\documentclass[11pt]{article} % Packages gestion des caractères, du français et de la mise en page \usepackage[french]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet} % Packages maths \usepackage{mathtools} \usepackage{amsthm} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{stmaryrd} % Packages mise en page \usepackage{enumitem} \usepackage[margin=2.5cm]{geometry} \usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0},linktoc=all]{hyperref} \usepackage{pdfpages} \usepackage{tabularx} % Packages graphiques \usepackage{subfig} \usepackage{pgf,tikz} \usetikzlibrary{arrows} \usetikzlibrary{cd} \usetikzlibrary{graphs} \usepackage[figurename=Figure]{caption} % Nouveaux environnements \theoremstyle{plain} \newtheorem{thm}{Théorème}[section] \newtheorem{cor}[thm]{Corollaire} \newtheorem{lem}[thm]{Lemme} \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} \theoremstyle{definition} \newtheorem{dfn}[thm]{Définition} \newtheorem{ntn}[thm]{Notation} \newtheorem{exo}[thm]{Exercice} \theoremstyle{remark} \newtheorem*{hint}{Indication} \newtheorem{rem}[thm]{Remarque} \newtheorem{ex}[thm]{Exemple} \numberwithin{equation}{section} % Commandes et opérateurs utiles \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \renewcommand{\S}{\mathbb{S}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\hat}{\widehat} \newcommand{\dx}{\dmesure\!} \newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}} \newcommand{\one}{\mathbf{1}} \DeclareMathOperator{\card}{Card} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\Diff}{Diff} \DeclareMathOperator{\dmesure}{d} \DeclareMathOperator{\ev}{ev} \DeclareMathOperator{\Id}{Id} \DeclareMathOperator{\Iso}{Iso} \DeclareMathOperator{\Inv}{Inv} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\vect}{Vect} \DeclareMathOperator{\sym}{Sym} \DeclarePairedDelimiter{\ang}{\langle}{\rangle} \DeclarePairedDelimiter{\brackets}{\{}{\}} \DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil} \DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor} \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lvert}{\rvert} \DeclarePairedDelimiter{\Norm}{\lVert}{\rVert} \DeclarePairedDelimiter{\parentheses}{(}{)} \DeclarePairedDelimiterX{\prsc}[2]{\langle}{\rangle}{#1\,, #2} \DeclarePairedDelimiter{\squarebrackets}{[}{]} \DeclarePairedDelimiterX{\ssquarebrackets}[2]{\llbracket}{\rrbracket}{#1,#2} % Informations du document \author{Thomas Letendre} \date{Prépa Agreg -- Automne 2024} \title{Cours de Calcul Différentiel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \maketitle %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section*{Introduction} Le point de départ du calcul différentiel est de définir un analogue de la dérivée pour les fonctions de plusieurs variables: la différentielle. La différentielle de $f$ en $x$ est l'application linéaire continue $D_xf$ qui approxime le mieux $f$ au voisinage de $x$. On cherche alors à comprendre~$f$ en la comparant à l'application plus simple $D_xf$. On obtient de la sorte des informations qualitatives (théorème d'inversion locale) ou quantitatives (inégalité des accroissements finis). Le programme de l'agreg se limite au calcul différentiel pour les fonctions définies sur un ouvert de $\R^n$. On va considérer plus généralement des fonctions entre ouverts d'espaces de Banach, ce qui a quelques belles applications (régularité du flot, calcul des variations). Les références pour ce cours sont principalement \cite[chap.~II]{Lau2011} et~\cite[chap.~IX à XIV]{Sai2008}, avec quelques emprunts à~\cite{Rou2014}. Les livres~\cite[chap.~5]{Gou2008} et~\cite{Hau2007} peuvent aussi être des références utiles. \tableofcontents %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Préliminaire: relations de comparaisons} \label{sec: preliminaire relations de comparaisons} Soient $X$ un espace topologique, $Y \subset X$ et $a \in \bar{Y}$. Soient $f:Y \to F$ et $g:Y \to G$, où $\parentheses*{F,\Norm{\cdot}_F}$ et $\parentheses*{G,\Norm{\cdot}_G}$ sont deux espaces normés. \begin{dfn} \label{def: petit o} On dit que $f$ est \emph{négligeable} devant $g$ quand $x$ tend vers~$a$ s'il existe $V \in \cV(a)$ et $\epsilon:Y\cap V \to F$ tel que $f = \epsilon \Norm{g}_G$ sur $Y \cap V$ et $\epsilon(x) \xrightarrow[x \to a]{}0$. Dans ce cas, on note $f(x) \underset{x \to a}{=} o\parentheses*{\strut g(x)}$. \end{dfn} \begin{rem} \label{rem: petit o} \begin{itemize} \item Si $g$ ne s'annule pas, cette définition revient à demander que $\frac{\Norm{f(x)}_F}{\Norm{g(x)}_G}\xrightarrow[x \to a]{}0$. \item La relation de comparaison $f(x) \underset{x \to a}{=} o\parentheses*{\strut g(x)}$ est conservée si on remplace $\Norm{\cdot}_F$ et $\Norm{\cdot}_G$ par des normes équivalentes. En dimension finie elle ne dépend donc pas des normes utilisées. \item La notation $o$ fait des choses horribles à l'égalité qui n'est plus ni transitive ni symétrique. Dans $\R$, on a $x \underset{x \to 0}{=} o(1)$ et $x^2\underset{x \to 0}{=}o(1)$. Mais on serait gêné d'écrire $o(1) \underset{x \to 0}{=} x$ ou $x\underset{x \to 0}{=}x^2$. \end{itemize} \end{rem} \begin{lem} \label{lem: caracterisation o} On a $f(x)\underset{x\to a}{=}o\parentheses*{g(x)}$ si et seulement si pour tout $\epsilon>0$, il existe $V\in \cV(a)$, tel que $\forall x \in Y \cap V$, $\Norm{f(x)}_F \leq \epsilon \Norm{g(x)}_G$. \end{lem} \begin{proof} En exercice. \end{proof} \begin{dfn} \label{def: grand O} On dit que $f$ est \emph{dominée} par $g$ sur $Y$ (resp.~au voisinage de $a$) s'il existe $C \geq 0$ (resp.~$C \geq 0$ et $V \in \cV(a)$) tel que $\Norm{f(x)}_F \leq C \Norm{g(x)}_G$ pour tout $x \in Y$ (resp.~pour tout $x \in Y \cap V$). Dans ce cas, on note $f(x) = O\parentheses*{\strut g(x)}$ (resp.~$f(x) \underset{x \to a}{=} O\parentheses*{\strut g(x)}$). \end{dfn} \begin{dfn} \label{def: equivalent} Dans le cas $F=G$, on dit que $f$ et $g$ sont \emph{équivalentes} quand $x$ tend vers $a$, et on note $f(x) \underset{x \to a}{\sim} g(x)$, si $f(x)-g(x) \underset{x \to a}{=} o\parentheses{\strut g(x)}$ (ou de façon équivalente si $f(x)-g(x) \underset{x \to a}{=} o\parentheses{\strut f(x)}$). \end{dfn} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Applications différentiables} \label{sec: applications différentiables} Dans la suite, tous les espaces vectoriels considérés sont des Banach réels. On note $E$ et $F$ deux tels espaces, $U$ un ouvert de $E$, et $\cL(E,F)$ l'espace des applications linéaires continues de $E$ dans~$F$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Différentiabilité} \label{subsec: differentiabilite} \begin{dfn}[Différentiabilité] \label{def: differentiabilite} Soit $f:U \to F$ et $x \in U$, on dit que $f$ est \emph{différentiable} en $x$ s'il existe $L\in \cL(E,F)$ telle que $f(x+h)\underset{h \to 0}{=}f(x)+L(h)+o(h)$. \end{dfn} \begin{rem} \label{rem: differentiabilite} La différentiabilité de $f$ en $x$ dépend des normes à équivalence près via le $o(h)$. En dimension finie cette notion est uniquement définie. \end{rem} \begin{lem} \label{lem: diff implique C0} Si $f$ est différentiable en $x$ alors elle est continue en $x$. \end{lem} \begin{proof} On a $f(x+h) \underset{h \to 0}{=} f(x) + L(h) + o(h) \xrightarrow[h \to 0]{} f(x)$, car $L$ est linéaire et continue. \end{proof} \begin{lem}[Unicité de la différentielle] \label{lem: unicite differentielle} Si $f$ est différentiable en $x$, l'application $L$ est unique. \end{lem} \begin{proof} Soient $L,L' \in \cL(E,F)$ satisfaisant toutes les deux la déf.~\ref{def: differentiabilite}, quand $h \to 0$ on a: $L'(h)-L(h)=\parentheses*{f(x+h)-f(x)+o(h)}-\parentheses*{f(x+h)-f(x)+o(h)}=o(h)$. Soit $\epsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que $\forall h \in E$, $\Norm{h}\leq \delta \implies \Norm{L'(h)-L(h)}\leq \epsilon \Norm{h}$. Soient $y \in E \setminus \brackets{0}$ et $h = \frac{\delta}{\Norm{y}}y$, on a: \begin{equation*} \Norm*{(L'-L)(y)} = \frac{\Norm{y}}{\delta}\Norm*{L'(h)-L(h)} \leq \frac{\Norm{y}}{\delta}\epsilon \Norm{h} = \epsilon \Norm{y}. \end{equation*} C'est valable pour tout $y \neq 0$, donc $\Norm{L'-L}\leq \epsilon$ pour tout $\epsilon>0$. Donc $\Norm{L'-L}=0$ et $L=L'$. \end{proof} \begin{dfn}[Différentielle] \label{def: differentielle} \begin{itemize} \item Si $f$ est différentiable en $x$, l'application $L$ de la déf.~\ref{def: differentiabilite} est appelée la \emph{différentielle} de $f$ en $x$. On la note $D_xf \in \cL(E,F)$. \item On dit que $f$ est \emph{différentiable} sur $U$ si elle est différentiable en tout point de $U$. Dans ce cas, l'application $Df:x \mapsto D_xf$ de $U$ dans $\cL(E,F)$ est appelée la \emph{différentielle} de $f$. \item Si $Df:U\to\cL(E,F)$ est continue, on dit que $f$ est de classe~$\cC^1$ sur~$U$ et on note $f \in \cC^1(U,F)$. \end{itemize} \end{dfn} \begin{ex} \label{ex: differentiabilite} \begin{enumerate} \item \label{ex: diff lineaire} Soit $L \in \cL(E,F)$. Pour tout $x,h \in E$, on a $L(x+h)=L(x)+L(h)$, donc $L$ est différentiable en $x$ et $D_xL=L$. Donc $L \in \cC^1(E,F)$ car $DL:E \mapsto \cL(E,F)$ est constante. Par exemple, si $E=\R^n$, $F=\R$ et $L:(x_1,\dots,x_n)\mapsto x_i$. L'application $L$ est parfois notée abusivement $x_i$ et sa différentielle $dx_i$. Alors pour tout $x \in \R^n$, $d_xx_i:(h_1,\dots,h_n) \mapsto h_i$. \item \label{ex: diff bilineaire} Soit $B:E_1 \times E_2 \to F$ bilinéaire et continue, il existe $C \geq 0$ tel que $\forall (x_1,x_2) \in E_1 \times E_2$, $\Norm{B(x_1,x_2)}_F \leq C \Norm{x_1}_{E_1}\Norm{x_2}_{E_2}$. Pour tout $x=(x_1,x_2)$ et $h=(h_1,h_2) \in E_1 \times E_2$ on a \begin{equation*} B(x+h) = B(x_1+h_1,x_2+h_2) = \underbrace{B(x_1,x_2)}_{=B(x)} + \underbrace{B(h_1,x_2)+ B(x_1,h_2)}_{\text{linéaire continue en}\ h} + \underbrace{B(h_1,h_2)}_{=O\parentheses*{\Norm{h_1}_{E_1}\Norm{h_2}_{E_2}}=o\parentheses*{\Norm{h}_\infty}}. \end{equation*} Donc $B$ est différentiable en $x$ et $D_xB:h \mapsto B(h_1,x_2)+B(x_1,h_2)$. D'où $B \in \cC^1(E_1\times E_2,F)$. Par exemple, si $E_1=E_2=F=\R$, et $B:(x,y)\mapsto xy$ alors $D_{(x,y)}B:(u,v) \mapsto uy+vx$. \item \label{ex: diff inv} Soient $E$ un Banach et $\Inv:L \mapsto L^{-1}$ définit sur l'ouvert $GL(E) \subset \cL(E)$. Pour tout $H \in \cL(E)$ tel que $\Norm{H}< \frac{1}{2}$, on a $\Norm{\sum_{k \geq 0} (-H)^k}\leq \sum_{k \geq 0}\Norm{H}^k < 2$. D'après le lemme de Neumann, \begin{equation*} (\Id+H)^{-1} = \Id - H + H^2 \sum_{k \geq 0} (-H)^k \underset{H \to 0}{=} \Id - H + O(H^2) \underset{H \to 0}{=}\Id-H+o(H). \end{equation*} Soit $L \in GL(E)$, les applications $H \mapsto L^{-1}H$ et $H \mapsto L^{-1}HL^{-1}$ sont linéaires continues de $\cL(E)$ dans $\cL(E)$. En particulier, $L^{-1}H = O(H)$ et $L^{-1}HL^{-1}=O(H)$. Lorsque $H \to 0$, on a: \begin{align*} \Inv(L+H)&=(L+H)^{-1}= (\Id+L^{-1}H)^{-1}L^{-1} = \parentheses*{\Id - L^{-1}H +o\parentheses*{L^{-1}H}}L^{-1}\\ &= \underbrace{L^{-1}}_{=\Inv(L)} - \underbrace{L^{-1}HL^{-1}}_{\text{linéaire continue en} \ H} + \underbrace{o(L^{-1}HL^{-1})}_{=o(H)}. \end{align*} Donc $\Inv$ est différentiable et, pour tout $L \in GL(E)$, $D_L\Inv:H \mapsto - L^{-1}HL^{-1}$. \end{enumerate} \end{ex} \begin{lem}[Différentielle et dérivée] \label{lem: diff et derivee} Si $E=\R$ alors $f:U \to F$ est différentiable en $x \in U$ si et seulement si elle est dérivable en $x$. Si c'est le cas, on a $D_xf:h \mapsto f'(x)h$ et $f'(x) = D_xf(1)$. \end{lem} \begin{proof} En exercice, voir~\cite[sect.~X.2]{Sai2008}. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Opérations sur les applications différentiables} \label{subsec: operations sur les applications differentiables} Dans cette section on s'intéresse aux opérations préservant la classe des fonctions différentiables. Cela permet de prouver la différentiabilité de fontions construites à partir de fonctions élémentaires. Un résultat important est la règle de la chaine (prop.~\ref{prop: chain rule}). \begin{lem}[Linéarité] \label{lem: stabilite diff CL} L'ensemble $\Diff_x(U,F)$ (resp.~$\Diff(U,F)$, resp.~$\cC^1(U,F)$) des fonctions différentiables en $x \in U$ (resp.~sur $U$, resp.~$\cC^1$) est un espace vectoriel et $D_x:\Diff_x(U,F) \to \cL(E,F)$ (resp.~$D:\Diff(U,F)\to \cL(E,F)^U$, resp.~$D:\cC^1(U,F) \to \cC^0\parentheses*{U,\cL(E,F)}$) est linéaire. \end{lem} \begin{proof} En exercice, voir~\cite[sect.~X.3]{Sai2008}. \end{proof} \begin{lem} Supposons $F = F_1\times \dots \times F_p$ muni de la norme $\Norm{\cdot}_\infty$ définie par: $\forall y=(y_1,\dots,y_p) \in F$, $\Norm{y}_\infty = \max_{1 \leq i \leq p}\Norm{y_i}_{F_i}$. Soit $f=(f_1,\dots,f_p)$ de $U$ dans $F$, on a $f \in \Diff_x(U,F)$ si et seulement si $\forall i \in \ssquarebrackets{1}{p}$, $f_i \in \Diff_x(U,F_i)$. De plus, si c'est le cas, $D_xf:h \mapsto \parentheses*{D_xf_1(h), \dots,D_xf_p(h)}$. \end{lem} \begin{proof} En exercice. \end{proof} \begin{prop}[Règle de la chaine] \label{prop: chain rule} Soient $E,F$ et $G$ des Banachs et $U \subset E$ et $