial^\alpha\varphi}$ donc
\begin{equation*}
\prsc*{\cF\parentheses*{X^\alpha T}}{\varphi} = \prsc*{T}{X^\alpha \hat{\varphi}} = (-i)^{\norm{\alpha}}\prsc*{T}{\cF\parentheses*{\partial^\alpha \varphi}} = \prsc*{i^\alpha \partial^\alpha\hat{T}}{\varphi}.
\end{equation*}
Donc $\cF\parentheses*{X^\alpha T} = (i \partial)^\alpha \hat{T}$, comme dans $\cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item $\cF\parentheses{\tau_a T}$.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a $\tau_{-a} \hat{\varphi} = \cF\parentheses{e_{-a} \varphi}$ donc
\begin{equation*}
\prsc*{\cF\parentheses*{\tau_a T}}{\varphi} = \prsc*{T}{\tau_{-a} \hat{\varphi}} = \prsc*{T}{\cF\parentheses*{e_{-a} \varphi}} = \prsc*{e_{-a}\hat{T}}{\varphi}.
\end{equation*}
Donc $\cF\parentheses*{\tau_a T} = e_{-a} \hat{T}$, comme dans $\cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item $\cF\parentheses{e_a T}$.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a $e_a \hat{\varphi} = \cF\parentheses{\tau_{-a} \varphi}$ donc
\begin{equation*}
\prsc*{\cF\parentheses*{e_a T}}{\varphi} = \prsc*{T}{e_a \hat{\varphi}} = \prsc*{T}{\cF\parentheses*{\tau_{-a} \varphi}} = \prsc*{\tau_a\hat{T}}{\varphi}.
\end{equation*}
Donc $\cF\parentheses*{e_a T} = \tau_a \hat{T}$, comme dans $\cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item $\cF\parentheses{\dil_\lambda T}$.

\begin{sol}

Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, pour tout $\xi \in \R^d$,
\begin{equation*}
\hat{\varphi_\lambda}(\xi) = \int_{\R^d} \varphi\parentheses*{\lambda x} e^{-i x \cdot \xi} \dx x = \frac{1}{\lambda^d} \int_{\R^d} \varphi(y) e^{-i y \cdot \frac{\xi}{\lambda}}\dx y = \frac{1}{\lambda^d}\hat{\varphi}\parentheses*{\frac{\xi}{\lambda}}.
\end{equation*}
Donc $\hat{\varphi_\lambda} = \frac{1}{\lambda^d} (\hat{\varphi})_\frac{1}{\lambda}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$. On a donc
\begin{equation*}
\prsc*{\cF\parentheses*{\dil_\lambda T}}{\varphi} = \prsc*{\dil_\lambda T}{\hat{\varphi}} = \frac{1}{\lambda^d} \prsc*{T}{\parentheses*{\hat{\varphi}}_\frac{1}{\lambda}} = \prsc*{T}{\hat{\varphi_\lambda}} = \prsc*{\hat{T}}{\varphi_\lambda}=\frac{1}{\lambda^d}\prsc{\dil_\frac{1}{\lambda}\hat{T}}{\varphi}.
\end{equation*}
Donc $\cF\parentheses*{\dil_\lambda T}= \frac{1}{\lambda^d} \dil_\frac{1}{\lambda}\hat{T}$, comme dans $\cS(\R^d)$.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Transformation de Fourier dans $\cS'$, calculs élémentaires]
\label{exo: TF dans S' elementaire}

Justifier que les distributions suivantes sont tempérées et calculer leurs transformées de Fourier.

\begin{enumerate}

\item \label{q: TF Dirac} $\partial^\alpha\delta_a$ pour tout $\alpha \in \N^d$ et $a \in \R^d$.

\begin{sol}

Soient $a \in \R^d$ et $\alpha \in \N^d$. La distribution $\delta_a$ est supportée en $\brackets{a}$, donc $\partial^\alpha\delta_a$ aussi. Donc $\partial^\alpha\delta_a$ est tempérée car à support compact.

On a $\partial^\alpha\delta_a = \partial^\alpha\parentheses*{\tau_a \delta_0} = \tau_a\parentheses*{\partial^\alpha \delta_0}$. En effet, translations et dérivées partielles commutent pour les fonctions test, donc pour les distributions par dualité. En utilisant l'exercice~\ref{exo: prop fonctionnelle de F dans S'}, on a donc
\begin{equation*}
\cF \parentheses*{\partial^\alpha \delta_a} = \cF\parentheses*{\tau_a\parentheses*{\partial^\alpha \delta_0}} = e_{-a} \cF\parentheses*{\partial^\alpha \delta_0} = e_{-a}(iX)^\alpha \hat{\delta_0} = e_{-a}(iX)^\alpha.
\end{equation*}
Ainsi $\cF \parentheses*{\partial^\alpha \delta_a} \in \cC^\infty(\R^d)$ est la fonction $\xi \mapsto (i\xi)^\alpha e^{-i a\cdot \xi}$.

\end{sol}

\item \label{q: TF cos} $\cos:\R \to \R$.

\begin{sol}

La fonction $\cos$ est bornée, donc elle définit une distribution tempérée. En utilisant l'exercice~\ref{exo: prop fonctionnelle de F dans S'} dans $\cS'(\R)$ on a:
\begin{equation*}
\cF{e_1} = \cF \parentheses*{e_1 \one} = \tau_1 \hat{\one} = \tau_1(2\pi\delta_0) = 2\pi\delta_1.
\end{equation*}
De même, $\cF e_{-1} = 2\pi\delta_{-1}$. Comme $\cos = \frac{1}{2}\parentheses*{e_{-1} + e_{1}}$, on a donc $\hat{\cos} = \pi(\delta_{-1} + \delta_1)$.

\end{sol}

\item \label{q: TF indicatrice} $f=\one_{[-1,1]}$, la fonction indicatrice de $[-1,1]$.

\begin{sol}

Comme $f \in L^1(\R)$, elle définit une distribution tempérée et $\hat{f}$ coïnicide avec sa transformée de Fourier usuelle: c'est la fonction continue définie par $\hat{f}:\xi \mapsto \prsc{f}{e_{-\xi}}$. On peut faire le calcul direct en utilisant cette formule. Nous allons voir une méthode alternative.

On a $f'=\delta_{-1} - \delta_1$. En appliquant la transformée de Fourier à cette égalité, on obtient:
\begin{equation*}
i X \hat{f} = \hat{f'} = \hat{\delta_{-1}} - \hat{\delta_1} = \cF\parentheses*{\tau_{-1}\delta_0} - \cF\parentheses*{\tau_{1}\delta_0}= e_1 - e_{-1}.
\end{equation*}
Donc, pour tout $\xi \neq 0$, on a $\hat{f}(\xi) = 2 \frac{\sin(\xi)}{\xi}= 2 \sinc(\xi)$. Comme les deux membres de cette égalités sont des fonctions $\mathcal{C}^0$, on en déduit que l'égalité est aussi valable en $0$. D'où $\hat{f}=2 \sinc$.

Rappelons que $\sinc$ est la somme de la série entière $\sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^kX^{2k}}{(2k+1)!}$ qui est de rayon de convergence infini. Cette fonction est donc $\cC^\infty$ sur $\R$.

\end{sol}

\item (\emph{facultatif}) $g_{ab} = \one_{[a,b]}$, la fonction indicatrice de $[a,b]$, où $-\infty<a < b<+\infty$.
 
\begin{sol}

Comme dans la question précédente, $g_{ab} \in L^1(\R)$ donc elle définit une distribution tempérée dont la transformée de Fourier est sa transformée de Fourier usuelle. On se ramène à $a=-1$ et $b=1$ par translation et dilatation: $g_{ab} = \tau_{\frac{a+b}{2}}\parentheses*{f_\frac{2}{b-a}} = \tau_{\frac{a+b}{2}}\parentheses*{\dil_\frac{2}{b-a}(f)}$.

En utilisant l'exercice~\ref{exo: prop fonctionnelle de F dans S'} on a donc $\hat{g_{ab}} = e_{-\frac{a+b}{2}}\cF\parentheses*{\dil_\frac{2}{b-a}(f)} = e_{-\frac{a+b}{2}}\parentheses*{\frac{b-a}{2}}\dil_\frac{b-a}{2}\hat{f}$. Donc finalement, $\hat{g_{ab}} : \xi \mapsto (b-a) \exp\left(-i\frac{a+b}{2}\xi\right) \sinc\parentheses*{\frac{b-a}{2}\xi}$.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Parité et transformée de Fourier]
\label{exo: parite et Fourier}
Rappellons que $\check{\varphi}:x \mapsto \varphi(-x)$ pour tout $\varphi:\R^d \to \C$ et $\check{T}:\varphi \mapsto \prsc{T}{\check{\varphi}}$ pour tout $T \in \cD'(\R^d)$. On dit que $T$ est \emph{paire} si $\check{T}=T$ et \emph{impaire} si $\check{T}=-T$.

\begin{enumerate}

\item \label{q: Dirac paire} Montrer que $\delta_0 \in \cD'(\R)$ est paire et que $\vp\parentheses*{\dfrac{1}{x}} \in \cD'(\R)$ est impaire.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cD(\R^d)$, on a $\prsc*{\check{\delta_0}}{\varphi} = \prsc*{\delta_0}{\check{\varphi}} = \check{\varphi}(0)= \varphi(0)$. Donc $\check{\delta_0}=\delta_0$ et $\delta_0$ est paire. Par ailleurs, pour tout $\varphi \in \cD(\R)$,
\begin{equation*}
\prsc*{\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}}{\check{\varphi}} = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\R \setminus \squarebrackets{-\epsilon,\epsilon}} \frac{\varphi(-x)}{x}\dx x = \lim_{\epsilon \to 0} -\int_{\R \setminus \squarebrackets{-\epsilon,\epsilon}} \frac{\varphi(x)}{x}\dx x = - \prsc*{\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}}{\varphi}
\end{equation*}
et donc $\check{\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}} = - \vp\parentheses*{\frac{1}{x}}$.

\end{sol}

\item \label{q: parite et TF fonction} Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, montrer que $\check{\hat{\varphi}}=\hat{\check{\varphi}}$.

\begin{sol}

Pour tout $x \in \R$ on a:
\begin{equation*}
\check{\hat{\varphi}}(\xi) = \hat{\varphi}(-\xi) = \int_{\R^d} \varphi(x) e^{i x \cdot \xi} \dx x = \int_{\R^d} \varphi(-x) e^{-i x \cdot \xi} \dx x = \int_{\R^d} \check{\varphi}(x) e^{-ix \cdot \xi}\dx x = \hat{\check{\varphi}}(\xi).
\end{equation*}
Donc $\check{\hat{\varphi}} = \hat{\check{\varphi}}$.

\end{sol}

\item \label{q: parite et TF distribution} Soit $S \in \cS'(\R^d)$, montrer que $\check{\hat{S}}=\hat{\check{S}}$.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cS(\R)$, on a:
\begin{equation*}
\prsc*{\check{\hat{S}}}{\varphi} = \prsc*{\hat{S}}{\check{\varphi}} = \prsc*{S}{\hat{\check{\varphi}}} = \prsc*{S}{\check{\hat{\varphi}}} = \prsc*{\check{S}}{\hat{\varphi}} = \prsc*{\hat{\check{S}}}{\varphi},
\end{equation*}
et donc $\check{\hat{S}} = \hat{\check{S}}$.

\begin{rem}
En particulier, la transformée de Fourier d'une fonction ou d'une distribution paire (resp.~impaire) est paire (resp.~impaire).
\end{rem}

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Transformation de Fourier dans $\cS'$, calculs moins élémentaires]
\label{exo: TF dans S' pas elementaire}

On note $H = \one_{[0,+\infty[}$ la fonction de Heaviside et $S$ la fonction signe, définie par $S(x) = -1$ si $x <0$ et $S(x)=1$ si $x\geq 0$.

\begin{enumerate}

\item \label{q: S dans S'} Justifier que $S$ définit une distribution tempérée sur $\R$ et montrer que $x \hat{S}= -2i$.

\begin{sol}

On a $S \in L^\infty(\R) \subset \cS'(\R)$. Comme $\cS'(\R)$ est stable par transformée de Fourier et multiplication par une fonction polynomiale, on a $x \hat{S} \in \cS'(\R)$. Pour tout $\varphi \in \cS(\R)$,
\begin{equation*}
\prsc*{x \hat{S}}{\varphi} = \prsc*{\hat{S}}{x \varphi} = \prsc*{S}{\hat{x \varphi}} = \prsc*{S}{i\hat{\varphi}'} = -i\prsc*{S'}{\hat{\varphi}} = -2i \prsc*{\delta_0}{\hat{\varphi}} = -2i\prsc*{\hat{\delta_0}}{\varphi}
\end{equation*}
On en conclut que $x \hat{S} = -2i \hat{\delta_0}= -2i$.

\end{sol}

\item \label{q: S hat} En déduire que $\hat{S}= -2i \vp\parentheses*{\frac{1}{x}}$.

\begin{hint}
Montrer que $\hat{S}+2i\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}$ est un multiple de $\delta_0$ et utiliser un argument de parité.
\end{hint}

\begin{sol}

On rappelle que $x \vp\parentheses*{\frac{1}{x}}=1$. On vient de voir que $x \hat{S} = -2i$, donc $x \parentheses*{\hat{S}+2i \vp\parentheses*{\frac{1}{x}}}=0$. On sait que les solutions de l'équation $xT = 0$ d'inconnue $T \in \cD'(\R)$ sont les multiples des $\delta_0$. Il existe donc $\lambda \in \C$ tel que $\hat{S}= -2i\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}+\lambda \delta_0$. Il reste à déterminer $\lambda$, ce que l'on va faire par des considérations de parité.

La fonction $S$ est impaire. Comme l'opération $\check{\cdot}$ sur $\cD'(\R)$ prolonge celle sur les fonctions, on a $\check{S}=-S$ dans $\cD'(\R)$. Par la question~\ref{q: parite et TF distribution} de l'exercice~\ref{exo: parite et Fourier}, on a donc: $\check{\hat{S}} = \hat{\check{S}} = -\hat{S}$. En utilisant les propriétés de parité de $\delta_0$ et $\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}$ prouvée dans la question~\ref{q: Dirac paire} de l'exerice~\ref{exo: parite et Fourier}, on obtient:
\begin{equation*}
2i \vp\parentheses*{\frac{1}{x}} - \lambda \delta_0=-\hat{S}=\check{\hat{S}} = \check{\parentheses*{-2i\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}+\lambda \delta_0}} = -2i \check{\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}} + \lambda \check{\delta_0} = 2i \vp\parentheses*{\frac{1}{x}} + \lambda \delta_0.
\end{equation*}
Cela impose $2\lambda\delta_0=0$ et donc $\lambda=0$. Finalement, on a donc $\hat{S}=-2i \vp\parentheses*{\frac{1}{x}}$.

\end{sol}

\item \label{q: H hat} Calculer $\hat{H}$ dans $\cS'(\R)$.

\begin{sol}

On écrit la fonction de Heaviside sous la forme $H = \frac{1}{2}\parentheses{1+S}$. D'où $H \in \cS'(\R)$ et:
\begin{equation*}
\hat{H} = \frac{1}{2}\parentheses*{\hat{1} + \hat{S}} = \frac{1}{2} \parentheses*{2\pi\delta_0 -2i \vp\parentheses*{\frac{1}{x}}} = \pi\delta_0 -i\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}.
\end{equation*}

\end{sol}

\item \label{q: TF de vp} Justifier que $\vp\parentheses*{\dfrac{1}{x}} \in \cS'(\R)$ et calculer sa transformée de Fourier.

\begin{sol}

Comme $S \in \cS'(\R)$ on a $\hat{S} \in \cS'(\R)$. D'après la question~\ref{q: S hat}, on a $\vp\parentheses*{\frac{1}{x}} = \frac{i}{2}\hat{S} \in \cS'(\R)$. Alternativement, $\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}$ est somme d'une distribution à support compact et d'une fonction bornée. Par inversion de Fourier, on obtient: $\hat{\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}} = \frac{i}{2} \hat{\hat{S}} = \frac{i}{2} (2\pi) \check{S} = -i\pi S$.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Transformée de Fourier des distributions de $\cE'$, analyticité]
\label{exo: TF de E' analytique}

Soient $T \in \cE'(\R) \subset \cS'(\R)$ et $R >0$ tel que $\supp(T) \subset ]-R,R[$. Soit $\chi \in \cD(\R)$ tel que $\chi \equiv 1$ sur $[-R,R]$ et $\supp(\chi) \subset [-2R,2R]$. On rappelle que $\hat{T}$ est continue sur $\R$ et que $\hat{T}(\xi)=\prsc{T}{e_{-\xi}} = \prsc{T}{\chi e_{-\xi}}$ pour tout $\xi \in \R$.

\begin{enumerate}

\item \label{q: TF de E' CVN} Soit $\xi \in \R$, pour tout $k \in \N$ on note $f_k:x \mapsto (-i\xi)^k \chi(x) \frac{x^k}{k!}$. Pour tout $p \in \N$, montrer que $\sum_{k \geq 0} f_k^{(p)}$ converge normalement sur $\R$.

\begin{sol}

Déjà, pour tout $k \in \N$ on a $f_k \in \cD(\R)$ et $\supp(f_k) \subset \supp(\chi) \subset [-2R,2R]$. Soit $p \in \N$, pour tout $x \in [-2R,2R]$, on a
\begin{equation*}
\norm*{f_k^{(p)}(x)} = \norm*{(-i\xi)^k \sum_{q=0}^{\min(p,k)} \binom{p}{q} \chi^{(p-q)}(x) \frac{x^{k-q}}{(k-q)!}} \leq \Norm{\chi}_{\cC^p} \norm{\xi}^k \sum_{q=0}^{\min(p,k)}\binom{p}{q} \frac{(2R)^{k-q}}{(k-q)!},
\end{equation*}
où $\Norm{\chi}_{\cC^p} = \sum_{i=0}^p \Norm{\chi^{(i)}}_\infty$. Comme $f_k^{(p)}$ est nulle hors de $[-2R,2R]$, on en déduit l'inégalité $\Norm{f_k^{(p)}}_\infty \leq \Norm{\chi}_{\cC^p} \norm{\xi}^k \sum_{q=0}^{\min(p,k)}\binom{p}{q} \frac{(2R)^{k-q}}{(k-q)!}$. Donc
\begin{align*}
\sum_{k \geq 0} \Norm{f_k^{(p)}}_\infty &\leq \Norm{\chi}_{\cC^p} \sum_{k \geq 0} \sum_{q=0}^{\min(p,k)}\binom{p}{q}\norm{\xi}^q \frac{(2R\norm{\xi})^{k-q}}{(k-q)!} = \Norm{\chi}_{\cC^p}\sum_{q=0}^p \binom{p}{q}\norm{\xi}^q \sum_{k\geq q} \frac{(2R\norm{\xi})^{k-q}}{(k-q)!}\\
&\leq \Norm{\chi}_{\cC^p} e^{2R\norm{\xi}} \sum_{q=0}^p \binom{p}{q}\norm{\xi}^q = \Norm{\chi}_{\cC^p} e^{2R\norm{\xi}} \parentheses{1+\norm{\xi}}^p <+\infty.
\end{align*}

\end{sol}

\item \label{q: TF dans E' CV dans D} En déduire que $\sum_{k=0}^n f_k \xrightarrow[n \to +\infty]{\cD} \chi e_{-\xi}$.

\begin{sol}

D'après la question~\ref{q: TF de E' CVN}, la série de fonction $f = \sum_{k \geq 0} f_k$ définit une fonction $\cC^\infty$ sur $\R$ et, pour tout $p \in \N$, $f^{(p)} = \sum_{k \geq 0} f_k^{(p)}$ avec convergence normale donc uniforme sur $\R$. En particulier, pour tout $p \in \N$, $\Norm*{f^{(p)} - \sum_{k=0}^n f_k^{(p)}}_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{}0$, et donc $\sum_{k=0}^n f_k \xrightarrow[n \to +\infty]{\cD} f$.

Pour tout $x \in \R$, $f(x) = \sum_{k \geq 0}f_k(x) = \chi(x) \sum_{k \geq 0} \frac{(-i\xi x)^k}{k!} = \chi(x) e^{-i \xi x}$. Donc $f = \chi e_{-\xi}$.

\end{sol}

\item Montrer que $\hat{T}$ est la somme sur $\R$ d'une série entière de rayon de convergence infini.

\begin{sol}

Pour tout $\xi \in \R$, la question~\ref{q: TF dans E' CV dans D} montre que
\begin{equation*}
\hat{T}(\xi) = \prsc{T}{\chi e_{-\xi}} = \lim_{n \to +\infty} \prsc*{T}{\sum_{k=0}^n f_k} = \sum_{k \geq 0} \prsc{T}{f_k} = \sum_{k \geq 0} \frac{(-i)^k}{k!}\prsc{T}{\chi X^k} \xi^k.
\end{equation*}
En particulier, la série entière dans le terme de droite converge simplement en tout $\xi \in \R$. Cela assure que son rayon de convergence est infini.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


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\begin{dfn}
\label{def: croissance lente}

Soit $f \in \cC^\infty(\R^d)$, on dit que la fonction $f$ est \emph{à croissance lente} si pour tout $\alpha \in \N^d$ il existe $C \geq 0$ et $k \in \N$ tels que $\norm*{\partial^\alpha f(x)} \leq C \ang{x}^k$ pour tout $x \in \R^d$, où on a noté $\ang{x}= \parentheses*{1+\Norm{x}^2}^\frac{1}{2}$. On note $\cOM(\R^d)$ le sous-espace de $\cC^\infty(\R^d)$ formé par les fonctions à croissance lente.

\end{dfn}


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\begin{exo}[Produit de $\cS'$ par $\cOM$]
\label{exo: produit S' OM}

Dans cet exercice, on prouve les énoncés du cours affirmant que $\cS(\R^d)$ et $\cS'(\R^d)$ sont stables par multiplication par un élément de $\cOM(\R^d)$.

\begin{enumerate}

\item \label{q: stabilite de S par mult} Soient $\rho \in \cOM(\R^d)$ et $p \in \N$, montrer qu'il existe $C \geq 0$ et $q \geq p$ tels que $N_p(\rho \varphi) \leq C N_q(\varphi)$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$.

\begin{sol}

Soient $\alpha$ et $\beta \in \N^d$ de longueurs inférieures à $p$. Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, pour tout $x \in \R^d$,
\begin{equation*}
x^\alpha \partial^\alpha(\rho \varphi)(x) = \sum_{\gamma \leq \beta} \binom{\beta}{\gamma} x^\alpha \partial^\gamma \rho(x) \partial^{\beta-\gamma}\varphi(x).
\end{equation*}
Soit $\gamma \in \N^d$ tel que $\norm{\gamma} \leq p$. Comme $\rho \in \cOM(\R^d)$ il existe $C_\gamma \geq 0$ et $k_\gamma \in \N$ tels qu'on ait $\norm{\partial^\gamma\rho} \leq C_\gamma \ang{X}^{k_\gamma} \leq C_\gamma \parentheses*{1+\Norm{X}^2}^{k_\gamma}$. Par ailleurs, on a déjà vu dans l'exercice~2 de la feuille~6 qu'il existe $A_\gamma \geq 0$ tel que $\Norm{\parentheses*{1+\Norm{X}^2}^{k_{\gamma}}\psi}_\infty \leq A_\gamma N_{2k_\gamma}(\psi)$ pour tout $\psi \in \cS'(\R^d)$. Mais alors, si $\gamma \leq \beta$,
\begin{align*}
\norm*{x^\alpha \partial^\gamma \rho(x) \partial^{\beta-\gamma}\varphi(x)} &\leq C_\gamma \parentheses*{1+\Norm{x}^2}^{k_\gamma}\norm*{x^\alpha \partial^{\beta-\gamma} \varphi(x)} \leq C_\gamma \Norm{\parentheses*{1+\Norm{X}^2}^{k_\gamma}X^\alpha \partial^{\beta-\gamma} \varphi}_\infty \\
&\leq C_\gamma A_\gamma N_{2k_\gamma}\parentheses*{X^\alpha \partial^{\beta-\gamma} \varphi}\leq B_{\alpha,\beta,\gamma}N_{2k_\gamma+p}(\varphi).
\end{align*}
En notant $q= \max \brackets*{p+2k_\gamma \mvert \norm{\gamma} \leq p}$ et $B= \max \brackets*{B_{\alpha,\beta,\gamma} \mvert \norm{\alpha} \leq p, \norm{\beta} \leq p, \gamma \leq \beta}$ on obtient $\Norm*{X^\alpha \partial^\gamma \rho \partial^{\beta-\gamma}\varphi}_\infty \leq B_{\alpha,\beta,\gamma}N_{2k_\gamma+p}(\varphi)\leq B N_q(\varphi)$. Et donc
\begin{equation*}
\Norm*{X^\alpha \partial^\alpha(\rho \varphi)}_\infty \leq \sum_{\gamma \leq \beta} \binom{\beta}{\gamma} \Norm*{X^\alpha \partial^\gamma \rho \partial^{\beta-\gamma}\varphi}_\infty \leq BN_q(\varphi) \sum_{\gamma \leq \beta} \binom{\beta}{\gamma} = C N_q(\varphi),
\end{equation*}
où $C \geq 0$ et $q \in \N$ dépendent de $\rho$ et $p$ mais pas de $\varphi$.

\end{sol}

\item \label{q: stabilite de S' par mult} Soient $T \in \cS'(\R^d)$ et $\rho \in \cOM(\R^d)$, montrer que la forme linéaire sur $\cS(\R^d)$ définie par $\varphi \mapsto \prsc{T}{\rho \varphi}$ est une distribution tempérée. On la notera $\rho T \in \cS'(\R^d)$.

\begin{sol}

Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, pour tout $p \in \N$ il existe $q \in \N$ et $C \geq 0$ tels que $N_p(\rho \varphi) \leq C N_q(\varphi) <+\infty$, d'après la question~\ref{q: stabilite de S par mult}. Donc $\rho \varphi \in \cS(\R^d)$. Notons $M_\rho:\varphi \mapsto \rho \varphi$ de $\cS(\R^d)$ dans lui-même. Cette application est linéaire, et elle est continue par la question~\ref{q: stabilite de S par mult}. Donc $T \circ M_\rho : \varphi \mapsto \prsc{T}{\rho \varphi}$ est linéaire continue de $\cS(\R^d)$ vers $\C$.

À la main, il existe $p \in \N$ et $A \geq 0$ tels que $\norm{\prsc{T}{\psi}} \leq A N_p(\psi)$ pour tout $\psi \in \cS(\R^d)$. Donc pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on obtient
\begin{equation*}
\norm{\prsc{T}{\rho \varphi}} \leq A N_p(\rho \varphi) \leq AC N_q(\varphi),
\end{equation*}
où $C \geq 0$ et $q \in \N$ sont donnés par la question~\ref{q: stabilite de S par mult}. Ainsi $T \circ M_\rho:\varphi \mapsto \prsc{T}{\rho \varphi}$ définit bien une distribution tempérée.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}

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\begin{exo}[Transformation de Fourier et convolution dans $\cS'$]
\label{exo: TF et convolution}

Dans cet exercice on s'intéresse aux interactions entre transformation de Fourier et convolution.

\begin{enumerate}

\item \label{q: normes S et convolee} Soient $\rho \in \cS(\R^d)$ et $p \in \N$, montrer qu'il existe $C >0$ tel que $\forall \varphi \in \cS(\R^d)$, $N_p(\varphi \ast \rho) \leq C N_p(\varphi)$.

\begin{sol}

Soient $\alpha$ et $\beta \in \N^d$ de longueur au plus $p$. Pour tout $x \in \R^d$ on a:
\begin{align*}
x^\alpha\partial^\beta(\varphi \ast \rho)(x) &=  x^\alpha\parentheses*{(\partial^\beta\varphi) \ast \rho}(x) = \int_{\R^d} (x-y+y)^\alpha \partial^\beta\varphi(y) \rho(x-y) \dx y\\
&= \sum_{\gamma \leq \alpha} \binom{\alpha}{\gamma} \int_{\R^d} y^\gamma\partial^\beta\varphi(y) (x-y)^{\alpha-\gamma} \rho(x-y) \dx y.
\end{align*}
Donc
\begin{align*}
\norm*{x^\alpha\partial^\beta(\varphi \ast \rho)(x)} &\leq \sum_{\gamma \leq \alpha} \binom{\alpha}{\gamma} \Norm*{y^\gamma \partial^\beta\varphi}_\infty \int_{\R^d} \norm{x-y}^{\alpha-\gamma} \norm{\rho(x-y)} \dx y\\
&\leq N_p(\varphi) \sum_{\gamma \leq \alpha} \binom{\alpha}{\gamma} \int_{\R^d} \norm{z}^{\alpha-\gamma} \norm{\rho(z)} \dx z \leq C_\alpha N_p(\varphi),
\end{align*}
où $C_\alpha >0$ est une constante ne dépendant que de $\rho$ et $\alpha$. Dans la dernière étape, on a utilisé le fait que $\rho \in \cS(\R^d)$ implique l'intégrabilité de $z \mapsto \norm{z}^{\alpha-\gamma}\norm{\rho(z)}$.

On pose $C = \max_{\norm{\alpha} \leq p} C_\alpha$. D'après le calcul précédent, pour tout $\alpha$ et $\beta \in \N^d$ de longueur au plus $p$ on a:
\begin{equation*}
\Norm*{x^\alpha \partial^\beta(\varphi \ast \rho)}_\infty \leq C N_p(\varphi),
\end{equation*}
ce qui prouve le résultat.

\end{sol}

\item \label{q: S stable par convolution} Soient $\varphi$ et $\rho \in \cS(\R^d)$, montrer que $\varphi \ast \rho \in \cS(\R^d)$ et que $\hat{\varphi \ast \rho} = \hat{\varphi}\ \hat{\rho}$.

\begin{sol}

Soient $\alpha$ et $\beta \in \N^d$ et notons $p = \max(\norm{\alpha},\norm{\beta})$. D'après la question précédente, on a:
\begin{equation*}
\Norm*{x^\alpha \partial^\beta(\varphi \ast \rho)}_\infty \leq C N_p(\varphi) < +\infty.
\end{equation*}
Donc, pour tout $p \in \N$, $N_p(\varphi \ast \rho) < +\infty$ et $\varphi \ast \rho \in \cS(\R^d)$. Calculons la transformée de Fourier de $\varphi \ast \rho \in \cS(\R^d) \subset L^1(\R^d)$. Pour tout $\xi \in \R^d$,
\begin{align*}
\hat{\varphi \ast \rho}(\xi) &= \int_{\R^d} e^{-i x \cdot \xi} \int_{\R^d} \varphi(y)\rho(x-y) \dx y \dx x = \int_{\R^d} e^{-i y \cdot \xi} \varphi(y) \int_{\R^d} e^{-i (x-y) \cdot \xi} \rho(x-y) \dx x \dx y\\
&= \int_{\R^d} e^{-i y \cdot \xi} \varphi(y) \int_{\R^d} e^{-i z \cdot \xi} \rho(z) \dx z \dx y = \hat{\rho}(\xi) \hat{\varphi}(\xi).
\end{align*}
Il reste à justifier qu'on peut bien intervertir les intégrales par Fubini. C'est le cas car
\begin{equation*}
\int_{\R^d} \int_{\R^d} \norm{e^{-i x \cdot \xi}\varphi(y)\rho(x-y)} \dx y \dx x = \int_{\R^d} \int_{\R^d} \norm{\varphi(y)}\norm{\rho(x-y)} \dx y \dx x \leq \Norm{\varphi}_{L^1} \Norm{\rho}_{L^1} < +\infty.
\end{equation*}

\end{sol}

\item \label{q: convolution E' S definie} Soient $S \in \cE'(\R^d)$ et $\rho \in \cS(\R^d)$, montrer que $S \ast \rho \in \cS'(\R^d) \cap \cC^\infty(\R^d)$ et que, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, on a $\prsc{S \ast \rho}{\varphi} = \prsc{S}{\check{\rho} \ast \varphi}$.

\begin{sol}

Comme $\cS(\R^d) \subset \cE(\R^d)$, la convolée $S \ast \rho:x \mapsto \prsc{S}{\tau_x\check{\rho}}$ est bien définie. D'après le cours, c'est une fonction $\cC^\infty$ sur $\R^d$ telle que $\prsc{S \ast \rho}{\varphi} = \prsc{S}{\check{\rho} \ast \varphi}$ pour tout $\varphi \in \cD(\R^d)$. En d'autres termes, l'élément de $\cD'(\R^d)$ associé à la fonction $S\ast \rho$ est $\varphi \mapsto \prsc{S}{\check{\rho} \ast \varphi}$.

Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, par la question~\ref{q: S stable par convolution} on a $\check{\rho} \ast \varphi \in \cS(\R^d)$. Comme $S \in \cE'(\R^d) \subset \cS'(\R^d)$, l'expression $\prsc{S}{\check{\rho}\ast \varphi}$ a bien du sens. Donc $\varphi \mapsto \prsc{S}{\check{\rho} \ast \varphi}$ définit une forme linéaire sur $\cS(\R^d)$ qui prolonge $S \ast \rho \in \cD'(\R^d)$.

Montrons que ce prolongement est continu. Comme $S \in \cS'(\R^d)$, il existe $A \geq 0$ et $p \in \N$ tel que $\norm{\prsc{S}{\psi}} \leq A N_p(\psi)$ pour tout $\psi \in \cS(\R^d)$. Alors, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a
\begin{equation*}
\norm{\prsc{S}{\check{\rho} \ast \varphi}} \leq A N_p(\check{\rho} \ast \varphi) \leq A C N_p(\varphi),
\end{equation*}
d'après la question~\ref{q: normes S et convolee}. Le prolongement définit donc bien un élément de $\cS'(\R^d)$. Dorénavant on notera encore ce prolongement $S \ast \rho$, de sorte que $S \ast \rho \in \cS'(\R^d) \cap \cC^\infty(\R^d)$ et $\prsc{S \ast \rho}{\varphi} = \prsc{S}{\check{\rho} \ast \varphi}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item \label{q: convolution E' S Fourier} Montrer que $\hat{S \ast \rho} = \hat{S} \hat{\rho}$ et en déduire qu'en fait $S \ast \rho \in \cS(\R^d)$.

\begin{sol}

Comme $S \ast \rho \in \cS'(\R^d)$ sa transformée de Fourier est bien définie. Par ailleurs $\hat{S} \in \cOM(\R^d)$ et donc $\hat{S}\hat{\rho} \in \cS(\R^d) \subset \cS'(\R^d)$ par la question~\ref{q: stabilite de S par mult} de l'exercice~\ref{exo: produit S' OM}. Les deux termes de l'égalité à démontrer on donc bien du sens dans $\cS'(\R^d)$.

Pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a:
\begin{equation*}
\prsc*{\hat{S \ast \rho}}{\varphi} = \prsc*{S \ast \rho}{\hat{\varphi}} = \prsc*{S}{\check{\rho} \ast \hat{\varphi}} = \prsc*{\hat{S}}{\mathcal{F}^{-1}\parentheses*{\check{\rho} \ast \hat{\varphi}}}.
\end{equation*}

La formule d'inversion de Fourier dit que $\mathcal{F}^{-1}:\psi \mapsto \frac{1}{(2\pi)^d}\hat{\psi}(-\cdot)$. En utilisant le résultat de la question~\ref{q: S stable par convolution}, on a:
\begin{equation*}
\mathcal{F}^{-1}\parentheses*{\check{\rho} \ast \hat{\varphi}} = \frac{1}{(2\pi)^d} \hat{\parentheses*{\check{\rho} \ast \hat{\varphi}}}(-\cdot) = \frac{1}{(2\pi)^d} \hat{\hat{\varphi}}(-\cdot) \hat{\check{\rho}}(-\cdot) = \mathcal{F}^{-1}(\hat{\varphi}) \check{\hat{\rho}}(-\cdot) = \varphi \hat{\rho}.
\end{equation*}
Finalement $\prsc*{\hat{S \ast \rho}}{\varphi} = \prsc*{\hat{S}}{\varphi \hat{\rho}} = \prsc*{\hat{\rho}\hat{S}}{\varphi}$, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, d'où $\hat{S \ast \rho} = \hat{S}\hat{\rho}$. Puisque $\cF:\cS'(\R^d) \to \cS'(\R^d)$ induit une bijection de $\cS(\R^d)$ dans lui-même, $S \ast \rho = \cF^{-1}\parentheses*{\hat{S}\hat{\rho}} \in \cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item \label{q: norme E' * S} Soient $S \in \cE'(\R^d)$ et $p \in \N$, montrer qu'il existe $C \geq 0$ et $q \geq p$ tels que $N_p\parentheses*{S \ast \varphi} \leq C N_q(\varphi)$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$.

\begin{hint}
Utiliser les questions précédentes et la continuité de $\cF:\cS(\R^d) \to \cS(\R^d)$.
\end{hint}

\begin{sol}

On sait par le cours que pour tout $k \in \N$ il existe $C_{k,d} \geq 0$ tel que $N_k\parentheses{\hat{\psi}} \leq C_{k,d}N_{k+d+1}(\psi)$ pour tout $\psi \in \cS(\R^d)$. On a aussi $N_k(\psi) \leq C_{k,d}N_{k+d+1}(\check{\hat{\psi}}) = C_{k,d}N_{k+d+1}(\hat{\psi})$ car $\psi = \cF\parentheses*{(2\pi)^{-d}\check{\hat{\psi}}}$. On va utiliser ces inégalité qui traduisent la continuité de $\cF$ et $\cF^{-1}$.

Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, comme $S \ast \varphi \in \cS(\R^d)$ on a $N_p(S \ast \varphi) \leq C_{p,d}N_{p+d+1}\parentheses*{\hat{S \ast \varphi}}=C_{p,d}N_{p+d+1}\parentheses*{\hat{S} \hat{\varphi}}$ par la question~\ref{q: convolution E' S Fourier}. Comme $S \in \cE'(\R^d)$, sa transformée de Fourier est dans $\cOM(\R^d)$. En appliquant la question~\ref{q: stabilite de S par mult} de l'exercice~\ref{exo: produit S' OM} avec $\rho = \hat{S}$, il existe $A$ et $r \in \N$ tels que,  pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, on ait $N_{p+d+1}\parentheses*{\hat{S} \hat{\varphi}} \leq A N_r(\hat{\varphi}) \leq A C_{r,d}N_{r+d+1}(\varphi)$.

Finalement, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a $N_p(S\ast \varphi) \leq C_{p,d}AC_{r,d} N_{r+d+1}(\varphi)=CN_q(\varphi)$.

\end{sol}

\item \label{q: convolution S' E'} Soient $T \in \cS'(\R^d)$ et $S \in \cE'(\R^d)$, montrer que $T \ast S \in\cS'(\R^d)$ et que $\prsc{T \ast S}{\varphi} = \prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$.

\begin{sol}

Comme $T \in \cS'(\R^d) \subset \cD'(\R^d)$, la convolée $T \ast S \in \cD'(\R^d)$ est définie par $T \ast S:\varphi \mapsto \prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$ de $\cD(\R^d)$ dans $\C$.

Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, alors $\check{S}\ast \varphi \in \cS(\R^d)$ par la question~\ref{q: convolution E' S Fourier} et donc $\prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$ est bien définie. Donc $\varphi \mapsto \prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$ définit une forme linéaire sur $\cS(\R^d)$ qui étend $T \ast S \in \cD'(\R^d)$.

Comme $T \in \cS'(\R^d)$, il existe $A \geq 0$ et $p \in \N$ tels que $\norm{\prsc{T}{\psi}} \leq A N_p(\psi)$ pour tout $\psi \in \cS(\R^d)$. En appliquant la question~\ref{q: norme E' * S} à $\check{S} \in \cE'(\R^d)$ on alors pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$
\begin{equation*}
\norm{\prsc{T}{\check{S} \ast \varphi}} \leq A N_p\parentheses*{\check{S} \ast \varphi} \leq AC N_q(\varphi),
\end{equation*}
ce qui prouve que $\varphi \mapsto \prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$ définit une distribution tempérée qui prolonge $T \ast S$. Dans la suite on notera encore $T \ast S$ pour le prolongement. On a donc $T \ast S \in \cS'(\R^d)$ et $\prsc{T \ast S}{\varphi} = \prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item \label{q: Fourier S' * E'} Montrer que $\hat{T \ast S} = \hat{S}\hat{T}$.

\begin{sol}

Comme $S \in \cE'(\R^d)$ on a $\hat{S} \in \cOM(\R^d)$ et donc $\hat{S}\hat{T} \in \cS'(\R^d)$ est bien défini. Ensuite, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, on a
\begin{equation*}
\prsc{\hat{T \ast S}}{\varphi} = \prsc{T \ast S}{\hat{\varphi}} = \prsc{T}{\check{S} \ast \hat{\varphi}} = \prsc*{\hat{T}}{\cF^{-1}\parentheses*{\check{S} \ast \hat{\varphi}}}
\end{equation*}
En utilisant la question~\ref{q: convolution E' S Fourier} et la formule d'inversion de Fourier,
\begin{equation*}
\cF^{-1}\parentheses*{\check{S} \ast \hat{\varphi}}=\frac{1}{(2\pi)^d} \hat{\check{S}\ast \hat{\varphi}}(-\cdot) =  \frac{1}{(2\pi)^d}\hat{\hat{\varphi}}(-\cdot) \hat{S} = \varphi \hat{S}.
\end{equation*}
Donc $\prsc{T\ast S}{\varphi} = \prsc{\hat{T}}{\hat{S}\varphi} = \prsc{\hat{S}\hat{T}}{\varphi}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, ce qui établit la formule souhaitée.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


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\begin{exo}[Distributions tempérées harmoniques]
\label{exo: distributions temperees harmoniques}

Soit $T \in \cD'(\R^d)$ harmonique et bornée, montrer que $T$ est constante.

\begin{sol}

On sait que si $\Delta T=0$ alors $T\in \cC^\infty(\R^d)$. Cela a alors du sens de dire que $T$ est bornée. Si c'est le cas $T \in \cS'(\R^d)$, et d'après le cours on a $T\in \C[X_1,\cdots,X_d]$.

\begin{rem}
Attention, les polynômes sont tous dans $\cS'(\R^d)$ et leurs transformées de Fourier sont supportées en $0$, mais ils ne sont pas tous harmoniques. Par exemple $\Delta(\sum_{i=1}^d X_i^2) = 2d$.
\end{rem}

Ainsi $T$ est un polynôme borné donc constant. Précisons un peu. Soit $u \in \S^{d-1}$, la fonction d'une variable $P:t \mapsto T(tu)$ est un polynôme qui est borné donc constant. Donc, pour tout $t \in \R$, $T(tu)=P(t)=P(0)=T(0)$. C'est vrai pour tout $u \in \S^{d-1}$, donc finalement $T$ est bien constant.
\end{sol}

\end{exo}

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\begin{exo}[Fonctions propres du laplacien]
\label{exo: fonctions propres du laplacien}

Dans cet exercice, on s'intéresse aux solutions de l'équation $\Delta T + \lambda T=0$, où $\lambda \in \C$ et $T \in \cS'(\R^d)$ est l'inconnue.

\begin{enumerate}

\item Soient $\lambda \in \C$ et $T \in \cS'(\R^d)$ telle que $\Delta T + \lambda T=0$, montrer que $T \in \cC^\infty(\R^d)$.

\begin{sol}

Notons $P = \lambda+\sum_{i=1}^d X_i^2$ de sorte que $\Delta +\lambda\Id = P(\partial)$. Comme $T \in \cS'(\R^d)$ on peut passer en Fourier dans l'égalité $P(\partial)T=(\Delta +\lambda\Id)T=0$. On obtient $0=P(i\xi)\hat{T} = (\lambda-\Norm{\xi}^2)\hat{T}$, et donc $\supp(\hat{T}) \subset \brackets{\xi \in \R^d \mid \Norm{\xi}^2=\lambda}$. Le support de $\hat{T}$ est donc inclus dans la sphère de rayon~$\sqrt{\lambda}$ si $\lambda \in \R_+$ et $\emptyset$ sinon. Donc $\hat{T} \in \cE'(\R^d)$. Par la formule d'inversion de Fourier, $(2\pi)^d \check{T} = \cF\parentheses{\hat{T}}\in \cC^\infty(\R^d)$. Donc $T \in \cC^\infty(\R^d)$.

On peut aussi sortir l'artillerie lourde. Le symbole principal de $P(\partial)$ est $-\Norm{\cdot}^2$ donc $P(\partial)$ est elliptique. D'après le cours il admet une paramétrix $\Pi \in \cS'(\R^d)$ telle que $\suppsing(\Pi)= \brackets{0}$. Alors $\suppsing(T) = \suppsing(P(\partial)T) = \emptyset$ et donc $T$ est lisse.

\end{sol}

\item Pour quels $\lambda \in \C$ existe-t-il $T \in \cS'(\R^d)$ non nulle telle que $\Delta T + \lambda T=0$.

\begin{sol}

On vient de voir que si $\Delta T + \lambda T=0$ alors $\hat{T}$ est telle que $\supp(\hat{T}) \subset \brackets*{\xi \in \R^d \mvert \Norm{\xi}^2 = \lambda}$.

Si $\lambda \notin \R_+$ on a $\supp(\hat{T})=\emptyset$, donc $\hat{T}=0$, et donc $T=0$. Cela revient à reprouver dans un cas particulier le résultat du cours affirmant que si le symbole $\xi \mapsto
P(i\xi)=\lambda - \Norm{\xi}^2$ ne s'annule pas sur $\R^d$ alors $P(\partial):\cS'(\R^d) \to \cS'(\R^d)$ est injectif.

Si $\lambda=0$, alors $\hat{T}$ est supportée en $0$. Par exemple, pour $\hat{T}=\delta_0$ on obtient $T = (2\pi)^d$ qui est bien une solution non nulle de $\Delta T=0$. Plus généralement, les polynômes harmoniques donnent des solutions non nulles de $\Delta T=0$, voir exercice~\ref{exo: distributions temperees harmoniques}.

On suppose désormais que $\lambda \in \R_+^*$, et on procède par analyse-synthèse. Si $\Delta T + \lambda T=0$ alors $\hat{T}$ est supportée sur la sphère $\S_\lambda$ de rayon $\sqrt{\lambda}$ centrée en $0$. Attention, la réciproque n'est pas vraie, on peut avoir $\hat{T}$ supportée sur $\S_\lambda$ mais $(\lambda - \Norm{\xi}^2)\hat{T} \neq 0$ et donc $\Delta T +\lambda T \neq 0$. Cependant, si on suppose de plus que $\hat{T}$ est d'ordre $0$, on a montré dans l'exercice~2 de la feuille~3 que $(\lambda - \Norm{\xi}^2)\hat{T}=0$, et donc $\Delta T + \lambda T=0$. Il s'agit donc de construire $\hat{T} \in \cS'(\R^d)$ d'ordre $0$ et supportée sur $\S_\lambda$.

On peut considérer le cas où $\hat{T} = \delta_a$ avec $\Norm{a}^2=\lambda$, ce qui correspond à $T = (2\pi)^d e_a$. On vérifie d'ailleurs à la main que $\Delta e_a = -\Norm{a}^2e_a$.

On peut construire d'autres exemples. Dans l'exercice~3 de la feuille~3, on a construit une mesure de Radon $\mu \in \cE'(\R^d) \subset \cS'(\R^d)$ supportée par la sphère unité (en fait la mesure de probabilité sur $\S_1$ uniforme sous l'action de $O_d(\R)$). En mimant cette construction on définit de même la mesure de probabilité uniforme $\mu_\lambda$ sur $\S_\lambda$. Plus simplement $\mu_\lambda$ peut être obtenue par dilatation de $\mu$ en posant
\begin{equation*}
\forall \varphi \in \cE(\R^d), \qquad \prsc{\mu_{\lambda}}{\varphi} = \int_{\R^d} \varphi(x) \dx \mu_\lambda(x) := \int_{\R^d} \varphi\parentheses*{\sqrt{\lambda} x} \dx \mu (x) = \prsc{\mu}{\varphi(\sqrt{\lambda} \cdot)}.
\end{equation*}
On obtient ainsi $\mu_\lambda \in \cE'(\R^d)$ qui est une une distribution d'ordre $0$ supportée par $\S_\lambda$. Notamment $(\lambda-\Norm{\xi}^2)\mu_\lambda=0$, voir la proposition 6.11 du cours ou l'exercice 8 de la feuille 4. Soit $T_\lambda = (2\pi)^{-d} \hat{\mu_\lambda}$, par inversion de Fourier on obtient que $\hat{T_\lambda} = \check{\mu_\lambda} = \mu_\lambda$ (invariance de $\mu_\lambda$ par $-\Id$, ou calcul direct). Donc $\Delta T_\lambda + \lambda T_\lambda = 0$, et $T_\lambda\neq 0$ sinon on aurait $\mu_\lambda = 0$.

Finalement $\Delta T + \lambda T=0$ a des solutions non nulles dans $\cS'(\R^d)$ (donc dans $\cC^\infty(\R^d)$) si et seulement si $\lambda \in \R_+$.

\end{sol}

\end{enumerate}


\end{exo}

\end{document}