\documentclass[11pt]{article} % Packages gestion des caractères, du français et de la mise en page \usepackage[french]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[margin=2.5cm]{geometry} \usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0},hypertexnames=false]{hyperref} \setlength{\parindent}{0pt} \renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet} \usepackage{comment} \usepackage{enumitem} \usepackage{tabularx} % Graphiques et Figures \usepackage{subfig} \usepackage{pgf,tikz} \usetikzlibrary{arrows} \usepackage[figurename=Figure]{caption} % Packages pour les maths \usepackage{mathtools} \usepackage{amsthm} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{stmaryrd} % Nouveaux environnements \theoremstyle{plain} \newtheorem{thm}{Théorème} \newtheorem{cor}[thm]{Corollaire} \newtheorem{lem}[thm]{Lemme} \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} \theoremstyle{definition} \newtheorem*{dfn}{Définition} \newtheorem{exo}{Exercice} \newtheorem*{ntn}{Notation} \newtheorem*{ntns}{Notations} \theoremstyle{remark} \newtheorem*{hint}{Indication} \newtheorem*{rem}{Remarque} \newtheorem*{ex}{Exemple} \newtheorem*{exs}{Exemples} % Commandes et opérateurs utiles \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \renewcommand{\S}{\mathbb{S}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cCc}{\mathcal{C}_c} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cOM}{\mathcal{O}_M} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\dx}{\dmesure\!} \newcommand{\loc}{\text{loc}} \newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}} \newcommand{\one}{\mathbf{1}} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\hat}{\widehat} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\tilde}{\widetilde} \DeclareMathOperator{\dmesure}{d} \DeclareMathOperator{\dil}{dil} 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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Gestion de l'affichage des solutions avec le package comment % Nouveaux compteurs pour avoir une numérotation des équations indépendante dans les solutions \newcounter{aux} \newcounter{soleq} % Définition d'un environnement sol qui peut être commenté à loisir ci-dessous % La numération des équations est indépendantes et en chiffres romains dans les solutions \specialcomment{sol}{ \setcounter{aux}{\value{equation}} \setcounter{equation}{\value{soleq}} \renewcommand{\theequation}{\roman{equation}} \par\begingroup\color{violet} } { \endgroup \setcounter{soleq}{\value{equation}} \setcounter{equation}{\value{aux}} \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}} } % Le contenu des environnements sol est visible par défaut, décommenter la ligne suivante le cache %\excludecomment{sol} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Informations du document \author{Blanche Buet, Dominique Hulin et Thomas Letendre} \date{2024 -- 2025} \title{Feuille 8 -- Mesure superficielle\dots \ de la sphère\dots} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mise en page de l'en-tête %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Xr@{}} Université Paris-Saclay & Master Mathématiques et Applications \\ \@date & Distributions et Analyse de Fourier \end{tabularx} \vspace{1ex} Enseignant·e·s: \@author . \vspace{2ex} \hrule \begin{center} \begin{Large} \@title \end{Large} \end{center} \hrule \vspace{2ex} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Début du corps du texte %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo}[Tout hyperplan est un graphe] Soit $(e_1,\dots,e_d)$ la base canonique de $\R^d$, pour tout $j \in \ssquarebrackets{1}{d}$ on note $H_j=\vect\brackets*{e_i \mvert i \neq j}$. Soit $H \subset \R^d$ un hyperplan, montrer qu'il existe $j \in \ssquarebrackets{1}{d}$ et $L:H_j \to \R$ linéaire telle que $H$ soit le graphe de $L$. \begin{sol} Il existe $j \in \ssquarebrackets{1}{d}$ tel que $e_j \notin H$, sinon $H$ contiendrait une base ce qui est absurde. Quitte à ré-indexer, on peut supposer $j=d$, ce que l'on fait dans la suite. On a donc $H_j=H_d=\R^{d-1}\times \brackets{0}$. Pour des raisons de dimension, on a $\R^d = H \oplus \R e_d$. Soit $i \in \ssquarebrackets{1}{d-1}$, il existe un unique couple $(h_i,\lambda_i) \in H \times \R$ tel que $e_i=h_i+\lambda_i e_d$. On a donc $h_i = e_i-\lambda_i e_d$ pour tout $i \in \ssquarebrackets*{1}{d-1}$, ce qui montre que la famille $(h_i)_{1 \leq i \leq d-1}$ est libre, et donc une base de $H$. On définit $L:H_d \to \R$ linéaire par $L(e_i)=-\lambda_i$ pour tout $i \in \ssquarebrackets{1}{d-1}$. Son graphe est: \begin{align*} \brackets*{x+L(x)e_d \mvert x \in \R^{d-1}\times\brackets{0}} &= \vect\brackets*{\strut e_i+L(e_i)e_d \mvert 1 \leq i \leq d-1} = \vect\brackets*{h_i \mvert 1 \leq i \leq d-1}\\ &= H. \end{align*} Alternativement, si $H = \ker \varphi$ où $\varphi:(x_1,\dots,x_d) \mapsto \sum_{i=1}^d a_i x_i$ est une forme linéaire non nulle, il existe $j \in \ssquarebrackets{1}{d}$ tel que $a_j \neq 0$. Alors, $H$ est le graphe de la fonction $(y_i)_{i \neq j} \mapsto -\frac{1}{a_j}\sum_{i \neq j} a_iy_i$ au dessus de $H_j$. \end{sol} \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo}[Changement de variable sphérique] \label{exo: changement de variable} Dans cet exercice, on fait le lien entre la mesure de Lebesgue $\lambda$ de $\R^d$ et la mesure superficielle $\sigma$ sur la sphère unité euclidienne $\S^{d-1}$. \begin{enumerate} \item \label{q: Sd hypersurface} Justifier rapidement que $\S^{d-1} = \brackets{x \in \R^d \mid \Norm{x}=1}$ est une hypersurface lisse de $\R^d$. \begin{sol} La sphère euclidienne $\S^{d-1}$ est le lieu d'annulation de la fonction $g:x \mapsto \Norm{x}^2 -1$, qui est $\cC^\infty$ sur $\R^d$ et de gradient $\nabla g:x\mapsto 2x$. En particulier, $\nabla g$ ne s'annule pas sur $\R^d \setminus \brackets{0}$ et donc $g$ est une submersion au voisinage de $\S^{d-1}$. Donc $\S^{d-1}$ est une hypersurface lisse. Le théorème des fonctions implicites garantit alors qu'on peut écrire localement $\S^{d-1}$ comme un graphe. \end{sol} \item \label{q: def mesure spherique} Notons $\B = \brackets{y \in \R^{d-1}\mid \Norm{y}<1}$ et $\S^{d-1}_+ = \brackets*{(x_1,\dots,x_d) \in \S^{d-1} \mvert x_d >0}$, on peut décrire $\S^{d-1}_+ \subset \R^{d-1}\times \R^*_+$ comme le graphe de $h:y \mapsto \sqrt{1-\Norm{y}^2}$ de $\B$ dans $\R^*_+$. Soit $f:\S^{d-1}_+ \to \C$ que l'on suppose mesurable et positive, ou intégrable. En utilisant la description précédente de~$\S^{d-1}_+$, exprimer $\int_{\S^{d-1}_+} f(\theta) \dx \sigma(\theta)$, comme l'intégrale sur $\B$ d'une certaine fonction mesurable. \begin{sol} Soit $f: \S^{d-1}_+ \to \C$ une fonction mesurable. L'application $y \mapsto (y,h(y))$ de $\B$ vers $\S^{d-1}_+$ est un difféomorphisme, dont l'inverse est la restriction de la projection orthogonale sur $\R^{d-1}\times \brackets{0}$. En particulier, $f:\S^{d-1}_+ \to \C$ est mesurable si et seulement si $\tilde{f}:y \mapsto f(y,h(y))$ de $\B$ dans $\C$ est mesurable. Si $f$ est à valeurs positive, alors on a défini dans le cours \begin{equation*} \int_{\S^{d-1}_+} f(\theta) \dx \sigma(\theta) = \int_\B f\parentheses*{y,h(y)} \sqrt{1+\Norm{\nabla h(y)}^2} \dx y. \end{equation*} Ici, on peut calculer le gradient. Pour tout $j \in \brackets*{1,\dots,d}$, $\partial_jh:y \mapsto -\frac{y_j}{h(y)}$. Donc pour tout $y \in \B$ on a $\nabla h(y) = -\frac{y}{h(y)}$ et donc $1 +\Norm{\nabla h(y)}^2 = \frac{h(y)^2 + \Norm{y}^2}{h(y)^2} = \frac{1}{h(y)^2}$. Comme $h$ est à valeurs positive on a finalement, \begin{equation} \label{eq: int hemisphere} \int_{\S^{d-1}_+} f(\theta) \dx \sigma(\theta) = \int_\B f\parentheses*{y,h(y)} \frac{\dx y}{h(y)}. \end{equation} Si $f$ est à valeurs complexes, elle est intégrable si et seulement si \begin{equation*} \int_{\S^{d-1}_+} \norm{f(\theta)} \dx \sigma(\theta) = \int_\B \norm{f\parentheses*{y,h(y)}} \frac{\dx y}{h(y)}<+\infty, \end{equation*} c'est-à-dire si et seulement si $\frac{1}{h}\tilde{f}$ est intégrable sur $\B$. Dans ce cas, l'intégrale de $f$ sur $\S^{d-1}_+$ contre $\dx \sigma$ est encore définie par~\eqref{eq: int hemisphere}. \end{sol} \item \label{q: Phi diffeo} Soit $\Phi : \R_+^* \times \B \to \R^{d-1} \times \R_+^*$ défini par $\Phi:(R,y) \mapsto R\parentheses*{y,h(y)}$. Calculer le jacobien de $\Phi$ en tout point et montrer que $\Phi$ est un $\cC^\infty$-difféomorphisme. \begin{sol} On a déjà vu que $h$ est $\cC^\infty$ sur $\B$, donc $\Phi$ est bien $\cC^\infty$ sur $\R_+^* \times \B$. En identifiant canoniquement applications linéaires et matrices, on a \begin{equation*} D \Phi (R,y) = \parentheses*{\begin{smallmatrix} \partial_R \Phi_1(R,y) & \partial_{y_1} \Phi_1(R,y) & \dots & \partial_{y_{d-1}}\Phi_1(R,y) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \partial_R \Phi_d(R,y) & \partial_{y_1} \Phi_d(R,y) & \dots & \partial_{y_{d-1}}\Phi_d(R,y) \end{smallmatrix}} = \parentheses*{\begin{smallmatrix} y_1 & R & & \\ \vdots & & \ddots & \\ y_{d-1}& & & R\\ h(y) & R \partial_1 h(y) & \dots & R\partial_{d-1}h(y) \end{smallmatrix}}. \end{equation*} En réutilisant le calcul des dérivées partielles de $h$ fait à la question~\ref{q: def mesure spherique}, on obtient par opérations élémentaires sur les lignes et colonnes: \begin{equation*} \norm*{\det\parentheses*{D\Phi(R,y)}} = \frac{R^{d-1}}{h(y)}\begin{vmatrix} y_1 & 1 & & \\ \vdots & & \ddots & \\ y_{d-1} & & & 1\\ h(y)^2 & -y_1 & \dots & -y_{d-1} \end{vmatrix} = \frac{R^{d-1}}{h(y)}\begin{vmatrix} y_1 & 1 & & \\ \vdots & & \ddots & \\ y_{d-1} & & & 1\\ 1 & 0 & \dots & 0 \end{vmatrix} = \frac{R^{d-1}}{h(y)}, \end{equation*} car $h(y)^2 + \sum_{i=1}^{d-1} y_i^2 =1$. En particulier, le jacobien de $\Phi$ ne s'annule pas donc c'est un $\cC^\infty$-difféomorphisme local. Par ailleurs c'est une bijection. En effet, pour tout $(R,y) \in \R_+^* \times \B$ on a $(y,h(y)) \in \S^{d-1}_+$. Donc $R = \Norm{\Phi(R,y)}$ et $y$ est la projection orthogonale de $\frac{\Phi(R,y)}{\Norm{\Phi(R,y)}}$ sur $\R^{d-1} \times \brackets{0} \simeq \R^{d-1}$. Ainsi, $\Phi$ réalise un $\cC^\infty$-difféomorphisme de $\R_+^*\times \B$ vers $\brackets{(x_1,\dots,x_d) \in \R^d \mid x_d >0}$. \end{sol} \item \label{q: changement de var hemispherique} Soit $F:\R^{d-1} \times \R_+^* \to \C$ une fonction mesurable et positive, ou intégrable. Montrer que \begin{equation*} \int_{\R^{d-1} \times \R_+^*} F(x) \dx x = \int_{R=0}^{+\infty} \int_{\theta \in \S^{d-1}_+} F(R\theta) R^{d-1}\dx \sigma(\theta) \dx R. \end{equation*} \begin{sol} Commençons par effectuer le calcul formellement, et on justifiera par la suite pourquoi il a bien du sens. On effectue le changement de variable $x = \Phi(R,y)$, où $\Phi$ est le difféomorphisme introduit ci-dessus: \begin{align*} \int_{\R^{d-1}\times \R_+^*} F(x) \dx x &= \int_{\R^*_+ \times \B} F\parentheses*{\Phi(R,y)} \norm*{\det\parentheses*{D\Phi(R,y)}} \dx y \dx R\\ &= \int_{R=0}^{+\infty} \int_{y \in \B} F\parentheses*{R(y,h(y))} \frac{R^{d-1}}{h(y)} \dx y \dx R\\ &= \int_{R=0}^{+\infty} \int_{\theta \in \S^{d-1}_+} F\parentheses*{R\theta} R^{d-1} \dx \sigma(\theta) \dx R, \end{align*} où on obtient la dernière ligne en appliquant la formule~\eqref{eq: int hemisphere} à $f_R:\theta \mapsto R^{d-1}F(R\theta)$. Justifions le calcul lorsque $F$ est mesurable et positive. Dans ce cas, le théorème de changement de variable s'applique, ce qui justifie la première égalité. La seconde s'obtient en remplaçant $\Phi$ et son jacobien par leurs expressions et par Fubini--Tonelli. Pour tout $R >0$ la fonction $\tilde{f_R}:y \mapsto R^{d-1}F\parentheses*{R(y,h(y))} = f_R(y,h(y))$ est mesurable. Or, on a vu dans la question~\ref{q: def mesure spherique} que $f_R$ est mesurable si et seulement si $\tilde{f_R}$ l'est, et que dans ce cas la formule~\eqref{eq: int hemisphere} est valable. D'où la dernière égalité. Supposons maintenant $F$ intégrable. Notons que, par le cas précédent, c'est équivalent à demander que $(R,\theta) \mapsto R^{d-1} F(R\theta)$ soit intégrable sur $\R_+^* \times \S^{d-1}$ pour la mesure produit $\dx R \otimes \sigma$. Comme $F$ est intégrable, on peut appliquer le théorème de changement de variable, puis appliquer le théorème de Fubini au résultat, ce qui justifie les deux premières égalités. En appliquant le cas positif à $\norm{F}$, on voit que pour presque tout $R>0$: \begin{equation*} \int_{\S^{d-1}_+} \norm{f_R(\theta)} \dx \sigma(\theta) = \int_\B \norm{\tilde{f_R}(y)}\frac{\dx y}{h(y)} = \int_\B R^{d-1}\norm*{F\parentheses*{R(y,h(y)}} \frac{\dx y}{h(y)}<+\infty. \end{equation*} Donc $f_R$ est intégrable pour presque tout $R>0$ et la dernière égalité suit de la formule~\eqref{eq: int hemisphere}. \end{sol} \item \label{q: partition de 1} On note $U_i^+ = \brackets{(x_1,\dots,x_d) \in \R^d \mid x_i>0}$ (resp.~$U_i^- = \brackets{(x_1,\dots,x_d) \in \R^d \mid x_i<0}$) pour tout $i \in \ssquarebrackets{1}{d}$. Montrer l'existence de fonctions continues $\parentheses*{\varphi_i^+}_{1 \leq i \leq d}$ et $\parentheses*{\varphi_i^-}_{1 \leq i \leq d}$ de $\R^d \setminus \brackets{0}$ dans $[0,1]$ telles que $\varphi_i^+$ (resp.~$\varphi_i^-$) est nulle hors de $U_i^+$ (resp.~$U_i^-$) et $\sum_{i=1}^d \varphi_i^+ + \varphi_i^- = 1$. \begin{sol} Les ouverts $(U_i^{+/-})$ recouvrent le compact $\S^{d-1} \subset \R^d \setminus \brackets{0}$. Il existe donc une partition de l'unité associée $(\chi_i^{+/-})$ telle que pour tout $i \in \brackets{1,\dots,d}$, la fonction $\chi_i^{+/-} \in \cD(\R^d)$ prend ses valeurs dans $[0,1]$, vérifie $\supp(\chi_i^{+/-}) \subset U_i^{+/-}$, et $\sum_{i=1}^d \chi_i^+ + \chi_i^- = 1$ au voisinage de $\S^{d-1}$. Pour tout $i \in \brackets{1,\dots,d}$, on pose $\varphi_i^{+/-}:x \mapsto \chi_i^{+/-}\parentheses{\frac{x}{\Norm{x}}}$ de $\R^d \setminus \brackets{0}$ dans $[0,1]$. Ces fonctions sont lisses sur $\R^d \setminus \brackets{0}$ et à valeurs dans $[0,1]$. Soit $x \in \R^d \setminus \brackets{0}$, si $x_i \leq 0$ alors $\frac{x_i}{\Norm{x}}\leq 0$ donc $\frac{x}{\Norm{x}} \notin U_i^+$ et $\varphi_i^+(x) = \chi_i^+\parentheses*{\frac{x}{\Norm{x}}}=0$. Donc $\varphi_i^+$ est nulle hors de $U_i^+$. De même $\varphi_i^-\equiv 0$ hors de $U_i^-$. Enfin, pour tout $x \in \R^d \setminus \brackets{0}$, on a $\sum_{i=1}^d \varphi_i^+(x) + \varphi_i^-(x) = \sum_{i=1}^d \chi_i^+\parentheses*{\frac{x}{\Norm{x}}}+ \chi_i^-\parentheses*{\frac{x}{\Norm{x}}} = 1$. On peut aussi être rusé et poser $\varphi_i^+:x \mapsto \frac{x_i^2}{\Norm{x}_2^2}\one_{U_i^+}(x)$ et $\varphi_i^-:x \mapsto \frac{x_i^2}{\Norm{x}_2^2}\one_{U_i^-}(x)$. Une alternative est $\varphi_i^+:x \mapsto \frac{\norm{x_i}}{\Norm{x}_1}\one_{U_i^+}(x)$ et $\varphi_i^-:x \mapsto \frac{\norm{x_i}}{\Norm{x}_1}\one_{U_i^-}(x)$. Cette fois on n'obtient plus des fonctions lisses, mais elles sont bien continues sur $\R^d \setminus \brackets{0}$. \end{sol} \item \label{q: changement de var spherique} Soit $F:\R^d \setminus \brackets{0} \to \C$ une fonction mesurable et positive, ou intégrable. Montrer que \begin{equation} \label{eq: changement de var spherique} \int_{\R^d \setminus \brackets{0}} F(x) \dx x = \int_{R=0}^{+\infty} \int_{\theta \in \S^{d-1}} F(R\theta) R^{d-1}\dx \sigma(\theta) \dx R. \end{equation} \begin{sol} Dans les deux cas, on écrit $F = \sum_{i=1}^d \varphi_i^+ F + \varphi_i^- F$. La fonction $\varphi_d^+ F$ est nulle hors de $U_d^+$, et sa restriction à $U_d^+ = \R^{d-1} \times \R_+^*$ vérifie les hypothèses de la question~\ref{q: changement de var hemispherique}. On a donc \begin{align*} \int_{\R^d \setminus \brackets{0}} \varphi_d^+(x) F(x) \dx x &= \int_{\R^{d-1} \times \R^*_+} \varphi_d^+(x) F(x) \dx x\\ &= \int_{R=0}^{+\infty} \int_{\theta \in \S^{d-1}_+} \varphi_d^+(R\theta) F(R\theta) R^{d-1}\dx \sigma(\theta) \dx R\\ & \int_{R=0}^{+\infty} \int_{\theta \in \S^{d-1}} \varphi_d^+(R\theta) F(R\theta) R^{d-1}\dx \sigma(\theta) \dx R. \end{align*} En raisonnant symétriquement sur les autres ouverts $U_i^{+/-}$, on obtient des formules similaires ou $\varphi_d$ est remplacée par $\varphi_i^{+/-}$. Finalement on a donc \begin{multline*} \int_{\R^d \setminus \brackets{0}} F(x) \dx x = \sum_{i=1}^d \int_{\R^d \setminus \brackets{0}} \varphi_i^+(x) F(x) \dx x + \int_{\R^d \setminus \brackets{0}} \varphi_i^-(x) F(x) \dx x\\ \begin{aligned} &= \sum_{i=1}^d \int_{0}^{+\infty}\int_{\S^{d-1}} \varphi_i^+(R\theta) F(R\theta) R^{d-1}\dx \sigma(\theta) \dx R + \int_{0}^{+\infty}\int_{\S^{d-1}} \varphi_i^-(R\theta) F(R\theta) R^{d-1}\dx \sigma(\theta) \dx R\\ &= \int_{R=0}^{+\infty} \int_{\theta \in \S^{d-1}} F(R\theta) R^{d-1}\dx \sigma(\theta) \dx R. \end{aligned} \end{multline*} \end{sol} \item \label{q: Sd de mesure nulle} Montrer que $\S^{d-1}$ est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue $\lambda$ sur $\R^d$. \begin{sol} L'ensemble $\S^{d-1}$ est fermé donc mesurable. Notons $\one_{\S}$ sa fonction indicatrice. En utilisant la formule~\eqref{eq: changement de var spherique} on a: \begin{equation*} \lambda(\S^{d-1}) = \int_{\R^d} \one_{\S}(x) \dx x = \int_{\R^d \setminus \brackets{0}} \one_{\S}(x) \dx x = \int_0^{+\infty} R^{d-1} \int_{\S^{d-1}} \one_{\S}\parentheses*{R \theta} \dx \sigma(\theta) \dx R. \end{equation*} Si $R \neq 1$ alors $\one_{\S}(R \theta) = 0$ pour tout $\theta \in \S^{d-1}$. Donc pour presque tout $R$ l'intégrale sur $\S^{d-1}$ est nulle. Donc $\lambda(\S^{d-1})=0$. \end{sol} \end{enumerate} \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo}[Mesure superficielle et dilatations] \label{exo: dilatations} Pour tout $r >0$, on note $\sigma_r$ la mesure superficielle de la sphère euclidienne $r \S^{d-1}$ de centre $0$ et de rayon $r$ dans $\R^d$. Soit $f:r\S^{d-1} \to \C$ une fonction mesurable et positive, ou intégrable. Montrer que \begin{equation} \label{eq: dilatation} \int_{r\S^{d-1}} f(\alpha) \dx \sigma_r(\alpha) = \int_{\S^{d-1}} f(r\theta) r^{d-1} \dx \sigma_1(\theta). \end{equation} \begin{hint} Commencer par le cas où $f$ est nulle en dehors de $r \S^{d-1}_+ = \brackets{x \in \R^d \mid \Norm{x}=r \ \text{et}\ x_d>0}$, puis passer au cas général comme dans l'exercice~\ref{exo: changement de variable}. \end{hint} \begin{sol} Comme dans l'exercice~\ref{exo: changement de variable} question~\ref{q: Sd hypersurface}, l'ensemble $r \S^{d-1}$ est une hypersurface lisse comme lieu d'annulation de $x \mapsto \Norm{x}^2 - r^2$, qui est une submersion sur $\R^d \setminus \brackets{0}$. On suit l'indication et on commence par s'intéresser à l'hémisphère ouvert $r \S^{d-1}_+$, qui a le bon goût de s'écrire comme un graphe. Notons $\B = \brackets{y \in \R^{d-1} \mid \Norm{y}<1}$, alors $r \S^{d-1}_+$ est le graphe de $h_r:y \mapsto \sqrt{r^2 - \Norm{y}^2}$ qui est lisse, de $r\B$ dans $\R_+^*$. Le même genre de calcul que dans l'exercice~\ref{exo: changement de variable} question~\ref{q: def mesure spherique} montre que, pour tout $y \in r \B$, $\sqrt{1+\Norm{\nabla h_r(y)}^2} = \frac{r}{h_r(y)}$. Si $f:r \S^{d-1}_+ \to \C$ est mesurable et positive, ou intégrable, alors par définition de la mesure superficielle, \begin{equation*} \int_{r \S^{d-1}_+} f(\alpha) \dx \sigma_r(\alpha) = \int_{r \B} f\parentheses*{y,h_r(y)} \frac{r}{h_r(y)} \dx y. \end{equation*} Pour tout $y \in r\B$, $h_r(y) = \sqrt{r^2 - \Norm*{y}^2} = r \sqrt{1-\Norm{\frac{y}{r}}^2} = r h_1\parentheses*{\frac{y}{r}}$. Donc \begin{align*} \int_{r \S^{d-1}_+} f(\alpha) \dx \sigma_r(\alpha) &= \int_{r \B} f\parentheses*{r\parentheses*{\frac{y}{r},h_1\parentheses*{\frac{y}{r}}}} \frac{1}{h_1\parentheses*{\frac{y}{r}}} \dx y = \int_\B f\parentheses*{r(z,h_1(z))}\frac{r^{d-1}}{h_1(z)}\dx z\\ &= \int_{\S^{d-1}_+} f(r\theta) r^{d-1} \dx \sigma_1(\theta). \end{align*} Ceci établit la formule~\eqref{eq: dilatation} dans le cas où $f:r \S^{d-1} \to \C$ est nulle en dehors de $r \S^{d-1}_+$. On peut raisonner de même pour toute hémisphère ouverte, en particulier celles du type $r \S^{d-1} \cap U_i^{+/-}$ où $U_i^+ = \brackets{x \in \R^d \mid x_i >0}$ et $U_i^- = \brackets{x \in \R^d \mid x_i <0}$. En utilisant les fonctions $\varphi_i^{+/-}$ définies à la question~\ref{q: partition de 1} de l'exercice~\ref{exo: changement de variable}, on écrit $f = \sum_{i=1}^d \varphi_i^+ f + \varphi_i^- f$. La formule~\eqref{eq: dilatation} est vraie pour chacun des termes à droite de l'égalité (ils s'annulent hors d'une hémisphère), donc elle est vraie pour $f$ par linéarité de l'intégrale. \end{sol} \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo}[Encore une convergence dans $\cD'$] \label{exo: approximation de la mesure superficielle} Pour tout $\epsilon \in ]0,1[$, on définit la couronne sphérique $C_\epsilon = \brackets*{x \in \R^d \mvert 1-\epsilon <\Norm{x}< 1+\epsilon}$ et $f_\epsilon = \frac{1}{2\epsilon}\one_{C_\epsilon}$. Montrer que $f_\epsilon$ converge dans $\cD'(\R^d)$ lorsque $\epsilon \to 0$, vers une distribution mystère que l'on déterminera. \begin{sol} Pour tout $\epsilon \in ]0,1[$, la fonction $f_\epsilon$ est bornée à support compact, donc $f_\epsilon \in L^\infty(\R^d) \subset~\cD'(\R^d)$. Pour tout $\varphi \in \cD(\R^d)$, la fonction $f_\epsilon \varphi$ est intégrable sur $\R^d$ et nulle au voisinage de $0$. D'après la formule~\eqref{eq: changement de var spherique} prouvée dans l'exercice~\ref{exo: changement de variable}, on a donc \begin{equation*} \prsc{f_\epsilon}{\varphi} = \frac{1}{2\epsilon}\int_{\R^d \setminus \brackets{0}} \one_{C_\epsilon}(x)\varphi(x) \dx x = \frac{1}{2\epsilon} \int_0^{+\infty} \int_{\S^{d-1}} R^{d-1}\one_{C_\epsilon}(R\theta) \varphi(R\theta) \dx \sigma(\theta) \dx R, \end{equation*} où $\sigma$ est la mesure superficielle sur la sphère unité $\S^{d-1} \subset \R^d$. Comme $\one_{C_\epsilon}(R\theta) = \one_{]1-\epsilon,1+\epsilon[}(R)$ pour tout $R>0$ et $\theta \in \S^{d-1}$, on a alors \begin{equation*} \prsc{f_\epsilon}{\varphi} = \frac{1}{2\epsilon}\int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon} \int_{\S^{d-1}} R^{d-1}\varphi(R\theta) \dx \sigma(\theta) \dx R. \end{equation*} Lorsque $R \to 1$, l’intégrande converge vers $\varphi(\theta)$. Pour $R$ proche de $1$ on s'attend à ce qu'il soit de la forme $\varphi(\theta)$ plus une erreur. Cela suggère que $\prsc{f_\epsilon}{\varphi}$ doit converger vers $\int_{\S^{d-1}}\varphi(\theta) \dx \sigma(\theta)$. On va prouver que c'est bien le cas. Soit $R >0$, pour tout $\theta \in \S^{d-1}$, on a $\norm*{\varphi(R\theta) - \varphi(\theta)} \leq \Norm{R\theta - \theta} \Norm{D \varphi}_\infty \leq \norm*{R-1}\Norm{D \varphi}_\infty$ par le théorème des accroissements finis. Donc, pour tout $R \in ]1-\epsilon,1+\epsilon[$ et $\theta \in \S^{d-1}$, \begin{align*} \norm*{R^{d-1}\varphi(R\theta) - \varphi(\theta)} &\leq \norm*{R^{d-1}\varphi(R\theta)-\varphi(R\theta)} + \norm*{\varphi(R\theta)-\varphi(\theta)}\\ &\leq \norm*{R^{d-1}-1} \Norm{\varphi}_\infty + \norm*{R-1}\Norm{D\varphi}_\infty\\ &\leq \norm{R-1}\parentheses*{\Norm{D\varphi}_\infty + \norm*{\sum_{i=0}^{d-2} R^i}\Norm{\varphi}_\infty} \leq \epsilon \parentheses{\underbrace{\Norm{D_\varphi}_\infty + (d-1)2^d \Norm{\varphi}_\infty}_{A_\varphi}}. \end{align*} Donc \begin{align*} \norm*{\prsc{f_\epsilon}{\varphi} - \int_{\S^{d-1}}\varphi(\theta) \dx \sigma(\theta)} &= \frac{1}{2\epsilon}\norm*{\int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon}\int_{\S^{d-1}} \parentheses*{R^{d-1}\varphi(R\theta) - \varphi(\theta)} \dx \sigma(\theta) \dx R}\\ &\leq \frac{1}{2\epsilon} \int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon} \int_{\S^{d-1}} \norm*{R^{d-1}\varphi(R\theta)-\varphi(\theta)} \dx \sigma(\theta) \dx R\\ &\leq \frac{1}{2\epsilon}\int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon} \int_{\S^{d-1}} \epsilon A_\varphi \dx \sigma(\theta) \dx R = \epsilon A_\varphi \sigma(\S^{d-1}). \end{align*} Comme $\sigma$ est une mesure de Radon sur $\R^d$, elle donne une masse finie aux compacts. Le dernier terme est donc un $O(\epsilon)$. Donc, pour tout $\varphi \in \cD(\R^d)$ on a \begin{equation*} \prsc{f_\epsilon}{\varphi} \xrightarrow[\epsilon \to 0]{} \int_{\S^{d-1}}\varphi(\theta) \dx \sigma(\theta) = \prsc{\sigma}{\varphi}. \end{equation*} C'est-à-dire $f_\epsilon \xrightarrow[\epsilon \to 0]{} \sigma$ dans $\cD'(\R^d)$. En particulier, pour la fonction-test $\varphi =\one$, on retrouve l'idée que le volume $(d-1)$-dimensionnel de $\S^{d-1}$ est obtenu comme limite des volumes $d$-dimensionnels des couronnes sphériques $C_\epsilon$, renormalisés par leurs épaisseurs. \end{sol} \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{ntns} Rappelons quelques notations déjà utilisées dans la feuille de TD 3. \begin{itemize} \item $\gamma$ est la restriction à $\R^d \setminus \brackets{0}$ de la gaussienne standard, qui admet la densité $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}^d}e^{-\frac{\Norm{x}^2}{2}}$ par rapport à la mesure de Lebesgue. \item $\pi:x \mapsto \frac{x}{\Norm{x}}$ est la projection radiale de $\R^d\setminus\brackets{0}$ sur $\S^{d-1}$. \item $\mu = \pi_*\gamma$ est la mesure image de $\gamma$ par $\pi$. \end{itemize} \end{ntns} Dans l'exercice~4 de la feuille~3, nous avons prouvé que, s'il existe une mesure $\sigma$ sur $\S^{d-1}$ telle que la formule de changement de variable sphérique~\eqref{eq: changement de var spherique} soit valable pour tout $F:\R^d \to \C$ mesurable positive ou intégrable, alors $\sigma = \frac{2\pi^\frac{d}{2}}{\Gamma\parentheses*{\frac{d}{2}}} \mu$. La mesure superficielle $\sigma$ de $\S^{d-1}$ est donc égale à $\frac{2\pi^\frac{d}{2}}{\Gamma\parentheses*{\frac{d}{2}}} \mu$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo}[Invariance par rotation] \label{exo: invariance par rotation} On dit qu'une mesure $\nu$ sur $\R^d \setminus \brackets{0}$ (resp.~$\S^{d-1}$) est \emph{invariante par rotation} si, pour tout $O \in O_d(\R)$, $O_*\nu = \nu$. \begin{enumerate} \item \label{q: commutation} Montrer que pour tout $O \in O_d(\R)$, on a $\pi \circ O = O \circ \pi$ sur $\R^d \setminus\brackets{0}$. \begin{sol} Soit $O \in O_d(\R)$. Pour tout $x \in \R^d \setminus \brackets{0}$ on a $\Norm{Ox}=\Norm{x}$ en particulier $Ox \neq 0$. Puis \begin{equation*} \pi\parentheses*{O(x)} = \frac{O x}{\Norm{Ox}} = \frac{Ox}{\Norm{x}} = O\parentheses*{\frac{x}{\Norm{x}}}=O(\pi(x)). \end{equation*} \end{sol} \item \label{q: invariance gaussienne} Montrer que $\gamma$ est invariante par rotation. \begin{sol} Soit $O \in O_d(\R)$. Pour tout $A \subset \R^d\setminus\brackets{0}$ borélien, par définition de $O_*\gamma$ on a \begin{equation*} O_*\gamma(A) = \gamma(O^{-1}(A)) = \int_{O^{-1}(A)} \frac{e^{-\frac{\Norm{x}^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}^d} \dx x = \int_{A} \frac{e^{-\frac{\Norm{O^{-1}y}^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}^d} \dx y = \int_{A} \frac{e^{-\frac{\Norm{y}^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}^d} \dx y = \gamma(A) \end{equation*} par le changement de variable linéaire $x=O^{-1}(y)$ qui est de jacobien $\norm{\det(O)}=1$. Donc $O_*\gamma=\gamma$ pour tout $O \in O_d(\R)$. Notons que ce résultat utilise l'invariance par rotation de la densité gaussienne, qui ne dépend que de $\Norm{x}$, mais aussi l'invariance par rotation de la mesure de Lebesgue, ici caché dans le changement de variable. Il a été vu en cours que ce résultat n'est pas totalement évident. \end{sol} \item \label{q: invariance superficielle} En déduire que $\mu$ et $\sigma$ sont invariantes par rotation. \begin{sol} Soit $O \in O_d(\R^d)$, en utilisant les questions précédentes il vient, pour tout $A \subset \S^{d-1}$ borélien: \begin{equation*} O_* \mu(A) = O_*\parentheses*{\pi_* \gamma}(A) = \pi_*\gamma(O^{-1}(A)) = \gamma \parentheses*{\pi^{-1}(O^{-1}(A))} = \gamma\parentheses{(O \circ \pi)^{-1}(A)}=(O \circ \pi)_*\gamma(A). \end{equation*} Donc $O_*\mu=(O\circ \pi)_*\gamma = (\pi \circ O)_*\gamma$. Comme ci-dessus, $(\pi \circ O)_*\gamma=\pi_*(O_*\gamma)=\pi_*\gamma=\mu$. Moins formellement, comme la projection radiale commute au rotations, il est équivalent de tourner puis projeter $\gamma$ ou de projeter $\gamma$ puis tourner la projection. Comme $\gamma$ est invariante par rotation, il est en donc de même de sa projection. Par ailleurs $O_*\sigma= \sigma$ car $\mu$ et $\sigma$ différents d'une constante multiplicative strictement positive. Ainsi $\mu$ et $\sigma$ sont invariantes par rotation. Dans le cas de la première, cela justifie l'appellation de mesure de probabilité \emph{uniforme} sur la sphère. \end{sol} \item \label{q: calculs} Soient $i$ et $j \in \ssquarebrackets{1}{d}$, calculer $\int_{\S^{d-1}} x_i \dx \sigma(x)$ et $\int_{\S^{d-1}} x_ix_j \dx \sigma(x)$. \begin{sol} Notons $(e_1,\dots,e_d)$ la base canonique de $\R^d$. Soit $O \in O_d(\R)$ définie par $O(e_i)=-(e_i)$ et $O(e_k)=e_k$ pour tout $k \neq i$. En utilisant l'invariance de $\sigma$ par $O$ il vient: \begin{equation*} \int_{\S^{d-1}} x_i \dx \sigma(x) = \int_{\S^{d-1}} x_i \dx O_*\sigma(x) = \int_{\S^{d-1}} (Ox)_i \dx \sigma(x) = -\int_{\S^{d-1}} x_i \dx \sigma(x). \end{equation*} Donc $\int_{\S^{d-1}} x_i \dx \sigma(x)=0$. De même, si $j \neq i$, on a: \begin{equation*} \int_{\S^{d-1}} x_ix_j \dx \sigma(x) = \int_{\S^{d-1}} x_ix_j \dx O_*\sigma(x) = \int_{\S^{d-1}} (Ox)_i(Ox)_j \dx \sigma(x) = -\int_{\S^{d-1}} x_ix_j \dx \sigma(x), \end{equation*} d'où $\int_{\S^{d-1}} x_ix_j \dx \sigma(x) =0$. Soit $k \in \ssquarebrackets{2}{d}$, notons $U \in O_d(\R)$ qui échange $e_1$ et $e_k$ et fixe les autres éléments de la base. Toujours en utilisant l'invariance de $\sigma$ sous l'action de $O_d(\R)$ il vient: \begin{equation*} \int_{\S^{d-1}} x_k^2 \dx \sigma(x) = \int_{\S^{d-1}} x_k^2 \dx U_*\sigma(x) = \int_{\S^{d-1}} (Ux)^2_k \dx \sigma(x) = \int_{\S^{d-1}} x_1^2 \dx \sigma(x). \end{equation*} On a donc \begin{align*} \int_{\S^{d-1}} x_i^2 \dx \sigma(x)&=\int_{\S^{d-1}} x_1^2 \dx \sigma(x)=\frac{1}{d}\sum_{k=1}^d \int_{\S^{d-1}} x_i^2 \dx \sigma(x) = \frac{1}{d}\int_{\S^{d-1}} \Norm{x}^2 \dx \sigma(x)\\ &= \frac{1}{d} \sigma(\S^{d-1}) = \frac{\pi^\frac{d}{2}}{\frac{d}{2}\Gamma\parentheses*{\frac{d}{2}}} = \frac{\pi^\frac{d}{2}}{\Gamma\parentheses*{\frac{d}{2}+1}}. \end{align*} \end{sol} \end{enumerate} \end{exo} \begin{sol} \begin{rem} Soit $E = \S^{d-2}\times \brackets{0} \subset (\R^{d-1}\times \brackets{0}) \cap \S^{d-1}$ l'équateur de $\S^{d-1}$. Comme $\gamma$ est à densité par rapport à la mesure de Lebesgue de $\R^d$, on a $\mu(E) = \gamma\parentheses*{\R^{d-1}\times \brackets{0}}=0$. Donc $\sigma(E) = 0$. En général on ne s'en sort pas à si bon compte\dots \end{rem} \end{sol} \end{document}