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% Gestion de l'affichage des solutions avec le package comment

% Nouveaux compteurs pour avoir une numérotation des équations indépendante dans les solutions

\newcounter{aux}
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% Définition d'un environnement sol qui peut être commenté à loisir ci-dessous
% La numération des équations est indépendantes et en chiffres romains dans les solutions

\specialcomment{sol}{
	\setcounter{aux}{\value{equation}}
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	\par\begingroup\color{violet}
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	{
	\endgroup
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	}

% Le contenu des environnements sol est visible par défaut, décommenter la ligne suivante le cache
%\excludecomment{sol}

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% Informations du document

\author{Thomas Letendre}
\date{2023 -- 2024}
\title{Feuille 2 -- Séries de Fourier}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Mise en page de l'en-tête

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Xr@{}}
Université Paris-Saclay & Master Formation à l'Enseignement Supérieur \\
\@date & Analyse~2
\end{tabularx}

\vspace{1ex}

Chargé de TD: \@author .

\vspace{2ex}

\hrule

\begin{center}
\begin{Large}
\@title
\end{Large}
\end{center}

\hrule

\vspace{2ex}

\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Début du corps du texte

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


On identifie les fonctions $1$-périodiques sur $\R$ avec les fonctions sur le cercle $\T :=\R/\Z$. On munit $\T$ du quotient de la mesure de Lebesgue, notée $\dx t$, de sorte que sous l'identification précédente on a:
\begin{equation*}
\forall A \in \R, \qquad \int_\T f(t) \dx t = \int_A^{A+1} f(x) \dx x,
\end{equation*}
pourvu que $f:\R \to \C$ soit une fonction $1$-périodique, mesurable, et positive ou localement intégrable.

\begin{dfn}[Espaces $L^p$]
Soit $p \in [1,+\infty[$, on note $L^p(\T)$ l'espace des $f:\T \to \C$ mesurables tels que $\int_\T \norm{f(t)}^p \dx t <+\infty$, modulo égalité presque partout. Il est muni de la norme $\Norm{\cdot}_p$ définie par: $\Norm{f}_p = \parentheses*{\int_\T \norm{f(t)}^p \dx t}^\frac{1}{p}$ pour tout $f \in L^p(\T)$.
\end{dfn}

\begin{dfn}[Espaces $\cC^k$]
Soit $k \in \N \cup \brackets{\infty}$, on note $\cC^k(\T)$ l'espace des fonctions $f: \T \to \C$ obtenues par passage au quotient d'une fonction $1$-périodique de classe $\cC^k$ sur $\R$. On munit $\cC^0(\T)$ de la norme sup $\Norm{\cdot}_\infty$ définie par: $\Norm{f}_\infty = \displaystyle\max_{t \in \T} \norm{f(t)}$ pour tout $f \in \cC^0(\T)$.
\end{dfn}

\begin{ntn}
\begin{itemize}
\item Pour tout $k \in \Z$, on note $e_k:x \mapsto e^{2ik\pi x}$ de $\T$ dans $\C$ ou de $\R$ dans $\C$. On appelle \emph{polynômes trigonométriques} les combinaisons linéaires des $\parentheses*{e_k}_{k \in \Z}$.

\item Soit $f \in L^1(\T)$, on note $\hat{f}(k) = \int_\T f(t) \bar{e_k(t)}\dx t$ son $k$-ième coefficient de Fourier.

\item Soit $n \in \N$ on note $S_n(f) = \sum_{k =-n}^n \hat{f}(k)e_k$ la $n$-ième somme partielle de sa série de Fourier.

\item Soit $N \in \N$ on note $\sigma_N(f) = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^N S_n(f)$ la $N$-ième moyenne de Césaro des $\parentheses*{S_n(f)}_{n \in \N}$.

\item Pour tout $n \in \N$, on note $D_n = \sum_{k=-n}^n e_k$ le $n$-ième \emph{noyau de Dirichlet}.

\item Pour tout $N \in \N$, on note $K_N = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^N D_n$ le $N$-ième \emph{noyau de Féjer}.
\end{itemize}
\end{ntn}

% Pour l'année prochaine ajouter un exo qui définit les polynômes trigos et qui montre que leurs coef sont leurs coef de Fourier. Peut-être aussi ré-écrire sigma_n(f) explicitement comme polynôme trigo.

\begin{exo}[Calculs de $\zeta(2)$ et $\zeta(4)$]
\label{exo: calculs}

On considère la fonction $1$-périodique $f$ qui est définie par $f(x)=x^2$ pour tout $x \in \squarebrackets*{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}}$.

\begin{enumerate}
\item \label{q: calcul coefficients} Calculer les coefficients de Fourier de $f$.

\begin{sol}

Tout d'abord, on a $\displaystyle\hat{f}(0) = \int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} x^2 \dx x = \squarebrackets*{\frac{x^3}{3}}_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} = \frac{1}{12}$.

Soit maintenant $k \in \Z^*$, par deux intégrations par parties on obtient:
\begin{align*}
\hat{f}(k)&= \int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} x^2 e^{-2i\pi k x} \dx x = \frac{i}{2k\pi}\squarebrackets*{x^2 e^{-2ik\pi x}}_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} - \frac{i}{k\pi}\int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} x e^{-2i\pi k x} \dx x\\
&= \frac{1}{4k\pi}\sin(k\pi) + \frac{1}{2k^2\pi^2} \squarebrackets*{x e^{-2ik\pi x}}_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} - \frac{1}{2k^2\pi^2} \int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} e^{-2i\pi k x} \dx x = \frac{\cos(k\pi)}{2k^2\pi^2} = \frac{(-1)^k}{2k^2\pi^2}.
\end{align*}

\end{sol}

\item \label{q: zeta} Prouver les trois formules suivantes:
\begin{align*}
\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2} &= \frac{\pi^2}{6}, & \sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^n}{n^2} &= -\frac{\pi^2}{12}, & \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^4} &= \frac{\pi^4}{90}.
\end{align*}

\begin{sol}

La fonction $f$ est continue et, d'après la question précédente, $\sum_{k \in \Z} \norm{\hat{f}(k)}<+\infty$. Donc $f$ est la somme uniforme de sa série de Fourier. En particulier, en $x=0$, on obtient
\begin{equation*}
0= f(0) = \sum_{k \in \Z} \hat{f}(k) e_k(0) = \frac{1}{12} + \sum_{k \in \Z^*} \frac{(-1)^k}{2k^2\pi^2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{\pi^2} \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n^2},
\end{equation*}
d'où on déduit $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}$. En évaluant la valeur de $f$ en $\frac{1}{2}$ on obtient:
\begin{equation*}
\frac{1}{4} = f\parentheses*{\frac{1}{2}} = \sum_{k \in \Z} \hat{f}(k)e_k\parentheses*{\frac{1}{2}}= \frac{1}{12} + \sum_{k \in \Z^*} \frac{(-1)^{2k}}{2k^2\pi^2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{\pi^2}\sum_{n \geq 1} \frac{1}{k^2},
\end{equation*}
d'où:
\begin{equation*}
\sum_{n \geq 1} \frac{1}{k^2} = \pi^2 \parentheses*{\frac{1}{4}-\frac{1}{12}} = \frac{\pi^2}{6}.
\end{equation*}
Enfin, comme $f \in L^2(\T)$, la formule de Parseval donne:
\begin{equation*}
\frac{1}{144} + \frac{1}{2\pi^4} \sum_{n \geq 1}\frac{1}{n^4} = \sum_{k \in \Z} \hat{f}(k)^2 = \int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} x^4 \dx x = \frac{1}{5}\squarebrackets*{x^5}_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} = \frac{1}{80}.
\end{equation*}
On a donc
\begin{equation*}
\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n^4} = \pi^4\parentheses*{\frac{1}{40}- \frac{1}{72}} = \frac{\pi^4}{8}\parentheses*{\frac{1}{5}-\frac{1}{9}} = \frac{\pi^4}{90}.
\end{equation*}

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exo}[Produit de convolution]
\label{exo: produit de convolution}

Soient $f$ et $g \in L^1(\T)$, on définit leur \emph{convolée} $f \ast g$ par:
\begin{equation*}
f\ast g : x \longmapsto \int_\T f(t)g(x-t) \dx t.
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item \label{q: convolee L1 et symetrique} Montrer que $f \ast g \in L^1(\T)$ et que $\Norm{f \ast g}_1 \leq \Norm{f}_1 \Norm{g}_1$. Vérifier que $f \ast g = g \ast f$.

\begin{sol}

L'application $F:(x,t) \mapsto f(t) g(x-t)$ est mesurable sur $\T^2$ comme produit de composées de fonctions mesurables. D'après le théorème de Fubini--Tonelli on a donc:
\begin{equation*}
\int_{\T^2} \norm{f(t)}\norm{g(x-t)} \dx x \dx t = \int_\T \norm{f(t)} \parentheses*{\int_\T \norm{g(x-t)} \dx x} \dx t = \int_\T \norm{f(t)} \Norm{g}_1 \dx t = \Norm{f}_1 \Norm{g}_1 <+\infty.
\end{equation*}
Donc $F$ est intégrable sur $\T^2$. Par le théorème de Fubini on a donc que $f\ast g:x \mapsto \int_\T F(x,t) \dx t$ définit bien presque partout une fonction mesurable. De plus,
\begin{equation*}
\int_\T \norm*{f \ast g(x)} \dx x = \int_\T \norm*{\int_\T f(t)g(x-t) \dx t} \dx x \leq \int_{\T^2} \norm{f(t)}\norm{g(x-t)} \dx x \dx t = \Norm{f}_1\Norm{g}_1,
\end{equation*}
donc $f \ast g \in L^1(\T)$ et $\Norm{f \ast g}_1 \leq \Norm{f}_1\Norm{g}_1$.

Soit $x \in \T$, on calcule en utilisant des relevés sur $\R$ qui sont $1$-périodiques:
\begin{equation*}
g\ast f(x) = \int_0^1 g(t)f(x-t) \dx t = \int_{x-1}^x f(s)g(x-s) \dx s = \int_0^1 f(s)g(x-s) \dx s=f \ast g(x).
\end{equation*}

\end{sol}


\item \label{q: coefficient de Fourier de la convolee} Exprimer les coefficients de Fourier de $f \ast g$ en fonction de ceux de $f$ et $g$.

\begin{sol}

Soit $k \in \Z$, la fonction $(x,t) \mapsto f(t)g(x-t)\bar{e_k}(x)$ est dominée par la fonction $F$ précédente et est donc intégrable sur $\T^2$. On calcule par le théorème de Fubini:
\begin{align*}
\hat{f\ast g}(k) &= \int_\T \parentheses*{\int_\T f(t)g(x-t) \dx t} e^{-2ik\pi x}\dx x = \int_{\T^2} f(t)e^{-2ik\pi t} g(x-t) e^{-2ik\pi(x-t)} \dx x \dx t\\
&= \int_\T f(t)\bar{e_k(t)} \parentheses*{\int_\T g(x-t)\bar{e_k(x-t)}\dx x} \dx t = \int_\T f(t) \bar{e_k(t)} \hat{g}(k) \dx t = \hat{f}(k) \hat{g}(k).
\end{align*}

\end{sol}

\item \label{q: convolée Ck} Soit $k \in \N \cup \brackets{\infty}$, montrer que si $g \in \cC^k(\T)$ alors $f \ast g \in \cC^k(\T)$ et $\parentheses{f \ast g}^{(k)} = f \ast g^{(k)}$.

\begin{sol}

Rappelons que les fonctions $f$, $g$ et $f \ast g$ peuvent également être vues comme des fonctions $1$-périodiques de $\R$ dans $\C$. La régularité $\cC^k$ de $f \ast g$ est alors la régularité $\cC^k$ au sens des fonctions de $\R$ dans $\C$. Dans la suite de cette question on travaille avec les fonctions sur $\R$. Dans ce cas on a, pour tout $x \in \R$:
\begin{equation*}
f \ast g (x) = \int_0^1 f(t) g(x-t) \dx t = \int_0^1 F(x,t) \dx t.
\end{equation*}

Montrons que si $g$ est continue alors $f \ast g$ aussi. Pour tout $t \in [0,1]$, la fonction $F(\cdot,t)$ est continue. Pour tout $x \in \R$, la fonction $F(x,\cdot)$ est mesurable. De plus on a la domination:
\begin{equation*}
\forall x \in \R, \forall t \in [0,1], \qquad \norm{F(x,t)} = \norm{f(t)}\norm{g(x-t)} \leq \Norm{g}_\infty\norm{f(t)}.
\end{equation*}
Le terme de droite est intégrable et indépendant de $x$. On en déduit que l'intégrale à paramètre $f \ast g$ est continue sur $\R$.

Supposons maintenant que $g$ est de classe $\cC^1$. Dans ce cas, pour tout $t \in [0,1]$, la fonction $F(\cdot,t)$ est de classe $\cC^1$ sur $\R$, et $\frac{\partial F}{\partial x}:(x,t) \mapsto f(t) g'(x-t)$. On a donc la domination:
\begin{equation*}
\forall x \in \R, \forall t \in [0,1], \qquad \norm*{\frac{\partial F}{\partial x}(x,t)} = \norm{f(t)}\norm{g'(x-t)} \leq \Norm{g'}_\infty\norm{f(t)}.
\end{equation*}
Le théorème de dérivation des intégrales à paramètres permet alors de conclure que $f\ast g$ est de classe $\cC^1$ sur $\R$ de dérivée égale à $f \ast g'$.

On conclut par récurrence que si $g$ est de classe $\cC^k$ alors $f \ast g$ aussi et $(f \ast g)^{(k)} = f \ast g^{(k)}$.
\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exo}[Noyaux de Dirichlet et Féjer]
\label{exo: noyaux de Dirichlet et Fejer}

\begin{enumerate}
\item \label{q: noyau de Dirichlet} Soit $n \in \N$, montrer que $\int_\T D_n(t) \dx t=1$ et que 
\begin{equation*}
\forall t \in \T \setminus \brackets{0}, \qquad D_n(t) = \frac{\sin\parentheses*{\parentheses{2n+1}\pi t}}{\sin\parentheses*{\pi t}}.
\end{equation*}

\begin{sol}

Par définition de $D_n$ on a:
\begin{equation*}
\int_\T D_n(t) \dx t = \int_\T \sum_{k=-n}^n e_k(t) \dx t = \sum_{k=-n}^n \int_\T e_k(t) \dx t = \int_\T 1 \dx t = 1.
\end{equation*}
Soit maintenant $t \in \T \setminus \brackets{0}$, ou de façon équivalente $t \in \R \setminus \Z$, on a:
\begin{align*}
D_n(t) &= \sum_{k=-n}^n e^{2ik\pi t} = \frac{e^{2i(n+1)\pi t} - e^{-2in\pi t}}{e^{2i\pi t}-1} = \frac{e^{2i\parentheses*{n+\frac{1}{2}}\pi t} - e^{-2i\parentheses*{n+\frac{1}{2}}\pi t}}{e^{i\pi t}-e^{-i\pi t}} = \frac{\sin\parentheses*{\parentheses{2n+1}\pi t}}{\sin\parentheses*{\pi t}}.
\end{align*}
Notons que $D_n$ est un polynôme trigonométrique donc est $\cC^\infty$. La singularité en $t=0$ n'est donc qu'apparente, et $D_n(0) = \sum_{k=-n}^k e_k(0) = 2n+1$.

\end{sol}

\item \label{q: noyau de Fejer expression} Soit $N \in \N$, montrer que $\int_\T K_N(t) \dx t=1$ et que
\begin{equation*}
\forall t \in \T \setminus \brackets{0}, \qquad K_N(t) = \frac{1}{N+1}\parentheses*{\frac{\sin\parentheses*{\parentheses{N+1}\pi t}}{\sin\parentheses*{\pi t}}}^2.
\end{equation*}

\begin{sol}

On va s'appuyer sur les calculs de la question précédente. Par définition de $K_N$,
\begin{equation*}
\int_\T K_N(t) \dx t = \int_\T \frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^N D_n(t) \dx t = \frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^N \int_\T D_n(t) \dx t = 1.
\end{equation*}
Soit $t \in \T \setminus \brackets{0}$,
\begin{equation*}
K_N(t) = \sum_{n=0}^N \frac{D_n(t)}{N+1} = \sum_{n=0}^N \frac{\sin\parentheses*{(2n+1)\pi t}}{(N+1)\sin(\pi t)} = \frac{1}{(N+1)\sin(\pi t)} \Im \parentheses*{\sum_{n=0}^N e^{(2n+1)i\pi t}}.
\end{equation*}
Puis,
\begin{align*}
\sum_{n=0}^N e^{(2n+1)i\pi t} &= \frac{e^{(2N+3)i\pi t} - e^{i\pi t}}{e^{2i\pi t}-1} =  e^{i(N+1)\pi t}\frac{e^{i(N+1)\pi t} - e^{-i(N+1)\pi t}}{e^{i\pi t}-e^{-i\pi t}}\\
&= e^{i(N+1)\pi t}\frac{\sin\parentheses*{\parentheses{N+1}\pi t}}{\sin\parentheses*{\pi t}},
\end{align*}
d'où on déduit que:
\begin{equation*}
K_N(t) = \frac{\sin\parentheses*{\parentheses{N+1}\pi t}}{(N+1)\sin\parentheses*{\pi t}^2} \Im\parentheses*{e^{i(N+1)\pi t}} = \frac{1}{N+1}\parentheses*{\frac{\sin\parentheses*{\parentheses{N+1}\pi t}}{\sin\parentheses*{\pi t}}}^2.
\end{equation*}
Là encore la singularité en $t=0$ n'est qu'apparente puisque $K_N$ est un polynôme trigonométrique, et on a $K_N(0)= \frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^N D_n(0) = \frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^N 2n+1 = N+1$.

\end{sol}


\item \label{q: convolee Dn et Kn} Soit $f \in L^1(\T)$, montrer que: $\forall n \in \N$, $S_n(f) = f \ast D_n$ et $\forall N \in \N$, $\sigma_N(f) = f \ast K_N$.

\begin{sol}

Soit $n \in \N$, pour tout $x \in \T$ on a:
\begin{equation*}
f\ast D_n(x) = \int_\T f(t) D_n(x-t) \dx t = \sum_{k=-n}^n \int_\T f(t) e^{2ik\pi (x-t)}\dx t = \sum_{k=-n}^n \hat{f}(k) e_k(x) = S_n(f)(x).
\end{equation*}
Donc $f \ast D_n = S_n(f)$. Soit $N \in \N$, par bilinéarité du produit de convolution on a:
\begin{equation*}
f \ast K_N = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^N f \ast D_n = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^N S_n(f) = \sigma_n(f).
\end{equation*}

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exo}[Théorème de Féjer $\cC^0$]
\label{exo: thm de Fejer C0}

\begin{enumerate}
\item \label{q: noyau de Fejer CVU} Soit $\eta \in ]0,\frac{1}{2}[\,$, montrer que $K_N$ converge uniformément vers $0$ sur $\squarebrackets*{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \setminus ]-\eta,\eta[$ lorsque $N \to +\infty$.

\begin{sol}

Soient $N \in \N$ et $t \in \squarebrackets*{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \setminus ]-\eta,\eta[$, d'après la question~\ref{q: noyau de Fejer expression} de l'exercice~\ref{exo: noyaux de Dirichlet et Fejer} on a:
\begin{equation*}
0 \leq K_N(t) = \frac{1}{N+1}\parentheses*{\frac{\sin\parentheses*{\parentheses{N+1}\pi t}}{\sin\parentheses*{\pi t}}}^2 \leq \frac{1}{(N+1)\sin(\pi t)^2}.
\end{equation*}
Comme $\sin(\pi \cdot)^2$ est paire, croissante sur $[0,\frac{1}{2}]$ et $0 < \eta < \frac{1}{2}$, on a
\begin{equation*}
0 < \sin(\pi \eta)^2 = \sin(-\pi\eta)^2 < \sin(\pi t)^2.
\end{equation*}
Donc, pour tout $t \in \squarebrackets*{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \setminus ]-\eta,\eta[$,
\begin{equation*}
0 \leq K_N(t) \leq \frac{1}{(N+1)\sin(\pi \eta)^2} \xrightarrow[N \to +\infty]{}0.
\end{equation*}
Donc $K_N$ converge bien uniformément vers $0$ sur $\squarebrackets*{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \setminus ]-\eta,\eta[$ lorsque $N \to +\infty$.

\end{sol}

\item \label{q: thm Fejer C0} Soit $f \in \cC^0(\T)$, montrer que $\sigma_N(f)$ converge uniformément vers $f$ sur $\T$. Ce résultat est appelé \emph{théorème de Féjer $C^0$}.

\begin{sol}

Soient $N \in \N$ et $x \in \T$, d'après la question~\ref{q: convolee Dn et Kn} de l'exercice~\ref{exo: noyaux de Dirichlet et Fejer} on a:
\begin{equation*}
\norm{\sigma_N(f)(x) - f(x)} = \norm{f \ast K_N(x) - f(x)} = \norm{K_N \ast f(x) - f(x)} = \norm*{\int_{\T} K_N(t) f(x-t) \dx t - f(x)},
\end{equation*}
où on a aussi utilisé la commutativité du produit de convolution (voir question~\ref{q: convolee L1 et symetrique} exercice~\ref{exo: produit de convolution}). On a montré dans l'exercice~\ref{exo: noyaux de Dirichlet et Fejer} question~\ref{q: noyau de Fejer expression} que $K_N$ est positif d'intégrale $1$. Donc
\begin{align*}
\norm{\sigma_N(f)(x) - f(x)} &= \norm*{\int_{\T} K_N(t) \parentheses*{f(x-t)- f(x)} \dx t} \leq \int_\T K_N(t) \norm*{f(x-t) - f(x)} \dx t\\
& \leq \int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} K_N(t) \norm*{f(x-t) - f(x)} \dx t.
\end{align*}
Dans la dernière ligne, on peut choisir d'identifier $x$ avec un relevé dans $\squarebrackets*{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}}$, de sorte que $x$ et $x-t \in [-1,1]$ pour tout $t \in \squarebrackets*{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}}$.

La fonction $f$ est continue donc uniformément continue sur $[-1,1]$. Soit $\epsilon >0$, soit $\eta >0$ un module d'uniforme continuité de $f$ associé à $\epsilon$ sur $[-1,1]$. Pour tout $t \in\squarebrackets*{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \setminus ]-\eta,\eta[$,
\begin{equation*}
0 \leq K_N(t)\norm{f(x-t)-f(x)} \leq 2\Norm{K_N}_{\infty,\squarebrackets*{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \setminus ]-\eta,\eta[}\Norm{f}_\infty.
\end{equation*}
Donc, comme $\int_\T K_N(t) \dx t =1$ et $K_N$ est positif,
\begin{align*}
\norm{\sigma_N(f)(x) - f(x)} &\leq 2(1-2\eta)\Norm{K_N}_{\infty,\squarebrackets*{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \setminus ]-\eta,\eta[}\Norm{f}_\infty + \int_{-\eta}^\eta K_N(t)\epsilon \dx t\\
&\leq 2\Norm{K_N}_{\infty,\squarebrackets*{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \setminus ]-\eta,\eta[}\Norm{f}_\infty +\epsilon.
\end{align*}
D'après la question~\ref{q: noyau de Fejer CVU}, le dernier terme est majoré par $2\epsilon$ pour tout $N$ assez grand, uniformément en $x \in \T$. Donc $\Norm{\sigma_N(f)-f}_\infty \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$.

\begin{rem}
La preuve qu'on vient faire utilise notamment le fait que $\int_\T \norm{K_N(t)} \dx t$ est bornée indépendamment de $N$. On sait qu'une telle propriété est fausse si on remplace $(K_N)_{N \in \N}$ par $(D_n)_{n \in \N}$. Les noyaux de Féjer ont donc de meilleures propriétés qualitatives que les noyaux de Dirichlet, dont la positivité par exemple. Ce sont ces différences qualitatives qui expliquent pourquoi on a toujours convergence uniforme des $\sigma_N(f)$ vers $f$, mais que la série de Fourier d'une fonction continue peut diverger.
\end{rem}

\end{sol}


\item \label{q: thm Weierstrass} En déduire le \emph{théorème de Weierstrass trigonométrique}: l'espace des polynômes trigonométriques est dense dans $\cC^0(\T)$.

\begin{sol}

D'après la question~\ref{q: thm Fejer C0}, toute fonction $f \in \cC^0(\T)$ est limite uniforme de la suite $\parentheses*{\sigma_N(f)}_{N\in \N}$. Cela donne le résultat voulu puisque $\sigma_N(f)$ est un polynôme trigonométrique de degré au plus~$N$. En particulier on a montré que $\cC^\infty(\T)$ est dense dans $\cC^0(\T)$.

\end{sol}

\item \label{q: lemme de Cesaro} Prouver le lemme de Césaro: si $\parentheses{u_n}_{n \in \N}$ est une suite de complexes telle que $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{}\ell$, alors $\frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^N u_n \xrightarrow[N \to +\infty]{} \ell$.

\begin{sol}

Pour tout $N \in \N$ et $K \in \ssquarebrackets{1}{N}$, on a
\begin{equation*}
\norm*{\frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^N u_n - \ell} \leq \frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^N \norm{u_n - \ell} = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^K \norm{u_n - \ell} + \frac{1}{N+1} \sum_{n=K+1}^N \norm{u_n - \ell}.
\end{equation*}
Soit $\epsilon >0$, il existe $K \in \N$ tel que $\norm{u_n -\ell} \leq \epsilon$ pour tout $n \geq K$. Soit $N_0 \geq K$ tel que $\sum_{n=0}^K \norm{u_n - \ell} \leq (N_0+1)\epsilon$.  Pour tout $N \geq N_0$, le terme de droite dans l'équation ci-dessus est majoré par $2\epsilon$. D'où le résultat.

\end{sol}

\item \label{q: Cesaro} Soient $f \in \cC^0(\T)$ et $x \in \T$. Montrer que si $\parentheses*{\strut S_n(f)(x)}_{n \in \N}$ converge alors sa limite est $f(x)$.

\begin{sol}

On sait déjà par la question~\ref{q: thm Fejer C0} que $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^N S_n(f)(x) \xrightarrow[N \to +\infty]{} f(x)$, et cela quel que soit le comportement de la suite $\parentheses*{\strut S_n(f)(x)}_{n \in \N}$. La conclusion découle de l'unicité de la limite et du lemme de Césaro prouvé à la question~\ref{q: lemme de Cesaro}.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exo}[Théorème de Féjer $L^p$]
\label{exo: thm de Fejer Lp}

Soient $p \in [1,+\infty[$ et $f \in L^p(\T)$. Pour tout $t \in \T$, on note $f_t:x \mapsto f(x-t)$ le $t$-translaté de $f$

\begin{enumerate}

\item \label{q: continuite translation} Montrer que $\Norm{f_t-f}_p \xrightarrow[t \to 0]{} 0$. En déduire que $t \mapsto \Norm{f_t-f}_p$ est continue.
\begin{hint}
Commencer par traiter le cas où la fonction $f$ est continue.
\end{hint}

\begin{sol}

Suivant l'indication, commençons par considérer le cas où $f \in \cC^0(\T)$. Soit $t \in \T$. Comme on s'intéresse au régime $t \to 0$, on peut supposer que $t$ est le projeté d'un élément de $\left]-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right[$, nécessairement unique, que l'on note également $t$. On a alors:
\begin{equation*}
\Norm{f_t - f}_p^p = \int_\T \norm{f(x-t)-f(x)}^p \dx x = \int_0^1 \norm{f(x-t)-f(x)}^p \dx x \leq \Norm{f_t - f}_{\infty,[0,1]}^p
\end{equation*}
Comme $f$ (en tant que fonction de $\R$ dans $\C$) est continue sur $[-2,2]$, elle y est uniformément continue, ce qui signifie que le terme de droite tend vers $0$ lorsque $t \to 0$. Le résultat est donc établi si $f \in \cC^0(\T)$.

Soit maintenant $f \in L^p(\T)$, pour tout $g \in \cC^0(\T)$ on a:
\begin{equation*}
\Norm{f_t-f}_p \leq \Norm{f_t-g_t}_p + \Norm{g_t-g}_p + \Norm{f-g}_p = 2\Norm{f-g}_p + \Norm{g_t-g}_p.
\end{equation*}
On peut donc conclure par densité de $\cC^0(\T)$ dans $L^p(\T)$. Soit $\epsilon >0$, il existe $g \in \cC^0(\T)$ tel que $\Norm{f-g}_p \leq \epsilon$. En utilisant la cas des fonctions continues pour cette fonction $g$, pour tout $t$ assez proche de $0$ on a $\Norm{g_t -g}_p \leq \epsilon$. Donc, pour tout $t$ assez proche de $0$, on a $\Norm{f_t-f}_p \leq 3\epsilon$. D'où $\Norm{f_t-f}_p \xrightarrow[t \to 0]{} 0$.

Soient maintenant $s$ et $t \in \T$, on a $\Norm{f_t-f_s}_p = \Norm{(f_t-f)-(f_s-f)}_p$. Donc
\begin{equation*}
\norm*{\strut\Norm{f_t-f}_p - \Norm{f_s-f}_p} \leq \Norm{f_t-f_s}_p = \Norm{f_{t-s}-f}_p \xrightarrow[s \to t]{} 0.
\end{equation*}
Donc $t \mapsto \Norm{f_t-f}_p$ est continue.

\end{sol}


\item \label{q: thm Fejet Lp} Montrer que $\Norm{\sigma_N(f)-f}_p \xrightarrow[N \to +\infty]{}0$. Ce résultat est appelé \emph{théorème de Féjer $L^p$}.

\begin{sol}

On réutilise une partie des calculs de la question~\ref{q: thm Fejer C0} de l'exercice~\ref{exo: thm de Fejer C0}. Soit $N \in \N$, pour presque tout $x \in \T$ on a:
\begin{equation*}
\norm{\sigma_N(f)(x) - f(x)}^p = \parentheses*{\int_{\T} K_N(t) \norm{f(x-t)-f(x)} \dx t}^p.
\end{equation*}
Comme le noyau $K_N$ est positif et d'intégrale $1$, la mesure à densité $K_N(t)\dx t$ est une mesure de probabilité sur $\T$. Par le théorème de Jensen, on a:
\begin{equation*}
\norm{\sigma_N(f)(x) - f(x)}^p \leq \int_\T K_N(t) \norm{f_t(x)-f(x)}^p \dx t.
\end{equation*}
Donc, par le théorème de Fubini--Tonelli
\begin{align*}
\Norm{\sigma_N(f)(x) - f(x)}_p^p &= \int_\T \norm{\sigma_N(f)(x) - f(x)}^p \dx x \leq \int_\T \int_\T K_N(t) \norm{f_t(x)-f(x)}^p \dx t \dx x\\
&\leq \int_\T K_N(t) \parentheses*{\int_\T \norm{f_t(x)-f(x)}^p \dx x} \dx t = \int_\T K_N(t) \Norm{f_t-f}_p^p \dx t\\
&\leq K_N \ast g(0) = \sigma_N(g)(0),
\end{align*}
où $g:t \mapsto \Norm{f_{-t}-f}_p^p$. La fonction $g$ est continue d'après la question~\ref{q: continuite translation}. D'après le théorème de Féjer $\cC^0$ (voir la question~\ref{q: thm Fejer C0} de l'exercice~\ref{exo: thm de Fejer C0}), on a alors $\sigma_N(g)(0) \xrightarrow[N \to +\infty]{} g(0)=0$. Ainsi on a bien $\sigma_N(f) \xrightarrow[N \to +\infty]{}f$ dans $L^p(\T)$.
\end{sol}

\item \label{q: densite de Cinfty dans Lp} En déduire que l'espace des polynômes trigonométriques est dense dans $L^p(\T)$.

\begin{sol}

Toute fonction $f \in L^p(\T)$ est limite dans $L^p(\T)$ de la suite de polynômes trigonométriques $\parentheses{\sigma_N(f)}_{N \geq 0}$.

\end{sol}

\item \label{q: Riemann-Lebesgue} Soit $f \in L^1(\T)$, montrer que $\hat{f}(k) \xrightarrow[\norm{k} \to +\infty]{}0$. Ce résultat est le \emph{lemme de Riemann--Lebesgue}.

\begin{sol}

Pour tout $N \in \N$ et $k \in \Z$ on a:
\begin{equation*}
\norm*{\hat{\sigma_N(f)}(k) - \hat{f}(k)} = \norm*{\int_\T \parentheses*{\sigma_N(f)(t)-f(t)} \bar{e_k(t)}\dx t} \leq \Norm*{\sigma_N(f)-f}_1 \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0
\end{equation*}
d'après la question~\ref{q: thm Fejet Lp}. Soit $\epsilon >0$ et soit $N \in \N$ tel que $\Norm*{\sigma_N(f)-f}_1 \leq \epsilon$. Pour tout $k \in \Z$ tel que $\norm{k} > N$ on a $\hat{\sigma_N(f)}(k)=0$ donc
\begin{equation*}
\norm*{\hat{f}(k)} = \norm*{\hat{\sigma_N(f)}(k) - \hat{f}(k)} \leq \Norm*{\sigma_N(f)-f}_1 \leq \epsilon.
\end{equation*}
D'où le résultat.

\end{sol}

\item \label{q: injectivite} Montrer que l'application $L^1(\T) \to \C^\Z$ définie par $f \mapsto \parentheses*{\hat{f}(k)}_{k \in \Z}$ est injective.

\begin{sol}

Soient $f$ et $g \in L^1(\T)$. Si $f$ et $g$ ont les mêmes coefficients de Fourier, alors $\sigma_N(f) = \sigma_N(g)$ pour tout $N \in \N$. Le théorème de Féjer dans $L^1(\T)$ (voir question~\ref{q: thm Fejet Lp}) et l'unicité de la limite montrent alors que $f=g$ dans $L^1(\T)$.
\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exo}[Théorème de Jordan--Dirichlet]
\label{exo: Jordan-Dirichlet}

Soient $f \in L^1(\T)$ et $x \in \T$. On suppose que $f$ admet des limites à gauche et à droite en $x$, notée $f(x_-)$ et $f(x_+)$ respectivement. On suppose également qu'il existe $\alpha \in ]0,\frac{1}{2}[\,$ tel que:
\begin{align*}
&\int_0^\alpha \norm*{\frac{f(x+t) - f(x_+)}{t}} \dx t < +\infty & &\text{et} & &\int_0^\alpha \norm*{\frac{f(x-t) - f(x_-)}{t}} \dx t < +\infty.
\end{align*}
Le but de l'exercice est de montrer que $S_n(f)(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{f(x_-)+ f(x_+)}{2}$.

\begin{enumerate}
\item \label{q: expression Dirichlet} Montrer que pour tout $n \in \N$:
\begin{equation*}
S_n(f)(x) - \frac{f(x_-)+ f(x_+)}{2} = \int_0^\frac{1}{2} \frac{\sin((2n+1)\pi t)}{\sin(\pi t)}\parentheses*{\strut f(x+t) - f(x_+) + f(x-t) - f(x_-)} \dx t.
\end{equation*}

\begin{sol}

On utilise les résultats de l'exercice~\ref{exo: noyaux de Dirichlet et Fejer} sur le noyau de Dirichlet et son lien avec les sommes partielles des séries de Fourier. Soit $n \in \N$, on a:
\begin{align*}
S_n(f)(x) &= f \ast D_n(x) = D_n \ast f(x) = \int_\T D_n(t) f(x-t) \dx t = \int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} \frac{\sin((2n+1)\pi t)}{\sin(\pi t)} f(x-t) \dx t\\
&= \int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{\sin((2n+1)\pi t)}{\sin(\pi t)} f(x-t) \dx t + \int_0^\frac{1}{2} \frac{\sin((2n+1)\pi t)}{\sin(\pi t)} f(x-t) \dx t\\
&= \int_0^\frac{1}{2} \frac{\sin((2n+1)\pi t)}{\sin(\pi t)} \parentheses*{\strut f(x+t)+f(x-t)} \dx t.
\end{align*}
D'après la question~\ref{q: expression Dirichlet} de l'exercice~\ref{exo: noyaux de Dirichlet et Fejer}, l'intégrale de $D_n$ sur une période vaut $1$. Comme de plus $D_n$ est une fonction paire, on en déduit que:
\begin{equation*}
\frac{f(x_-)+ f(x_+)}{2} = \parentheses{{f(x_-)+ f(x_+)}} \int_0^\frac{1}{2} D_n(t) \dx t = \int_0^\frac{1}{2} \frac{\sin((2n+1)\pi t)}{\sin(\pi t)} \parentheses*{\strut f(x_+)+f(x_-)} \dx t. 
\end{equation*}
On obtient le résultat souhaité en soustrayant cette seconde relation à la première.

\end{sol}

\item \label{q: conclusion Dirichlet} Conclure grâce au lemme de Riemann--Lebesgue (voir la question~\ref{q: Riemann-Lebesgue} de l'exercice~\ref{exo: thm de Fejer Lp}).

\begin{sol}

Soit $g: \T \to \C$ la fonction définie par $g(t) = \frac{1}{\sin(\pi t)}\parentheses*{\strut f(x+t) - f(x_+) + f(x-t) - f(x_-)}$ si $t \neq 0$ et $g(0)=0$. Montrons que $g \in L^1(\T)$. En utilisant l'imparité de $g$, on a:
\begin{align*}
\int_\T \norm{g(t)}\dx t &= \int_0^\frac{1}{2}\frac{2}{\sin(\pi t)}\norm*{\strut f(x+t) - f(x_+) + f(x-t) - f(x_-)} \dx t\\
&\begin{aligned}
\leq \int_0^\alpha \frac{2t}{\sin(\pi t)}&\parentheses*{\norm*{\frac{f(x+t) - f(x_+)}{t}} + \norm*{\frac{f(x-t) - f(x_-)}{t}}} \dx t\\
&+ \frac{2}{\sin(\pi \alpha)} \int_\alpha^\frac{1}{2} \norm{f(x+t)}+\norm{f(x-t)} + \norm{f(x_+)} + \norm{f(x_-)} \dx t
\end{aligned}\\
&\leq \int_0^\alpha \norm*{\frac{f(x+t) - f(x_+)}{t}} + \norm*{\frac{f(x-t) - f(x_-)}{t}} \dx t + \frac{2\Norm{f}_1 +\norm{f(x_+)} + \norm{f(x_-)}}{\sin(\pi \alpha)}\\
&< +\infty.
\end{align*}
En effet, pour tout $t \in ]0,\alpha[$ on a $0<2t \leq \sin(\pi t)$ par concavité de $\sin(\pi \cdot)$ sur $[0,\frac{1}{2}]$.

D'après le résultat de la question~\ref{q: expression Dirichlet}, en utilisant l'imparité de $g$, on obtient pour tout $n \in \N$:
\begin{align*}
S_n(f)(x) - \frac{f(x_-)+ f(x_+)}{2} &= \int_0^\frac{1}{2} g(t) \sin((2n+1)\pi t) \dx t= \frac{1}{2}\int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} g(t) \sin((2n+1)\pi t) \dx t\\
&= \frac{1}{4i}\int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} g(t)\parentheses*{e^{(2n+1)i\pi t}-e^{-(2n+1)i\pi t}}\dx t\\
&= \frac{1}{4i}\int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} g(t)\parentheses*{e^{i\pi t}\bar{e_{-n}(t)} - e^{-i\pi t}\bar{e_{n}(t)}} \dx t= \frac{\hat{g_+}(-n) - \hat{g_-}(n)}{4i},
\end{align*}
où $g_{\pm}:t \mapsto g(t) e^{\pm i\pi t}$. Comme $g \in L^1\parentheses*{\squarebrackets{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}}}$, c'est aussi le cas de $g_+$ et $g_-$. D'après le lemme de Riemann--Lebesgue, l'expression précédente tend donc vers $0$ lorsque $n \to +\infty$.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}

\end{document}