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% Gestion de l'affichage des solutions avec le package comment

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% Informations du document

\author{Blanche Buet, Dominique Hulin et Thomas Letendre}
\date{2024 -- 2025}
\title{Feuille 10 -- Théorème de Bochner}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Mise en page de l'en-tête

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Xr@{}}
Université Paris-Saclay & Master Mathématiques et Applications \\
\@date & Distributions et Analyse de Fourier
\end{tabularx}

\vspace{1ex}

Enseignant·e·s: \@author .

\vspace{2ex}

\hrule

\begin{center}
\begin{Large}
\@title
\end{Large}
\end{center}

\hrule

\vspace{2ex}

\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Début du corps du texte

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{dfn}[Fonction définie-positive]
Une fonction $f:\R^d \to \C$ est dite \emph{définie-positive} si pour tout $n \in \N^*$, pour tout $x_1,\dots,x_n \in \R^d$ et pour tout $\lambda_1,\dots,\lambda_n \in \C$ on a: $\sum_{1 \leq j, k \leq n} \lambda_j \bar{\lambda_k}f(x_k-x_j) \geq 0$.
\end{dfn}

Ici et dans la suite, on note $z \geq 0$ pour signifier que $z \in \C$ est en fait réel et positif. Le but des exercices suivants est de prouver le théorème de Bochner ci-dessous.

\begin{thm}[Bochner]
Une distribution tempérée est la transformée de Fourier d'une mesure de probabilité si et seulement si elle est définie par une fonction $f$ vérifiant les conditions suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item \label{item: normalisation} $f(0)=1$,
\item \label{item: continuite} $f$ est continue,
\item \label{item: def positive} $f$ est définie-positive.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{thm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Transformée de Fourier des mesures de proba]
\label{exo: TF de mu}

Soit $\mu$ une mesure de probabilité sur~$\R^d$.

\begin{enumerate}

\item \label{q: mu dans S'} Justifier que $\mu \in \cS'(\R^d)$.

\begin{sol}

On a vu dans la feuille 8 exercice 9 que, s'il existe $s \in \R$ tel que $\parentheses*{1+\Norm{x}^2}^\frac{s}{2} \in L^1(\dx \mu)$, alors $\mu$ définit une distribution tempérée par $\varphi \mapsto \int_{\R^d} \varphi(x) \dx \mu(x)$ de $\cS(\R^d)$ dans $\C$. Ici ce critère est vérifié pour $s=0$ puisque $\mu(\R^d)=1$.

À la main, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, $\norm*{\int_{\R^d} \varphi(x) \dx \mu(x)} \leq \Norm{\varphi}_\infty=N_0(\varphi)$, la linéarité étant claire.

\end{sol}

\item \label{q: TF de mu fonction} Montrer que $\hat{\mu}$ est une fonction et en déterminer une expression intégrale.

\begin{sol}

Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$. On calcule:
\begin{equation*}
\prsc*{\hat{\mu}}{\varphi} = \prsc{\mu}{\hat{\varphi}} = \int_{\R^d} \hat{\varphi}(x) \dx \mu(x) = \int_{\R^d} \int_{\R^d} \varphi(\xi) e^{-i \xi\cdot x} \dx \xi \dx \mu(x) = \int_{\R^d} \varphi(\xi) \int_{\R^d} e^{-i \xi\cdot x} \dx \mu(x) \dx \xi,
\end{equation*}
où l'utilisation du théorème de Fubini est licite puisque $(\xi,x) \mapsto \norm*{\varphi(\xi)}$ est intégrable sur $\R^d \times \R^d$ pour $\dx x \otimes \dx \mu$.

Posons $f:\xi \mapsto \int_{\R^d} e^{-i \xi \cdot x} \dx \mu(x)$, qui est bien définie de $\R^d$ dans $\C$. Comme $\mu$ est une mesure de probabilité, $f$ est bornée par $1$. En particulier $f \in \cS'(\R^d)$. Le calcul précédent montre que $\prsc*{\hat{\mu}}{\varphi} = \prsc{f}{\varphi}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ et donc $\hat{\mu}=f$.

\begin{rem}
Si $X$ est un vecteur aléatoire de loi $\mu$, on vient de montrer que $\hat{\mu}:\xi \mapsto \esp{e^{-i\xi \cdot X}}$. Les probabilistes définissent la fonction caractéristique de $\mu$ comme $\check{\hat{\mu}}$. L'injectivité de la transformée de Fourier montre qu'effectivement cette fonction caractérise totalement $\mu$.
\end{rem}

\end{sol}

\item \label{q: Bochner direct} Vérifier que la fonction $\hat{\mu}$ satisfait les conditions~\ref{item: normalisation}, \ref{item: continuite} et~\ref{item: def positive} dans le théorème de Bochner.

\begin{sol}

On a $\hat{\mu}=\mu(\R^d)=1$, ce qui prouve la condition de normalisation~\ref{item: normalisation}. Pour la continuité~\ref{item: continuite}, on applique le théorème de continuité des intégrales à paramètres l'intégrande étant $\cC^\infty$ en $(\xi,x)$ et borné par $1$. Reste à vérifier la condition~\ref{item: def positive}.

Soient $n \in \N^*$, $\xi_1,\dots,\xi_n \in \R^d$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_n \in \C$. On a
\begin{align*}
\sum_{1 \leq j,k \leq n} \lambda_j\bar{\lambda_k}\hat{\mu}(\xi_k-\xi_j)&= \sum_{1 \leq j,k \leq n} \lambda_j\bar{\lambda_k}\int_{\R^d} e^{-i(\xi_k-\xi_j)\cdot x}\dx \mu(x) = \int_{\R^d} \sum_{1 \leq j,k \leq n} \lambda_je^{i\xi_j\cdot x} \bar{\lambda_k e^{i\xi_k\cdot x}} \dx \mu(x)\\
&= \int_{\R^d} \norm*{\sum_{j=1}^n \lambda_je^{i\xi_j\cdot x}}^2 \dx \mu(x)\geq 0.
\end{align*}

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Fonctions définies-positives]
\label{exo: fonctions def positives}

Soit $f:\R^d \to \C$ une fonction continue et définie-positive.

\begin{enumerate}
\item \label{q: positive en 0} Montrer que $f(0) \geq 0$.

\begin{sol}

Pour $n=1$, $x_1=0$ et $\lambda_1=1$, la définie-positivité donne $f(0) \geq 0$. 

\end{sol}

\item \label{q: hermitienne} Soit $x \in \R^d$, montrer que pour tout $\alpha \in \C$, on a $\parentheses*{1+\norm{\alpha}^2}f(0) + \bar{\alpha} f(x) + \alpha f(-x) \geq 0$. En déduire que $f(-x) = \bar{f(x)}$.

\begin{sol}

On écrit la condition de définie-positivité pour $n=2$ avec $x_1=0$, $x_2=x$, $\lambda_1=1$ et $\lambda_2=\alpha$. Il vient:
$0 \leq f(0) + \bar{\alpha}f(x) + \alpha f(-x) + \norm{\alpha}^2f(0)$ qui est l'inégalité souhaitée.

Pour $\alpha=1$, on a $f(x)+f(-x)+2f(0) \geq 0$, en particulier est réel. Comme $f(0)$ est réel, il existe $a \in \R$ tel que $f(x)+f(-x)=a$. Pour $\alpha=i$, en argumentant de même, il existe $b \in \R$ tel que $-i(f(x)-f(-x))=b$. On a alors
\begin{align*}
\begin{cases} f(x)+f(-x) =a \\ -i(f(x)-f(-x))=b \end{cases} \iff \begin{cases} f(x)=\frac{a+ib}{2} \\ f(-x)=\frac{a-ib}{2}. \end{cases}
\end{align*}
Et comme $a, b \in \R$ on a bien $f(-x)=\bar{f(x)}$.

\end{sol}

\item \label{q: matrices et bornitude} Interpréter la condition de définie-positivité de $f$ en termes de matrices hermitiennes. En déduire que $f$ est bornée par $f(0)$.

\begin{sol}

Soient $n \in \N^*$ et $x_1,\dots,x_n \in \R^d$, on note $H(x_1,\dots,x_n) = \begin{pmatrix}
f(x_k-x_j)
\end{pmatrix}_{1 \leq j,k \leq n} \in M_n(\C)$. D'après la question~\ref{q: hermitienne}, on a $\trans{H(x_1,\dots,x_n)}=\bar{H(x_1,\dots,x_n)}$, i.e. cette matrice est hermitienne.

La définie-positivité de $f$ affirme que, pour tout $\Lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \in \C$,
\begin{equation*}
\trans{\Lambda} H(x_1,\dots,x_n) \bar{\Lambda} = \sum_{1 \leq j,k \leq n} \lambda_j \bar{\lambda_k}f(x_k-x_j) \geq 0,
\end{equation*}
c'est-à-dire que $H(x_1,\dots,x_n)$ est positive (mais pas définie-positive). Ainsi, la définie-positivité de $f$ est équivalente à demander que, pour tout $n \in \N^*$ et $x_1,\dots,x_n \in \R^d$, la matrice $H(x_1,\dots,x_n)$ est hermitienne positive. Notamment, pour tout $x \in \R^d$,
\begin{equation*}
0 \leq \det H(0,x) = \det \begin{pmatrix}
f(0) & f(x) \\ \bar{f(x)} & f(0)
\end{pmatrix} = f(0)^2 - \norm{f(x)}^2.
\end{equation*}
Donc $\norm{f(x)} \leq f(0)$. Finalement $f$ est bornée par $f(0)$.

\end{sol}

\item \label{q: def positive fonctions} Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, montrer que $\int_{\R^d \times \R^d} f(y-x)\varphi(x) \bar{\varphi(y)} \dx x \dx y \geq 0$.

\begin{sol}

Tout d'abord, $\norm*{f(y-x)\varphi(x)\bar{\varphi(y)}} \leq f(0) \norm{\varphi(x)}\norm{\varphi(y)}$ et le terme de droite est intégrale sur $\R^d \times \R^d$ puisque $\varphi \in \cS(\R^d) \subset L^1(\R^d)$. L'intégrale qui nous intéresse est donc bien définie et
\begin{equation*}
\int_{\R^d \times \R^d} f(y-x)\varphi(x) \bar{\varphi(y)} \dx x \dx y = \lim_{R \to +\infty} \int_{[-R,R]^{2d}} f(y-x)\varphi(x) \bar{\varphi(y)} \dx x \dx y.
\end{equation*}

Soit $R>0$, comme $(x,y)\mapsto f(y-x)\varphi(x)\bar{\varphi(y)}$ est continue, l'intégrale de cette fonction sur $[-R,R]^{2d}$ est obtenue comme une limite de sommes de Riemann. Soit $N \in \N^*$, et disons qu'on veut découper $[-R,R]^{2d}$ en cubes de côté $\frac{R}{N}$. On va approcher la valeur de l'intégrale par une combinaison linéaire des valeurs de la fonction sur $]-R,R]^{2d} \cap \frac{R}{N}\Z^{2d}$. Il est équivalent de choisir un point dans $]-R,R]^{2d} \cap \frac{R}{N}\Z^{2d}$ ou un couple de points dans $]-R,R]^d \cap \frac{R}{N}\Z^d = \frac{R}{N} \ssquarebrackets{-N+1}{N}^d$. On écrit donc
\begin{equation*}
\int_{[-R,R]^{2d}} f(y-x)\varphi(x) \bar{\varphi(y)} \dx x \dx y = \lim_{N \to +\infty} \sum_{x,y \in \frac{R}{N} \ssquarebrackets{-N+1}{N}^d} f(y-x)\varphi(x) \bar{\varphi(y)} \parentheses*{\frac{R}{N}}^{2d}.
\end{equation*}
Quitte à noté $x_1,\dots,x_{(2N)^d}$ les éléments de $\frac{R}{N} \ssquarebrackets{-N+1}{N}^d$, la somme précédente se ré-écrit
\begin{equation*}
\parentheses*{\frac{R}{N}}^{2d} \sum_{1\leq j,k \leq (2N)^d} f(x_k-x_j)\varphi(x_j) \bar{\varphi(x_k)}.
\end{equation*}
Par définie-positivité de $f$, cette somme est positive pour tout $N \in \N^*$. Donc, en passant à la limite $N \to +\infty$,
\begin{equation*}
\int_{[-R,R]^{2d}} f(y-x)\varphi(x) \bar{\varphi(y)} \dx x \dx y \geq 0.
\end{equation*}
On obtient le résultat voulu en passant à la limite $R \to +\infty$.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Distributions multiplicativement positives]
\label{exo: distributions mult positives}

On dit que $S \in \cS'(\R^d)$ est \emph{multiplicativement positive} si, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, on a $\prsc{S}{\varphi \bar{\varphi}} \geq 0$.

\begin{enumerate}

\item \label{q: positive implique mult positive} Soit $S \in \cS'(\R^d)$ une distribution positive, au sens où $\prsc{S}{\psi} \geq 0$ pour tout $\psi \in \cD(\R^d)$ à valeurs positives. Montrer que $S$ est multiplicativement positive.

\begin{sol}

Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, on a $\bar{\varphi} \in \cS(\R^d) \subset \cOM(\R^d)$ et donc $\varphi\bar{\varphi} = \norm{\varphi}^2 \in \cS(\R^d)$ est à valeurs positives. Soit $\chi \in \cD(\R^d)$ une fonction plateau égale à $1$ sur $B(0,1)$ et supportée dans $B(0,2)$. On a prouvé dans l'exercice~6 de la feuille 6 que $\chi(\frac{\cdot}{R})\norm{\varphi}^2 \xrightarrow[R \to +\infty]{\cS}\norm{\varphi}^2$. Donc
\begin{equation*}
\prsc*{S}{\chi\parentheses*{\frac{\cdot}{R}}\norm{\varphi}^2} \xrightarrow[R \to +\infty]{} \prsc{S}{\varphi\bar{\varphi}}.
\end{equation*}
Pour tout $R >0$ on a $\chi(\frac{\cdot}{R})\norm{\varphi}^2 \in \cD(\R^d)$ à valeurs positives. Par positivité de $S$, on a que $\prsc{S}{\varphi\bar{\varphi}}$ est limite d'une suite de nombre positifs, donc $\prsc{S}{\varphi\bar{\varphi}} \geq 0$. Donc $S$ est multiplicativement positive.

\end{sol}

\item \label{q: approximation positive} Soit $\psi \in \cD(\R^d)$ à valeurs positives, montrer qu'il existe une suite $(\psi_n)_{n \in \N^*}$ d'éléments de $\cD(\R^d)$ tels que $\psi_n \bar{\psi_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{\cD} \psi$.

\begin{sol}

Le problème vient du fait que $\psi$ étant à support compact elle s'annule, et donc $\sqrt{\psi}$ ne définit pas une fonction $\cC^\infty$ en général. Soit $\chi \in \cD(\R^d)$ une fonction plateau égale à $1$ au voisinage du support de $\psi$. On définit, pour tout $n \in \N^*$, $\psi_n = \chi\sqrt{\psi+\frac{1}{n}}$.

Soit $n \in \N^*$, comme $\psi$ est à valeurs positives, $\psi+\frac{1}{n}$ est strictement positive et donc $\sqrt{\psi+\frac{1}{n}}$ est une fonction $\cC^\infty$. Donc, pour tout $n \in \N^*$, $\psi_n\in \cD(\R^d)$ et $\supp(\psi_n) \subset \supp(\chi)$. Ensuite,
\begin{equation*}
\psi_n \bar{\psi_n} = \psi_n^2 = \chi^2 \parentheses*{\psi +\frac{1}{n}} = \psi + \frac{1}{n}\chi^2 \xrightarrow[n \to +\infty]{\cD}\psi.
\end{equation*}

\end{sol}

\item \label{q: mult positive implique positive} Soit $S \in \cS'(\R^d)$ multiplicativement positive, montrer que $S$ est une distribution positive.

\begin{sol}

Soit $\psi \in \cD(\R^d)$ à valeurs positives. D'après la question~\ref{q: approximation positive}, il existe une suite $(\psi_n)_{n \in \N^*}$ d'éléments de $\cD(\R^d)$ tels que $\psi_n \bar{\psi_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \psi$ dans $\cD(\R^d)$, a fortiori dans $\cS(\R^d)$. Pour tout $n \in \N^*$, $\prsc{S}{\psi_n\bar{\psi_n}} \geq 0$ puisque $S$ est multiplicativement positive. En passant à la limite $n \to +\infty$ on obtient $\prsc{S}{\psi} \geq 0$.
\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Théorème de Bochner]
\label{exo: Bochner}

Soit $f:\R^d \to \C$ une fonction vérifiant les conditions~\ref{item: normalisation}, \ref{item: continuite} et~\ref{item: def positive} dans l'énoncé du théorème de Bochner.

\begin{enumerate}

\item \label{q: F inverse de f} Montrer que $f \in \cS'(\R^d)$ et que $\hat{f}$ est une distribution multiplicativement positive.

\begin{sol}

On a vu dans l'exercice~\ref{exo: fonctions def positives} question~\ref{q: matrices et bornitude} que $f \in L^\infty(\R^d) \subset \cS'(\R^d)$.

Soit maintenant $\varphi \in \cS(\R^d)$, on a $\prsc*{\hat{f}}{\varphi \bar{\varphi}} = \prsc*{f}{\cF(\varphi\bar{\varphi})}$. On veut utiliser que la transformée de Fourier échange produit et convolution, voir l'exercice~8 de la feuille~7. Pour cela on pose $\psi = \cF^{-1}(\varphi) \in \cS(\R^d)$. Alors $\varphi = \hat{\psi}$ et pour tout $\xi \in \R^d$,
\begin{equation*}
\bar{\varphi(\xi)} = \bar{\hat{\psi}(\xi)} = \bar{\int_{\R^d} \psi(x) e^{-i x\cdot\xi} \dx x} = \int_{\R^d} \bar{\psi(x)}e^{i x \cdot \xi} \dx = \hat{\bar{\psi}}(-\xi) =\check{\hat{\bar{\psi}}}(\xi) = \hat{\check{\bar{\psi}}}(\xi).
\end{equation*}
Donc $\varphi\bar{\varphi} = \hat{\psi}\hat{\check{\bar{\psi}}} = \hat{\psi \ast \check{\bar{\psi}}}$ et $\cF(\varphi\bar{\varphi}) = \frac{1}{(2\pi)^d} \check{\psi \ast \check{\bar{\psi}}}$. Pour tout $x \in \R^d$,
\begin{equation*}
\psi \ast \check{\bar{\psi}}(-x) = \int_{\R^d} \psi(y)\check{\bar{\psi}}(-x-y)\dx y = \int_{\R^d} \psi(y)\bar{\psi}(x+y)\dx y = \int_{\R^d} \psi(-y)\bar{\psi}(x-y)\dx y =\check{\psi}\ast \bar{\psi}(x).
\end{equation*}
Donc finalement $\cF(\varphi\bar{\varphi}) = \frac{1}{(2\pi)^d}\check{\psi}\ast \bar{\psi}$. On a donc
\begin{align*}
(2\pi)^d\prsc*{\hat{f}}{\varphi\bar{\varphi}}&=\prsc*{f}{\check{\psi}\ast \bar{\psi}} = \int_{\R^d}f(x) \int_{\R^d} \psi(-z)\bar{\psi}(z-x) \dx z \dx x\\
&= \int_{\R^d} \int_{\R^d} f(x) \psi(-z)\bar{\psi}(z-x) \dx x \dx z = \int_{\R^d} \int_{\R^d} f(z-w) \psi(-z)\bar{\psi}(-w) \dx w \dx z\\
&= \int_{\R^d \times \R^d} f(z-w) \phi(w)\bar{\phi(z)}\dx w\dx z
\end{align*}
où on a noté $\phi = \check{\bar{\psi}} \in \cS(\R^d)$. Notamment, $(w,z) \mapsto f(z-w) \phi(w)\bar{\phi(z)}$ est bien intégrable, par le même argument que dans l'exercice~\ref{exo: fonctions def positives} question~\ref{q: def positive fonctions}, ce qui justifie l'utilisation du théorème de Fubini pour passer de la première à la deuxième ligne.

Comme $f$ est définie-positive, par l'exercice~\ref{exo: fonctions def positives} question~\ref{q: def positive fonctions} on a $\prsc*{\hat{f}}{\varphi\bar{\varphi}} \geq 0$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ et donc $\hat{f}$ est multiplicativement positive.

\end{sol}

\item Conclure qu'il existe $\mu$ mesure de probabilité sur $\R^d$ telle que $\hat{\mu}=f$.

\begin{sol}

Si c'est le cas, $\mu = \frac{1}{(2\pi)^d}\check{\hat{f}}$. On vient de voir que $\hat{f}$ est une distribution multiplicativement postive. Pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, $\prsc*{\frac{1}{(2\pi)^d}\check{\hat{f}}}{\varphi \bar{\varphi}} = \frac{1}{(2\pi)^d}\prsc*{\hat{f}}{\check{\varphi}\bar{\check{\varphi}}} \geq 0$, donc $\frac{1}{(2\pi)^d}\check{\hat{f}}$ est également multiplicativement positive.

D'après l'exercice~\ref{exo: distributions mult positives} question~\ref{q: mult positive implique positive}, la distribution précédente est positive. Il existe donc une mesure de Radon $\mu$ telle que $\mu = \frac{1}{(2\pi)^d}\check{\hat{f}}_{\vert \cD(\R^d)}$. La mesure $\mu$ s'étend en un élément de $\cS'(\R^d)$. On a vu dans la feuille 8 exercice 9 que l'extension est celle à laquelle on pense. Donc, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, $\prsc*{\frac{1}{(2\pi)^d}\check{\hat{f}}}{\varphi} = \int_{\R^d} \varphi(x) \dx \mu(x)$. Ainsi $\mu = \frac{1}{(2\pi)^d}\check{\hat{f}} \in \cS'(\R^d)$ et $\hat{\mu}=f$.

Il reste à vérifier que $\mu(\R^d)=1$. Pour $t >0$, on note $G_t:x \mapsto (2\pi t)^{-\frac{d}{2}} e^{-\frac{\Norm{x}^2}{2t}}$ la densité de la gaussienne de variance $t\Id$. On a $G_t \in \cS(\R^d)$ et $\hat{G_t}:\xi \mapsto e^{-\frac{t\Norm{\xi}^2}{2}}$. D'une part, par convergence dominée: $\prsc*{\mu}{\hat{G_t}} = \int_{\R^d} e^{-\frac{t\Norm{\xi}^2}{2}} \dx \mu(\xi) \xrightarrow[t \to 0]{} \int_{\R^d}\dx \mu(\xi)=\mu(\R^d)$, en dominant par $\one$.

D'autre part, d'après l'exerice~\ref{exo: fonctions def positives} question~\ref{q: matrices et bornitude}, la fonction $f$ est bornée par $f(0)=1$. Par convergence dominée, où on domine par $G_1$, il vient:
\begin{equation*}
\prsc*{\mu}{\hat{G_t}}=\prsc{f}{G_t} = \int_{\R^d} \frac{f(x)e^{-\frac{\Norm{x}^2}{2t}}}{(2\pi t)^\frac{d}{2}}\dx x = \int_{\R^d}f(\sqrt{t}x) \frac{e^{-\frac{\Norm{x}^2}{2}}}{(2\pi)^\frac{d}{2}}\dx x \xrightarrow[t \to 0]{} \int_{\R^d} G_1(x) \dx x =1.
\end{equation*}
Finalement $\mu(\R^d)=1$, ce qui conclut la preuve du théorème de Bochner.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}

\end{document}