\documentclass[11pt]{article} % Packages gestion des caractères, du français et de la mise en page \usepackage[french]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[margin=2.5cm]{geometry} \usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0},hypertexnames=false]{hyperref} \setlength{\parindent}{0pt} \renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet} \usepackage{comment} \usepackage{enumitem} \usepackage{tabularx} \usepackage{multicol} % Graphiques et Figures \usepackage{subfig} \usepackage{pgf,tikz} \usetikzlibrary{arrows} \usepackage[figurename=Figure]{caption} % Packages pour les maths \usepackage{mathtools} \usepackage{amsthm} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{stmaryrd} % Nouveaux environnements \theoremstyle{plain} \newtheorem*{thm}{Théorème} \newtheorem{cor}{Corollaire} \newtheorem{lem}{Lemme} \newtheorem{prop}{Proposition} \theoremstyle{definition} \newtheorem*{dfn}{Définition} \newtheorem{exo}{Exercice} \newtheorem*{ntn}{Notation} \newtheorem*{ntns}{Notations} \theoremstyle{remark} \newtheorem*{hint}{Indication} \newtheorem*{rem}{Remarque} \newtheorem*{ex}{Exemple} \newtheorem*{exs}{Exemples} % Commandes et opérateurs utiles \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \renewcommand{\S}{\mathbb{S}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cCc}{\mathcal{C}_c} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cOM}{\mathcal{O}_M} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\dx}{\dmesure\!} \newcommand{\esp}[2][]{\mathbb{E}_{#1}\squarebrackets*{#2}} \newcommand{\loc}{\text{loc}} \newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}} \newcommand{\one}{\mathbf{1}} \newcommand{\trans}[1]{\prescript{\text{t}}{}{#1}} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\hat}{\widehat} 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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Gestion de l'affichage des solutions avec le package comment % Nouveaux compteurs pour avoir une numérotation des équations indépendante dans les solutions \newcounter{aux} \newcounter{soleq} % Définition d'un environnement sol qui peut être commenté à loisir ci-dessous % La numération des équations est indépendantes et en chiffres romains dans les solutions \specialcomment{sol}{ \setcounter{aux}{\value{equation}} \setcounter{equation}{\value{soleq}} \renewcommand{\theequation}{\roman{equation}} \par\begingroup\color{violet} } { \endgroup \setcounter{soleq}{\value{equation}} \setcounter{equation}{\value{aux}} \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}} } % Le contenu des environnements sol est visible par défaut, décommenter la ligne suivante le cache %\excludecomment{sol} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Informations du document \author{Blanche Buet, Dominique Hulin et Thomas Letendre} \date{2024 -- 2025} \title{Feuille 10 -- Théorème de Bochner} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mise en page de l'en-tête %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Xr@{}} Université Paris-Saclay & Master Mathématiques et Applications \\ \@date & Distributions et Analyse de Fourier \end{tabularx} \vspace{1ex} Enseignant·e·s: \@author . \vspace{2ex} \hrule \begin{center} \begin{Large} \@title \end{Large} \end{center} \hrule \vspace{2ex} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Début du corps du texte %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{dfn}[Fonction définie-positive] Une fonction $f:\R^d \to \C$ est dite \emph{définie-positive} si pour tout $n \in \N^*$, pour tout $x_1,\dots,x_n \in \R^d$ et pour tout $\lambda_1,\dots,\lambda_n \in \C$ on a: $\sum_{1 \leq j, k \leq n} \lambda_j \bar{\lambda_k}f(x_k-x_j) \geq 0$. \end{dfn} Ici et dans la suite, on note $z \geq 0$ pour signifier que $z \in \C$ est en fait réel et positif. Le but des exercices suivants est de prouver le théorème de Bochner ci-dessous. \begin{thm}[Bochner] Une distribution tempérée est la transformée de Fourier d'une mesure de probabilité si et seulement si elle est définie par une fonction $f$ vérifiant les conditions suivantes: \begin{enumerate} \begin{multicols}{3} \item \label{item: normalisation} $f(0)=1$, \item \label{item: continuite} $f$ est continue, \item \label{item: def positive} $f$ est définie-positive. \end{multicols} \end{enumerate} \end{thm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo}[Transformée de Fourier des mesures de proba] \label{exo: TF de mu} Soit $\mu$ une mesure de probabilité sur~$\R^d$. \begin{enumerate} \item \label{q: mu dans S'} Justifier que $\mu \in \cS'(\R^d)$. \begin{sol} On a vu dans la feuille 8 exercice 9 que, s'il existe $s \in \R$ tel que $\parentheses*{1+\Norm{x}^2}^\frac{s}{2} \in L^1(\dx \mu)$, alors $\mu$ définit une distribution tempérée par $\varphi \mapsto \int_{\R^d} \varphi(x) \dx \mu(x)$ de $\cS(\R^d)$ dans $\C$. Ici ce critère est vérifié pour $s=0$ puisque $\mu(\R^d)=1$. À la main, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, $\norm*{\int_{\R^d} \varphi(x) \dx \mu(x)} \leq \Norm{\varphi}_\infty=N_0(\varphi)$, la linéarité étant claire. \end{sol} \item \label{q: TF de mu fonction} Montrer que $\hat{\mu}$ est une fonction et en déterminer une expression intégrale. \begin{sol} Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$. On calcule: \begin{equation*} \prsc*{\hat{\mu}}{\varphi} = \prsc{\mu}{\hat{\varphi}} = \int_{\R^d} \hat{\varphi}(x) \dx \mu(x) = \int_{\R^d} \int_{\R^d} \varphi(\xi) e^{-i \xi\cdot x} \dx \xi \dx \mu(x) = \int_{\R^d} \varphi(\xi) \int_{\R^d} e^{-i \xi\cdot x} \dx \mu(x) \dx \xi, \end{equation*} où l'utilisation du théorème de Fubini est licite puisque $(\xi,x) \mapsto \norm*{\varphi(\xi)}$ est intégrable sur $\R^d \times \R^d$ pour $\dx x \otimes \dx \mu$. Posons $f:\xi \mapsto \int_{\R^d} e^{-i \xi \cdot x} \dx \mu(x)$, qui est bien définie de $\R^d$ dans $\C$. Comme $\mu$ est une mesure de probabilité, $f$ est bornée par $1$. En particulier $f \in \cS'(\R^d)$. Le calcul précédent montre que $\prsc*{\hat{\mu}}{\varphi} = \prsc{f}{\varphi}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ et donc $\hat{\mu}=f$. \begin{rem} Si $X$ est un vecteur aléatoire de loi $\mu$, on vient de montrer que $\hat{\mu}:\xi \mapsto \esp{e^{-i\xi \cdot X}}$. Les probabilistes définissent la fonction caractéristique de $\mu$ comme $\check{\hat{\mu}}$. L'injectivité de la transformée de Fourier montre qu'effectivement cette fonction caractérise totalement $\mu$. \end{rem} \end{sol} \item \label{q: Bochner direct} Vérifier que la fonction $\hat{\mu}$ satisfait les conditions~\ref{item: normalisation}, \ref{item: continuite} et~\ref{item: def positive} dans le théorème de Bochner. \begin{sol} On a $\hat{\mu}=\mu(\R^d)=1$, ce qui prouve la condition de normalisation~\ref{item: normalisation}. Pour la continuité~\ref{item: continuite}, on applique le théorème de continuité des intégrales à paramètres l'intégrande étant $\cC^\infty$ en $(\xi,x)$ et borné par $1$. Reste à vérifier la condition~\ref{item: def positive}. Soient $n \in \N^*$, $\xi_1,\dots,\xi_n \in \R^d$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_n \in \C$. On a \begin{align*} \sum_{1 \leq j,k \leq n} \lambda_j\bar{\lambda_k}\hat{\mu}(\xi_k-\xi_j)&= \sum_{1 \leq j,k \leq n} \lambda_j\bar{\lambda_k}\int_{\R^d} e^{-i(\xi_k-\xi_j)\cdot x}\dx \mu(x) = \int_{\R^d} \sum_{1 \leq j,k \leq n} \lambda_je^{i\xi_j\cdot x} \bar{\lambda_k e^{i\xi_k\cdot x}} \dx \mu(x)\\ &= \int_{\R^d} \norm*{\sum_{j=1}^n \lambda_je^{i\xi_j\cdot x}}^2 \dx \mu(x)\geq 0. \end{align*} \end{sol} \end{enumerate} \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo}[Fonctions définies-positives] \label{exo: fonctions def positives} Soit $f:\R^d \to \C$ une fonction continue et définie-positive. \begin{enumerate} \item \label{q: positive en 0} Montrer que $f(0) \geq 0$. \begin{sol} Pour $n=1$, $x_1=0$ et $\lambda_1=1$, la définie-positivité donne $f(0) \geq 0$. \end{sol} \item \label{q: hermitienne} Soit $x \in \R^d$, montrer que pour tout $\alpha \in \C$, on a $\parentheses*{1+\norm{\alpha}^2}f(0) + \bar{\alpha} f(x) + \alpha f(-x) \geq 0$. En déduire que $f(-x) = \bar{f(x)}$. \begin{sol} On écrit la condition de définie-positivité pour $n=2$ avec $x_1=0$, $x_2=x$, $\lambda_1=1$ et $\lambda_2=\alpha$. Il vient: $0 \leq f(0) + \bar{\alpha}f(x) + \alpha f(-x) + \norm{\alpha}^2f(0)$ qui est l'inégalité souhaitée. Pour $\alpha=1$, on a $f(x)+f(-x)+2f(0) \geq 0$, en particulier est réel. Comme $f(0)$ est réel, il existe $a \in \R$ tel que $f(x)+f(-x)=a$. Pour $\alpha=i$, en argumentant de même, il existe $b \in \R$ tel que $-i(f(x)-f(-x))=b$. On a alors \begin{align*} \begin{cases} f(x)+f(-x) =a \\ -i(f(x)-f(-x))=b \end{cases} \iff \begin{cases} f(x)=\frac{a+ib}{2} \\ f(-x)=\frac{a-ib}{2}. \end{cases} \end{align*} Et comme $a, b \in \R$ on a bien $f(-x)=\bar{f(x)}$. \end{sol} \item \label{q: matrices et bornitude} Interpréter la condition de définie-positivité de $f$ en termes de matrices hermitiennes. En déduire que $f$ est bornée par $f(0)$. \begin{sol} Soient $n \in \N^*$ et $x_1,\dots,x_n \in \R^d$, on note $H(x_1,\dots,x_n) = \begin{pmatrix} f(x_k-x_j) \end{pmatrix}_{1 \leq j,k \leq n} \in M_n(\C)$. D'après la question~\ref{q: hermitienne}, on a $\trans{H(x_1,\dots,x_n)}=\bar{H(x_1,\dots,x_n)}$, i.e. cette matrice est hermitienne. La définie-positivité de $f$ affirme que, pour tout $\Lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \in \C$, \begin{equation*} \trans{\Lambda} H(x_1,\dots,x_n) \bar{\Lambda} = \sum_{1 \leq j,k \leq n} \lambda_j \bar{\lambda_k}f(x_k-x_j) \geq 0, \end{equation*} c'est-à-dire que $H(x_1,\dots,x_n)$ est positive (mais pas définie-positive). Ainsi, la définie-positivité de $f$ est équivalente à demander que, pour tout $n \in \N^*$ et $x_1,\dots,x_n \in \R^d$, la matrice $H(x_1,\dots,x_n)$ est hermitienne positive. Notamment, pour tout $x \in \R^d$, \begin{equation*} 0 \leq \det H(0,x) = \det \begin{pmatrix} f(0) & f(x) \\ \bar{f(x)} & f(0) \end{pmatrix} = f(0)^2 - \norm{f(x)}^2. \end{equation*} Donc $\norm{f(x)} \leq f(0)$. Finalement $f$ est bornée par $f(0)$. \end{sol} \item \label{q: def positive fonctions} Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, montrer que $\int_{\R^d \times \R^d} f(y-x)\varphi(x) \bar{\varphi(y)} \dx x \dx y \geq 0$. \begin{sol} Tout d'abord, $\norm*{f(y-x)\varphi(x)\bar{\varphi(y)}} \leq f(0) \norm{\varphi(x)}\norm{\varphi(y)}$ et le terme de droite est intégrale sur $\R^d \times \R^d$ puisque $\varphi \in \cS(\R^d) \subset L^1(\R^d)$. L'intégrale qui nous intéresse est donc bien définie et \begin{equation*} \int_{\R^d \times \R^d} f(y-x)\varphi(x) \bar{\varphi(y)} \dx x \dx y = \lim_{R \to +\infty} \int_{[-R,R]^{2d}} f(y-x)\varphi(x) \bar{\varphi(y)} \dx x \dx y. \end{equation*} Soit $R>0$, comme $(x,y)\mapsto f(y-x)\varphi(x)\bar{\varphi(y)}$ est continue, l'intégrale de cette fonction sur $[-R,R]^{2d}$ est obtenue comme une limite de sommes de Riemann. Soit $N \in \N^*$, et disons qu'on veut découper $[-R,R]^{2d}$ en cubes de côté $\frac{R}{N}$. On va approcher la valeur de l'intégrale par une combinaison linéaire des valeurs de la fonction sur $]-R,R]^{2d} \cap \frac{R}{N}\Z^{2d}$. Il est équivalent de choisir un point dans $]-R,R]^{2d} \cap \frac{R}{N}\Z^{2d}$ ou un couple de points dans $]-R,R]^d \cap \frac{R}{N}\Z^d = \frac{R}{N} \ssquarebrackets{-N+1}{N}^d$. On écrit donc \begin{equation*} \int_{[-R,R]^{2d}} f(y-x)\varphi(x) \bar{\varphi(y)} \dx x \dx y = \lim_{N \to +\infty} \sum_{x,y \in \frac{R}{N} \ssquarebrackets{-N+1}{N}^d} f(y-x)\varphi(x) \bar{\varphi(y)} \parentheses*{\frac{R}{N}}^{2d}. \end{equation*} Quitte à noté $x_1,\dots,x_{(2N)^d}$ les éléments de $\frac{R}{N} \ssquarebrackets{-N+1}{N}^d$, la somme précédente se ré-écrit \begin{equation*} \parentheses*{\frac{R}{N}}^{2d} \sum_{1\leq j,k \leq (2N)^d} f(x_k-x_j)\varphi(x_j) \bar{\varphi(x_k)}. \end{equation*} Par définie-positivité de $f$, cette somme est positive pour tout $N \in \N^*$. Donc, en passant à la limite $N \to +\infty$, \begin{equation*} \int_{[-R,R]^{2d}} f(y-x)\varphi(x) \bar{\varphi(y)} \dx x \dx y \geq 0. \end{equation*} On obtient le résultat voulu en passant à la limite $R \to +\infty$. \end{sol} \end{enumerate} \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%