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	\newtheorem*{dfn}{Définition}
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	\newtheorem*{ntns}{Notations}

\theoremstyle{remark}
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	\newtheorem*{exs}{Exemples}
		

% Commandes et opérateurs utiles

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% Gestion de l'affichage des solutions avec le package comment

% Nouveaux compteurs pour avoir une numérotation des équations indépendante dans les solutions

\newcounter{aux}
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% Définition d'un environnement sol qui peut être commenté à loisir ci-dessous
% La numération des équations est indépendantes et en chiffres romains dans les solutions

\specialcomment{sol}{
	\setcounter{aux}{\value{equation}}
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%\excludecomment{sol}

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% Informations du document

\author{Blanche Buet et Thomas Letendre}
\date{2023 -- 2024}
\title{Feuille 7 -- Transformée de Fourier et convolution}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Mise en page de l'en-tête

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Xr@{}}
Université Paris-Saclay & Master Mathématiques et Applications \\
\@date & Distributions et Analyse de Fourier
\end{tabularx}

\vspace{1ex}

Chargés de TD: \@author .

\vspace{2ex}

\hrule

\begin{center}
\begin{Large}
\@title
\end{Large}
\end{center}

\hrule

\vspace{2ex}

\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Début du corps du texte

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{dfn}
\label{def: croissance lente}

Soit $f \in \cC^\infty(\R^d)$, on dit que la fonction $f$ est \emph{à croissance lente} si pour tout $\alpha \in \N^d$ il existe $C \geq 0$ et $k \in \N$ tels que $\norm*{\partial^\alpha f(x)} \leq C \ang{x}^k$ pour tout $x \in \R^d$, où on a noté $\ang{x}= \parentheses*{1+\Norm{x}^2}^\frac{1}{2}$. On note $\cOM(\R^d)$ le sous-espace de $\cC^\infty(\R^d)$ formé par les fonctions à croissance lente.

\end{dfn}

\begin{exo}[Transformée de Fourier des distributions à support compact]
\label{exo: TF de E'}

Soit $S \in \cE'(\R^d)$, on rappelle que $\hat{S}$ est continue et qu'il existe $k \in \N$ et $C \geq 0$ tels que, pour tout $\xi \in \R^d$, $\norm{\hat{S}(\xi)} \leq C \ang{\xi}^k$.

\begin{enumerate}

\item Montrer qu'en fait $\hat{S} \in \cOM(\R^d)$.

\begin{sol}

En fait, le cours énonce qu'il existe $C \geq 0$ et $k \in \N$ tel que $\norm{\hat{S}} \leq C \parentheses{1+\Norm{\cdot}}^k$. Mais $\xi \mapsto \frac{\ang{\xi}}{1+\Norm{\xi}}$ est une fonction continue strictement positive sur $\R^d$ qui tend vers $1$ lorsque $\Norm{\xi} \to +\infty$. En particulier cette fonction est bornée entre deux constantes strictement positives, et la formulation du cours est donc équivalente à la formulation ci-dessus.

Soit $\alpha \in \N^d$, au sens des distributions on a $\partial^\alpha \hat{S} = \cF\parentheses*{(-iX)^\alpha S}$, par exemple par l'exercice~4 de la feuille~6. Comme $S$ est à support compact, il en est de même de $S_\alpha = (-iX)^\alpha S$. Donc $\partial^\alpha\hat{S} = \hat{S_\alpha}$, et il existe $C_\alpha \geq 0$ et $k_\alpha \in \N$ tels que $\norm{\hat{S_\alpha}} \leq C_\alpha \ang{X}^{k_\alpha}$.

Donc $\hat{S}$ admet des dérivées partielles continues à tout ordre, au sens des distributions donc au sens usuel. Donc $\hat{S}$ est $\cC^\infty$, et les majorations précédentes montrent que $\hat{S} \in \cOM(\R^d)$.

\end{sol}

\item (\emph{facultatif}) On note $e:(\xi,x) \mapsto e^{-i x \cdot \xi}$ et $\partial^\alpha_\xi e$ la dérivée partielle de $e$ d'ordre $\alpha$ rapport à la variable $\xi$. Montrer que pour tout $\alpha \in \N^d$, $\partial^\alpha \hat{S} : \xi \mapsto \prsc*{S}{\parentheses{\partial^\alpha_\xi e}\parentheses{\xi,\cdot}}$.

\begin{sol}

Il a été vu en cours que pour tout $\xi \in \R^d$, $\hat{S}(\xi) = \prsc*{S}{e_{-\xi}} = \prsc{S}{e(\xi,\cdot)}$, ce qui règle le cas $\alpha = 0$. Soit $\alpha \in \N^d$, en appliquant le résultat précédent à $S_\alpha$, on obtient pour tout $\xi \in \R^d$:
\begin{equation*}
\partial^\alpha \hat{S}(\xi) = \hat{S_\alpha}(\xi) = \prsc*{S_\alpha}{e(\xi,\cdot)} = \prsc*{(-iX)^\alpha S}{e(\xi,\cdot)} = \prsc*{S}{(-iX)^\alpha e(\xi,\cdot)} = \prsc*{S}{\parentheses*{\partial^\alpha_\xi e}(\xi,\cdot)}.
\end{equation*}

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Produit de $\cS'$ par $\cOM$]
\label{exo: produit S' OM}

On sait par le cours que $\cS(\R^d)$ et $\cS'(\R^d)$ sont stables par multiplication par un polynôme. On va voir qu'en fait ils sont stables par multiplication par un élément de $\cOM(\R^d)$.

\begin{enumerate}

\item \label{q: stabilite de S par mult} Soient $\rho \in \cOM(\R^d)$ et $p \in \N$, montrer qu'il existe $C \geq 0$ et $q \geq p$ tels que $N_p(\rho \varphi) \leq C N_q(\varphi)$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$.

\begin{sol}

Soient $\alpha$ et $\beta \in \N^d$ de longueurs inférieures à $p$. Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, pour tout $x \in \R^d$,
\begin{equation*}
x^\alpha \partial^\alpha(\rho \varphi)(x) = \sum_{\gamma \leq \beta} \binom{\beta}{\gamma} x^\alpha \partial^\gamma \rho(x) \partial^{\beta-\gamma}\varphi(x).
\end{equation*}
Soit $\gamma \in \N^d$ tel que $\norm{\gamma} \leq p$. Comme $\rho \in \cOM(\R^d)$ il existe $C_\gamma \geq 0$ et $k_\gamma \in \N$ tels qu'on ait $\norm{\partial^\gamma\rho} \leq C_\gamma \ang{X}^{k_\gamma} \leq C_\gamma \parentheses*{1+\Norm{X}^2}^{k_\gamma}$. Par ailleurs, on a déjà vu dans l'exercice~2 de la feuille~6 qu'il existe $A_\gamma \geq 0$ tel que $\Norm{\parentheses*{1+\Norm{X}^2}^{k_{\gamma}}\psi}_\infty \leq A_\gamma N_{2k_\gamma}(\psi)$ pour tout $\psi \in \cS'(\R^d)$. Mais alors, si $\gamma \leq \beta$,
\begin{align*}
\norm*{x^\alpha \partial^\gamma \rho(x) \partial^{\beta-\gamma}\varphi(x)} &\leq C_\gamma \parentheses*{1+\Norm{x}^2}^{k_\gamma}\norm*{x^\alpha \partial^{\beta-\gamma} \varphi(x)} \leq C_\gamma \Norm{\parentheses*{1+\Norm{X}^2}^{k_\gamma}X^\alpha \partial^{\beta-\gamma} \varphi}_\infty \\
&\leq C_\gamma A_\gamma N_{2k_\gamma}\parentheses*{X^\alpha \partial^{\beta-\gamma} \varphi}\leq B_{\alpha,\beta,\gamma}N_{2k_\gamma+p}(\varphi),
\end{align*}
où la dernière inégalité a été vue en cours dans la preuve de la stabilité par $\psi \mapsto X^\alpha \partial^{\beta-\gamma}\psi$ de $\cS(\R^d)$.
En notant $q= \max \brackets*{p+2k_\gamma \mvert \norm{\gamma} \leq p}$ et $B= \max \brackets*{B_{\alpha,\beta,\gamma} \mvert \norm{\alpha} \leq p, \norm{\beta} \leq p, \gamma \leq \beta}$ on obtient $\Norm*{X^\alpha \partial^\gamma \rho \partial^{\beta-\gamma}\varphi}_\infty \leq B_{\alpha,\beta,\gamma}N_{2k_\gamma+p}(\varphi)\leq B N_q(\varphi)$. Et donc
\begin{equation*}
\Norm*{X^\alpha \partial^\alpha(\rho \varphi)}_\infty \leq \sum_{\gamma \leq \beta} \binom{\beta}{\gamma} \Norm*{X^\alpha \partial^\gamma \rho \partial^{\beta-\gamma}\varphi}_\infty \leq BN_q(\varphi) \sum_{\gamma \leq \beta} \binom{\beta}{\gamma} = C N_q(\varphi),
\end{equation*}
où $C \geq 0$ et $q \in \N$ dépendent de $\rho$ et $p$ mais pas de $\varphi$.

\end{sol}

\item \label{q: stabilite de S' par mult} Soient $T \in \cS'(\R^d)$ et $\rho \in \cOM(\R^d)$, montrer que la forme linéaire sur $\cS(\R^d)$ définie par $\varphi \mapsto \prsc{T}{\rho \varphi}$ est une distribution tempérée. On la notera $\rho T \in \cS'(\R^d)$.

\begin{sol}

Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, pour tout $p \in \N$ il existe $q \in \N$ et $C \geq 0$ tels que $N_p(\rho \varphi) \leq C N_q(\varphi) <+\infty$, d'après la question~\ref{q: stabilite de S par mult}. Donc $\rho \varphi \in \cS(\R^d)$. Notons $M_\rho:\varphi \mapsto \rho \varphi$ de $\cS(\R^d)$ dans lui-même. Cette application est linéaire, et elle est continue par la question~\ref{q: stabilite de S par mult}. Donc $T \circ M_\rho : \varphi \mapsto \prsc{T}{\rho \varphi}$ est linéaire continue de $\cS(\R^d)$ vers $\C$.

À la main, il existe $p \in \N$ et $A \geq 0$ tels que $\norm{\prsc{T}{\psi}} \leq A N_p(\psi)$ pour tout $\psi \in \cS(\R^d)$. Donc pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on obtient
\begin{equation*}
\norm{\prsc{T}{\rho \varphi}} \leq A N_p(\rho \varphi) \leq AC N_q(\varphi),
\end{equation*}
où $C \geq 0$ et $q \in \N$ sont donnés par la question~\ref{q: stabilite de S par mult}. Ainsi $T \circ M_\rho:\varphi \mapsto \prsc{T}{\rho \varphi}$ définit bien une distribution tempérée.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Convolution $\cD'\ast \cE'$ --- \emph{facultatif}]
\label{exo: convolution D' E'}

Soient $T \in \cD'(\R^d)$ et $\varphi \in \cD(\R^d)$, on rappelle que $T \ast \varphi: x \mapsto \prsc{\tau_x \check{T}}{\varphi} = \prsc{T}{\varphi(x-\cdot)}$ est $\cC^\infty$ de $\R^d$ dans $\C$, et même $T \ast \varphi \in \cD(\R^d)$ si $T \in \cE'(\R^d)$. On rappelle également que si $T \in \cD'(\R^d)$ et $S \in \cE'(\R^d)$ alors $T \ast S$ est la distribution $\varphi \mapsto \prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$.

\begin{enumerate}

\item Montrer que la convolution est bilinéaire sur $\cD'(\R^d)\times \cD(\R^d)$ puis sur $\cD'(\R^d) \times \cE'(\R^d)$.

\begin{sol}

Soient $\varphi_1, \varphi_2 \in \cD(\R^d)$, $T_1, T_2 \in \cD'(\R^d)$, $\lambda$ et $\mu \in \C$. Par bilinéarité du crochet on a,
\begin{align*}
\parentheses{T_1 + \lambda T_2} &\ast \parentheses{\varphi_1 + \mu \varphi_2}(x)=\prsc*{T_1 + \lambda T_2}{\parentheses*{\varphi_1 + \mu \varphi_2}(x- \cdot)}\\
&= \prsc{T_1}{\varphi_1(x-\cdot)} + \lambda\prsc{T_2}{\varphi_1(x-\cdot)}+\mu \prsc{T_1}{\varphi_2(x-\cdot)}+ \lambda \mu \prsc{T_2}{\varphi_2(x-\cdot)}\\
&= T_1 \ast \varphi_1(x) +\lambda T_2 \ast \varphi_1(x) + \mu T_1 \ast \varphi_2(x) + \lambda \mu T_2 \ast \varphi_2(x)
\end{align*}
pour tout $x \in \R^d$. Donc la convolution est bilinéaire de $\cD'(\R^d)\times \cD(\R^d)$ vers $\cC^\infty(\R^d)$. Par restriction, elle l'est aussi de $\cE'(\R^d)\times \cD(\R^d)$ vers $\cD(\R^d)$.

Soient maintenant $T_1,T_2 \in \cD'(\R^d)$, $S_1,S_2 \in \cE'(\R^d)$, $\lambda$ et $\mu \in \C$. Pour tout $\varphi \in \cD(\R^d)$, on a $\check{\parentheses*{S_1 + \mu S_2}}\ast \varphi = \check{S_1}\ast \varphi + \mu \check{S_2} \ast \varphi$ par le cas précédent. Par bilinéarité du crochet de nouveau,
\begin{align*}
\prsc*{\parentheses*{T_1 + \lambda T_2} \ast \parentheses*{S_1 + \mu S_2}}{\varphi} &= \prsc*{T_1 + \lambda T_2}{\check{\parentheses*{S_1 + \mu S_2}}\ast \varphi}= \prsc*{T_1 + \lambda T_2}{\check{S_1}\ast \varphi + \mu \check{S_2} \ast \varphi}\\
&= \prsc{T_1}{\check{S_1}\ast \varphi} + \lambda \prsc{T_2}{\check{S_1}\ast \varphi} + \mu \prsc{T_1}{\check{S_2}\ast \varphi} + \lambda \mu \prsc{T_2}{\check{S_2}\ast \varphi}\\
&= \prsc{T_1\ast S_1+ \lambda T_2 \ast S_1 + \mu T_1 \ast S_2+ \lambda \mu T_2 \ast S_2}{\varphi}.
\end{align*}
Donc la convolution est bilinéaire de $\cD'(\R^d) \times \cE'(\R^d)$ vers $\cD'(\R^d)$.

\end{sol}

\item \label{q: convolution et translation D' D} Soient $T \in \cD'(\R^d)$, $\varphi \in \cD(\R^d)$ et $a \in \R^d$, montrer que $\tau_aT \ast \varphi = \tau_a\parentheses*{T \ast \varphi} = T \ast \tau_a \varphi$.

\begin{sol}

Pour tout $x \in \R^d$,
\begin{align*}
\tau_a T \ast \varphi(x) &= \prsc{\tau_aT}{\varphi(x-\cdot)} = \prsc{T}{\tau_{-a}\parentheses*{\varphi(x-\cdot)}}\\
&= \prsc{T}{\varphi(x-a-\cdot)} = T \ast \varphi (x-a) = \tau_a\parentheses*{T \ast \varphi}(x) \\
&= \prsc{T}{\varphi(x-\cdot-a)} = \prsc{T}{\parentheses*{\tau_a\varphi}(x-\cdot)} = T \ast \tau_a\varphi(x).
\end{align*}
D'où le résultat.

\end{sol}

\item \label{q: convolution et translation D'E'} Soient $T \in \cD'(\R^d)$, $S \in \cE'(\R^d)$ et $a \in \R^d$, montrer que $\tau_a\parentheses*{T \ast S} = \tau_aT \ast S = T \ast \tau_aS$.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cD(\R^d)$, en utilisant la question~\ref{q: convolution et translation D' D} on a
\begin{align*}
\prsc{\tau_a\parentheses*{T \ast S}}{\varphi} &= \prsc{T \ast S}{\tau_{-a}\varphi} = \prsc{T}{\check{S}\ast \tau_{-a}\varphi}\\
&= \prsc{T}{\tau_{-a}\parentheses*{\check{S}\ast \varphi}} = \prsc{\tau_aT}{\check{S}\ast \varphi} =\prsc{\tau_a T \ast S}{\varphi}\\
&= \prsc{T}{\parentheses*{\tau_{-a}\check{S}}\ast \varphi} = \prsc{T}{\check{\parentheses*{\tau_aS}}\ast \varphi} = \prsc{T \ast \tau_aS}{\varphi},
\end{align*}
où on a utilisé la relation $\tau_{-a}\check{S}=\check{\parentheses*{\tau_aS}}$. Le résultat est donc établi sous réserve que l'on prouve cette relation. Or, pour tout $\psi \in \cD(\R^d)$,
\begin{align*}
\prsc{\tau_{-a}\check{S}}{\psi} &= \prsc{\check{S}}{\tau_a \psi} = \prsc{S}{\check{\tau_a \psi}} = \prsc{S}{\check{\psi(\cdot-a)}} = \prsc{S}{\psi(-\cdot-a)} = \prsc{S}{\check{\psi}(\cdot+a)}\\
&= \prsc{S}{\tau_{-a}\check{\psi}}= \prsc{\tau_a S}{\check{\psi}} = \prsc{\check{\parentheses*{\tau_aS}}}{\varphi},
\end{align*}
ce qui prouve la relation souhaitée.

\end{sol}

\item En déduire une expression simple de la distribution $T \ast \parentheses*{\partial^\alpha \delta_a}$ où $\alpha \in \N^d$, $a \in \R^d$ et $T \in \cD'(\R^d)$.

\begin{sol}

Remarquons déjà que $\partial^\alpha \delta_a = \tau_a\parentheses*{\partial^\alpha \delta_0} = \partial^\alpha \parentheses{\tau_a \delta_0}$. En utilisant la question~\ref{q: convolution et translation D'E'} on obtient
\begin{equation*}
T \ast \partial^\alpha \delta_a = T \ast \partial^\alpha\parentheses{\tau_a \delta_0} = \partial^\alpha T \ast \tau_a \delta_0 = \tau_a\parentheses*{ \partial^\alpha T} \ast \delta_0 = \tau_a\parentheses*{ \partial^\alpha T} = \partial^\alpha\parentheses*{\tau_a T}.
\end{equation*}

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Convolution de fonctions au sens des distributions]
\label{exo: convolution fonctions vs distributions}

Soient $p,q$ et $r \in [1,+\infty]$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 +\frac{1}{r}$. Soient $f \in L^p(\R^d)$ et $g \in L^q(\R^d)$, de sorte que $f \ast g \in L^r(\R^d)$. On suppose que $g$ est nulle presque partout hors d'un compact $K \subset \R^d$. Montrer que $T_f \ast T_g = T_{f \ast g}$.

\begin{sol}

Comme $g_{\vert \R^d \setminus K}=0$ presque partout, on a $\supp(T_g) \subset K$ et donc $T_g \in \cE'(\R^d)$. Soit $\varphi \in \cD(\R^d)$, pour tout $y \in \R^d$ on a
\begin{equation*}
\check{T_g} \ast \varphi(y) = \prsc{\tau_yT_g}{\varphi} = \prsc{T_g}{\tau_{-y}\varphi} = \int_{\R^d} g(z) \varphi(z+y) \dx z = \int_{\R^d} g(x-y) \varphi(x) \dx x.
\end{equation*}
Donc, en raisonnant formellement dans un premier temps:
\begin{align*}
\prsc{T_f \ast T_g}{\varphi} &= \prsc{T_f}{\check{T_g} \ast \varphi} = \int_{\R^d} f(y) \parentheses*{\int_{\R^d} g(x-y) \varphi(x) \dx x} \dx y\\
&= \int_{\R^d} \varphi(x) \parentheses*{\int_{\R^d} f(y)g(x-y)\dx y} \dx x = \int_{\R^d} \parentheses{f \ast g}(x) \varphi(x) \dx x = \prsc{T_{f \ast g}}{\varphi}.
\end{align*}

Pour conclure, il suffit de justifier l'échange des intégrales. On va pour cela prouver que la fonction $(x,y) \mapsto \varphi(x)f(y)g(x-y)$ est intégrable sur $\R^d \times \R^d$, ce qui permettra d'appliquer le théorème de Fubini.

Par Fubini--Tonnelli, on a:
\begin{align*}
\int_{\R^d \times \R^d} \norm*{\varphi(x)} \norm{f(y)} \norm{g(x-y)} \dx x \dx y &= \int_{\R^d} \norm{\varphi(x)} \parentheses*{\int_{\R^d} \norm{f(y)}\norm{g(x-y)}\dx y} \dx x\\
&= \int_{\supp(\varphi)} \norm{\varphi(x)} \parentheses*{\norm{f}\ast \norm{g}}(x) \dx x\\
&\leq \Norm{\varphi}_\infty \int_{\supp(\varphi)} \parentheses*{\norm{f}\ast \norm{g}}(x) \dx x.
\end{align*}
Comme $f \in L^p(\R^d)$ et $g \in L^q(\R^d)$, on a $\norm{f} \ast \norm{g} \in L^r(\R^d) \subset L^1_\text{loc}(\R^d)$. Le support de $\varphi$ étant compact le dernier terme est fini, ce qui prouve l'intégrabilité souhaitée.

\end{sol}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Distributions harmoniques]
\label{exo: distributions harmoniques}

On sait par le cours que $\Delta$ admet une solution fondamentale (en particulier une paramétrix) $E \in \cD'(\R^d)$ telle que $\supp(E)=\R^d$ et $\suppsing(E)=\brackets{0}$. Cela implique pour tout $T \in \cD'(\R^d)$ que $\suppsing(T) = \suppsing(\Delta T)$, en particulier les distributions harmoniques sont lisses. On va donner une démonstration plus élémenaire de ce dernier point.

\begin{enumerate}

\item \label{q: harmonique parametrix} Montrer que $\Delta$ admet une paramétrix $\Pi \in \cE'(\R^d)$.

\begin{sol}

On a $E \in \cD'(\R^d)$ telle que $\Delta E= \delta_0$. Soit $\chi \in \cD(\R^d)$ une fonction plateau constante à $1$ sur la boule $B$ de centre $0$ et de rayon $1$. On pose $\Pi = \chi E \in \cE'(\R^d)$. On a alors
\begin{equation*}
\delta_0 = \Delta E = \Delta \parentheses{\chi E +(1-\chi)E} = \Delta \Pi + \underbrace{\Delta \parentheses*{(1-\chi) E}}_{:=w}
\end{equation*}
Comme $\chi \equiv 1$ sur $B$, on a $\parentheses*{(1-\chi)E}_{\vert B} = 0 \in \cC^\infty (B)$. Par ailleurs $\parentheses*{(1-\chi)E}_{\vert \R^d \setminus \brackets{0}}$ est $\cC^\infty$ car $E$ est lisse hors de $0$. Donc au final $(1-\chi)E \in \cC^\infty(\R^d)$ et $w \in \cC^\infty(\R^d)$.

\end{sol}

\item \label{q: harmonique lisse} En déduire que si $T \in \cD'(\R^d)$ est harmonique alors $T$ est une fonction $\cC^\infty$ sur $\R^d$.

\begin{sol}

On a $\Pi \in \cE'(\R^d)$ et $w \in \cC^\infty(\R^d)$ tels que $\Delta \Pi = \delta_0 + w$. Soit $R >0$ tel que $\supp(\Pi) \subset \bar{B(0,R)}$, alors $w = \delta_0 - \Delta \Pi$ est nulle hors de $\bar{B(0,R)}$ et donc $w \in \cD(\R^d)$. Pour tout $T \in \cD'(\R^d)$ on a donc
\begin{equation*}
T = T \ast \delta_0 = T \ast (\Delta \Pi - w)  = \underbrace{T \ast \Delta \Pi}_{\cD' \ast \cE'} - \underbrace{T \ast w}_{\cD'\ast \cD} = \Delta T \ast \Pi - T \ast w
\end{equation*}
Si $\Delta T=0$ alors $T = -T \ast w \in \cC^\infty(\R^d)$.

\end{sol}

\item \label{q: harmonique temperee} Si $T \in \cS'(\R^d)$ est harmonique, montrer que $T$ est un polynôme.

\begin{sol}

C'est un cas particulier d'un résultat du cours. Notons $P = \sum_{i=1}^d X_i^2$, de sorte que $\Delta = P(\partial)$. Alors $-\Norm{\cdot}^2$ est le symbole de $\Delta$, qui ne s'annule pas hors de $0$. Les solutions de $\Delta T=0$ dans $\cS'(\R^d)$ sont donc polynômiales.

À la main, soit $T \in \cS'(\R^d)$ harmonique. On passe en Fourier dans l'équation $\Delta T = 0$ ce qui nous donne: $0 = \hat{\Delta T} = \hat{P(\partial)T} = P(i\xi)\hat{T} = -\Norm{\xi}^2\hat{T}$. Donc $\hat{T}_{\vert \R^d \setminus \brackets{0}}=0$ et $\hat{T}$ est supportée en~$0$. Il existe donc $m \in \N$ et une famille $\parentheses{a_\alpha}_{\norm{\alpha} \leq m}$ de complexes, indexée par les multi-indices $\alpha \in \N^d$ de longueur au plus $m$, telle que $\hat{T} = \sum_{\norm{\alpha} \leq m} a_\alpha \partial^\alpha \delta_0$. On applique la transformation de Fourier de part et d'autre. En utilisant la formule d'inversion on obtient:
\begin{equation*}
\parentheses{2\pi}^d \check{T} =  \sum_{\norm{\alpha} \leq m} a_\alpha \hat{\partial^\alpha \delta_0} = \sum_{\norm{\alpha} \leq m} a_\alpha (i x)^\alpha \hat{\delta_0} = \sum_{\norm{\alpha} \leq m} a_\alpha (i x)^\alpha.
\end{equation*}
Finalement $T = \parentheses{\frac{1}{2\pi}}^d \sum_{\norm{\alpha} \leq m} (-i)^{\norm{\alpha}}a_\alpha X^\alpha$.

\begin{rem}
Attention, les polynômes sont tous dans $\cS'(\R^d)$ et leurs transformées de Fourier sont supportées en $0$, mais ils ne sont pas tous harmoniques. Par exemple $\Delta(\sum_{i=1}^d X_i^2) = 2d$.
\end{rem}

\end{sol}

\item \label{q: harmonique borne} Si $T \in \cD'(\R^d)$ est harmonique et bornée, montrer que $T$ est constante.

\begin{sol}

On a vu dans la question~\ref{q: harmonique lisse} que si $\Delta T=0$ alors $T\in \cC^\infty(\R^d)$. Cela a alors du sens de dire que $T$ est bornée. Si c'est le cas $T \in \cS'(\R^d)$, et par la question~\ref{q: harmonique temperee} on a $T\in \C[X_1,\cdots,X_d]$.

Ainsi $T$ est un polynôle borné donc constant. Précisons un peu, en raisonnant par l'absurde. Si $T$ n'était pas constant, il existerait une droite vectorielle, disons $\R u$ avec $u \in \S^{d-1}$, sur laquelle il n'est pas constant. La fonction $P:t \mapsto T(tu)$ serait alors une fonction polynomiale d'une variable non constante. On aurait donc $\norm{T(tu)}=\norm{P(t)}\xrightarrow[t \to +\infty]{}+\infty$, ce qui contredirait le fait que $T$ est borné.
\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Fonctions propres du laplacien]
\label{exo: fonctions propres du laplacien}

Dans cet exercice, on s'intéresse aux solutions de l'équation $\Delta T + \lambda T=0$, où $\lambda \in \C$ et $T \in \cS'(\R^d)$ est l'inconnue.

\begin{enumerate}

\item Soient $\lambda \in \C$ et $T \in \cS'(\R^d)$ telle que $\Delta T + \lambda T=0$, montrer que $T \in \cC^\infty(\R^d)$.

\begin{sol}

Notons $P = \lambda+\sum_{i=1}^d X_i^2$ de sorte que $\Delta +\lambda\Id = P(\partial)$. Comme $T \in \cS'(\R^d)$ on peut passer en Fourier dans l'égalité $P(\partial)T=(\Delta +\lambda\Id)T=0$. On obtient $0=P(i\xi)\hat{T} = (\lambda-\Norm{\xi}^2)\hat{T}$, et donc $\supp(\hat{T}) \subset \brackets{\xi \in \R^d \mid \Norm{\xi}^2=\lambda}$. Le support de $\hat{T}$ est donc inclus dans la sphère de rayon~$\sqrt{\lambda}$ si $\lambda \in \R_+$ et $\emptyset$ sinon. Donc $\hat{T} \in \cE'(\R^d)$. Par la formule d'inversion de Fourier, $(2\pi)^d \check{T} = \cF\parentheses{\hat{T}}$. D'après l'exercice~\ref{exo: TF de E'}, cette fonction est lisse, et donc $T \in \cC^\infty(\R^d)$.

On peut aussi sortir l'artillerie lourde. Le symbole principal de $P(\partial)$ est $-\Norm{\cdot}^2$ donc $P(\partial)$ est elliptique. D'après le cours il admet une paramétrix $\Pi \in \cS'(\R^d)$ telle que $\suppsing(\Pi)= \brackets{0}$. Alors $\suppsing(T) = \suppsing(P(\partial)T) = \emptyset$ et donc $T$ est lisse.

\end{sol}

\item Pour quels $\lambda \in \C$ existe-t-il $T \in \cS'(\R^d)$ non nulle telle que $\Delta T + \lambda T=0$.

\begin{sol}

On vient de voir que si $\Delta T + \lambda T=0$ alors $\hat{T}$ est telle que $\supp(\hat{T}) \subset \brackets*{\xi \in \R^d \mvert \Norm{\xi}^2 = \lambda}$.

Si $\lambda \notin \R_+$ on a $\supp(\hat{T})=\emptyset$, donc $\hat{T}=0$, et donc $T=0$. Cela revient à reprouver dans un cas particulier le résultat du cours affirmant que si le symbole $\xi \mapsto
P(i\xi)=\lambda - \Norm{\xi}^2$ ne s'annule pas sur $\R^d$ alors $P(\partial):\cS'(\R^d) \to \cS'(\R^d)$ est injectif.

Si $\lambda=0$, alors $\hat{T}$ est supportée en $0$. Par exemple, pour $\hat{T}=\delta_0$ on obtient $T = (2\pi)^d$ qui est bien une solution non nulle de $\Delta T=0$. Plus généralement, les polynômes harmoniques donnent des solutions non nulles de $\Delta T=0$, voir exercice~\ref{exo: distributions harmoniques}.

On suppose désormais que $\lambda \in \R_+^*$, et on procède par analyse-synthèse. Si $\Delta T + \lambda T=0$ alors $\hat{T}$ est supportée sur la sphère $\S_\lambda$ de rayon $\sqrt{\lambda}$ centrée en $0$. Attention, la réciproque n'est pas vraie, on peut avoir $\hat{T}$ supportée sur $\S_\lambda$ mais $(\lambda - \Norm{\xi}^2)\hat{T} \neq 0$ et donc $\Delta T +\lambda T \neq 0$. Cependant, si on suppose de plus que $\hat{T}$ est d'ordre $0$, on a montré dans l'exercice~2 de la feuille~3 que $(\lambda - \Norm{\xi}^2)\hat{T}=0$, et donc $\Delta T + \lambda T=0$. Il s'agit donc de construire $\hat{T} \in \cS'(\R^d)$ d'ordre $0$ et supportée sur $\S_\lambda$.

On peut considérer le cas où $\hat{T} = \delta_a$ avec $\Norm{a}^2=\lambda$, ce qui correspond à $T = (2\pi)^d e_a$. On vérifie d'ailleurs à la main que $\Delta e_a = -\Norm{a}^2e_a$.

On peut construire d'autres exemples. Dans l'exercice~7 de la feuille~6, on a construit une mesure de Radon $\mu \in \cE'(\R^d) \subset \cS'(\R^d)$ supportée par la sphère unité (en fait la mesure de probabilité sur $\S_1$ uniforme sous l'action de $O_d(\R)$). En mimant cette construction on définit de même la mesure de probabilité uniforme $\mu_\lambda$ sur $\S_\lambda$. Plus simplement $\mu_\lambda$ peut être obtenue par dilatation de $\mu$ en posant
\begin{equation*}
\forall \varphi \in \cE(\R^d), \qquad \prsc{\mu_{\lambda}}{\varphi} = \int_{\R^d} \varphi(x) \dx \mu_\lambda(x) := \int_{\R^d} \varphi\parentheses*{\sqrt{\lambda} x} \dx \mu (x) = \prsc{\mu}{\varphi(\sqrt{\lambda} \cdot)}.
\end{equation*}
On obtient ainsi $\mu_\lambda \in \cE'(\R^d)$ qui est une une distribution d'ordre $0$ supportée par $\S_\lambda$. Notamment $(\lambda-\Norm{\xi}^2)\mu_\lambda=0$ par l'exercice~2 de la feuille~3. Soit $T_\lambda = (2\pi)^{-d} \hat{\mu_\lambda}$, par inversion de Fourier on obtient que $\hat{T_\lambda} = \check{\mu_\lambda} = \mu_\lambda$ (invariance de $\mu_\lambda$ par $-\Id$, ou calcul direct). Donc $\Delta T_\lambda + \lambda T_\lambda = 0$, et $T_\lambda\neq 0$ sinon on aurait $\mu_\lambda = 0$.

Finalement $\Delta T + \lambda T=0$ a des solutions non nulles dans $\cS'(\R^d)$ (donc dans $\cC^\infty(\R^d)$) si et seulement si $\lambda \in \R_+$.

\end{sol}

\end{enumerate}


\end{exo}


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\begin{exo}[Solution fondamentale de l'opérateur de la chaleur]
\label{exo: solution fondamentale de la chaleur}

Soit $H = \one_{]0,+\infty[}$ la fonction de Heaviside, on considère la fonction $F:\R^2 \to \R$ définie par:
\begin{equation*}
F:(t,x) \longmapsto \frac{H(t)}{\sqrt{4\pi t}}\exp\parentheses*{-\frac{x^2}{4t}}.
\end{equation*}

\begin{enumerate}

\item \label{q: F dans D'} Vérifier que $F \in \cD'(\R^2)$.

\begin{sol}

Il suffit de vérifier que $F \in L^1_\text{loc}(\R^2)$. Soit $K \subset \R^2$ un compact, il existe $M >0$ tel que $K \subset [-M,M]^2$. On a alors:
\begin{align*}
\int_K \norm{F(t,x)} \dx t \dx x &\leq \int_{[-M,M]^2} \norm{F(x,t)} \dx t \dx x = \int_{t=0}^M \int_{x=-M}^M \frac{e^{-\frac{x^2}{4t}}}{\sqrt{4\pi t}} \dx x \dx t \leq 2M \int_0^M \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\dx t\\
&\leq \frac{M}{\sqrt{\pi}}\int_0^M \frac{1}{\sqrt{t}}\dx t <+\infty.
\end{align*}
Donc $F \in L^1_\text{loc}(\R^2) \subset \cD'(\R^2)$.

\end{sol}

\item \label{q: F solution t>0} Montrer que $\partial_t F - \partial_x^2 F = 0$ sur $\R_+^* \times \R$.

\begin{sol}

Sur $\R_+^* \times \R$, la fonction $F$ est $\cC^\infty$. En particulier, ses dérivées au sens des distributions coïncident avec ses dérivées usuelles. Il suffit donc de faire le calcul. Pour tout $t >0$ et $x \in \R$,
\begin{equation*}
\partial_tF(t,x) = -\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{4\pi t}^3}4\pi\exp\parentheses*{-\frac{x^2}{4t}} + \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\exp\parentheses*{-\frac{x^2}{4t}}\frac{x^2}{4t^2} = F(t,x)\parentheses*{\frac{x^2}{4t^2}-\frac{1}{2t}}.
\end{equation*}
Et d'autre part,
\begin{align*}
\partial_xF(t,x) &= \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\exp\parentheses*{-\frac{x^2}{4t}}\parentheses*{-\frac{2x}{4t}}=-\frac{x}{2t}F(t,x)\\
\partial^2_xF(t,x)&= -\frac{1}{2t}F(t,x) -\frac{x}{2t}\partial_xF(t,x) = F(t,x)\parentheses*{\frac{x^2}{4t^2}-\frac{1}{2t}}.
\end{align*}
On obtient donc bien $\partial_tF(t,x)-\partial^2_xF(t,x)=0$.

\end{sol}

\item \label{q: derivees de F} Soit $\varphi \in \cD(\R^2)$, prouver que
\begin{equation}
\label{eq: expression des derivees de F}
\prsc*{\partial_t F - \partial_x^2 F}{\varphi} = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\R F(\epsilon,x)\varphi(\epsilon,x) \dx x.
\end{equation}

\begin{sol}

Sur $\R^* \times \R$, la fonction $F$ est $\cC^\infty$ et $\partial_tF-\partial^2_xF=0$. Sur $\R^2$ entier, il faut calculer $\partial_tF-\partial^2_xF$ au sens des distributions. Comme $F \in L^1_\text{loc}(\R^2)$,
\begin{equation}
\label{eq: derivees de F 1}
\begin{aligned}
\prsc*{\partial_tF-\partial^2_xF}{\varphi} &= \prsc{\partial_tF}{\varphi}- \prsc*{\partial_x^2F}{\varphi} = -\prsc{F}{\partial_t\varphi}-\prsc*{F}{\partial^2_x\varphi}=-\prsc*{F}{\partial_t\varphi+\partial^2_x\varphi}\\
&= - \int_{\R^2}F(t,x)\parentheses*{\partial_t\varphi(t,x)+\partial^2_x\varphi(t,x)}\dx t\dx x.
\end{aligned}
\end{equation}
Comme $\varphi \in \cD(\R^2)$, la fonction $\partial_t\varphi+\partial^2_x\varphi$ est bornée, et nulle hors de $\supp(\varphi)$. Par ailleurs $F$ est intégrable sur le compact $\supp(\varphi)$. Donc au final, $F\parentheses*{\partial_t\varphi+\partial^2_x\varphi}$ est intégrable sur $\R^2$. On a donc
\begin{equation}
\label{eq: derivees de F 2}
\begin{aligned}
\int_{\R^2}F(t,x)\parentheses*{\partial_t\varphi(t,x)+\partial^2_x\varphi(t,x)}\dx t\dx x &= \int_{]0,+\infty[\times \R}F(t,x)\parentheses*{\partial_t\varphi(t,x)+\partial^2_x\varphi(t,x)}\dx t\dx x\\
&= \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{]\epsilon,+\infty[\times \R}F(t,x)\parentheses*{\partial_t\varphi(t,x)+\partial^2_x\varphi(t,x)}\dx t\dx x.
\end{aligned}
\end{equation}

Soit $\epsilon>0$. Soit $x \in \R$, par intégration par parties on obtient:
\begin{align*}
\int_\epsilon^{+\infty} F(t,x)\partial_t\varphi(t,x) \dx t &= \squarebrackets*{F(t,x)\varphi(t,x)}_\epsilon^{+\infty} - \int_\epsilon^{+\infty}\partial_tF(t,x)\varphi(t,x) \dx t\\
&= -F(\epsilon,x)\varphi(\epsilon,x)-\int_\epsilon^{+\infty}\partial_tF(t,x)\varphi(t,x) \dx t.
\end{align*}
Donc
\begin{equation*}
\int_{]\epsilon,+\infty[\times \R}F(t,x)\partial_t\varphi(t,x)\dx t\dx x = -\int_\R F(\epsilon,x)\varphi(\epsilon,x)\dx x -\int_{]\epsilon,+\infty[\times \R}\partial_tF(t,x)\varphi(t,x)\dx t\dx x.
\end{equation*}

Soit $t >\epsilon$, en intégrant deux fois par parties et en utilisant le fait que $\varphi$ est à support compact:
\begin{equation*}
\int_\R F(t,x)\partial_x^2\varphi(t,x) \dx x = -\int_\R \partial_xF(t,x)\partial_x\varphi(t,x) \dx x = \int_\R \partial^2_xF(t,x)\varphi(t,x) \dx x.
\end{equation*}
Donc
\begin{equation*}
\int_{]\epsilon,+\infty[\times \R}F(t,x)\partial^2_x\varphi(t,x)\dx t\dx x = \int_{]\epsilon,+\infty[\times \R}\partial_x^2F(t,x)\varphi(t,x)\dx t\dx x.
\end{equation*}

Finalement, en utilisant la question~\ref{q: F solution t>0},
\begin{equation}
\label{eq: derivees de F 3}
\begin{aligned}
\int_{]\epsilon,+\infty[\times \R}F(t,x)&\parentheses*{\partial_t\varphi(t,x)+\partial^2_x\varphi(t,x)}\dx t\dx x\\
&= - \int_\R F(\epsilon,x)\varphi(\epsilon,x) \dx x + \int_{]\epsilon,+\infty[\times \R}\parentheses*{\partial^2_xF(t,x)-\partial_tF(t,x)}\varphi(t,x)\dx t\dx x\\
&= - \int_\R F(\epsilon,x)\varphi(\epsilon,x) \dx x.
\end{aligned}
\end{equation}

En combinant les équations~\eqref{eq: derivees de F 1}, \eqref{eq: derivees de F 2} et~\eqref{eq: derivees de F 3}, on obtient bien la relation~\eqref{eq: expression des derivees de F}.

\end{sol}


\item \label{q: F solution fondamentale} Soit $P = T - X^2 \in \R[T,X]$, afin que $P(\partial) = \partial_t - \partial_x^2$. Déduire de ce qui précède que $P(\partial)F=\delta_0$.

\begin{sol}

On utilise la question~\ref{q: derivees de F}. Soit $\varphi \in \cD(\R^2)$, on a $\prsc*{\partial_t F - \partial_x^2 F}{\varphi} = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\R F(\epsilon,x)\varphi(\epsilon,x) \dx x$. Pour tout $\epsilon >0$, la fonction $F(\epsilon,\cdot)$ est la densité gaussienne de variance $2\epsilon$. En particulier, $F(\epsilon,\cdot) = \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}F(1,\frac{\cdot}{\sqrt{\epsilon}}) \xrightarrow[\epsilon\to 0]{}\delta_0$ dans $\cD'(\R)$. Comme $\varphi \in \cD(\R^2)$, on peut espérer avoir la convergence $\varphi(\epsilon,\cdot) \xrightarrow[\epsilon \to 0]{}\varphi(0,\cdot)$ dans $\cD(\R)$. Par bicontinuité du crochet on aurait alors
\begin{equation*}
\int_\R F(\epsilon,x)\varphi(\epsilon,x) \dx x = \prsc*{F(\epsilon,\cdot)}{\varphi(\epsilon,\cdot)} \xrightarrow[\epsilon \to 0]{}\prsc{\delta_0}{\varphi(0,\cdot)} = \varphi(0,0) = \prsc*{\delta_0}{\varphi}.
\end{equation*}

La convergence de $\varphi(\epsilon,\cdot)$ vers $\varphi(0,\cdot)$ étant pénible à établir au sens de $\cD(\R)$, on va suivre un chemin différent, par un calcul direct. Soit $\epsilon >0$, par le théorème des accroissements finis,
\begin{align*}
\norm*{\int_\R F(\epsilon,x)\varphi(\epsilon,x) \dx x - \varphi(0,0)} &= \norm*{\int_\R F(\epsilon,x)\parentheses*{\varphi(\epsilon,x)- \varphi(0,0)} \dx x}\\
&\leq \int_\R F(\epsilon,x)\norm*{\varphi(\epsilon,x)- \varphi(0,0)} \dx x\\
&\leq \int_\R F(\epsilon,x) \Norm*{(\epsilon,x)}\Norm{D\varphi}_\infty \dx x\\
&\leq \Norm{D\varphi}_\infty \parentheses*{\epsilon \int_\R F(\epsilon,x)\dx x + \int_\R \norm{x} F(\epsilon,x)\dx x}\\
&\leq \Norm{D\varphi}_\infty \parentheses*{\epsilon + \int_\R \norm{x} F(\epsilon,x)\dx x}
\end{align*}
De plus,
\begin{equation*}
\int_\R \norm{x} F(\epsilon,x)\dx x = \frac{1}{\sqrt{4\pi \epsilon}} \int_\R \norm{x} e^{-\frac{x^2}{4\epsilon}}\dx x = \frac{1}{\sqrt{\pi\epsilon}}\int_0^{+\infty} xe^{-\frac{x^2}{4\epsilon}}\dx x = \frac{1}{\sqrt{\pi\epsilon}} \squarebrackets*{-2\epsilon e^{-\frac{x^2}{4\epsilon}}}_0^{+\infty} = \sqrt{\frac{4\epsilon}{\pi}}.
\end{equation*}
Donc
\begin{equation*}
\norm*{\int_\R F(\epsilon,x)\varphi(\epsilon,x) \dx x - \varphi(0,0)} = O\parentheses*{\sqrt{\epsilon}}\xrightarrow[\epsilon \to 0]{}0.
\end{equation*}

Ainsi, on a bien
\begin{equation*}
\prsc*{\partial_t F - \partial_x^2 F}{\varphi} = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\R F(\epsilon,x)\varphi(\epsilon,x) \dx x = \varphi(0,0) = \prsc*{\delta_0}{\varphi},
\end{equation*}
et donc $\partial_t F - \partial_x^2 F = \delta_0$.

\end{sol}

\item \label{q: chaleur existence de solutions} Soit $S \in \cE'(\R^2)$, montrer qu'il existe $T \in \cD'(\R^2)$ tel que $\partial_t T - \partial_x^2 T = S$.

\begin{sol}

Comme $P(\partial)$ possède une solution fondamentale $F \in \cD'(\R^2)$, on peut construire par convolution les solutions de l'équation $P(\partial)T = S$. Soit $T = F \ast S \in \cD'(\R^2)$, on a
\begin{equation*}
P(\partial) T = P(\partial)\parentheses{F \ast S} = P(\partial)F \ast S = \delta_0 \ast S = S.
\end{equation*}

\end{sol}

\item \label{q: chaleur injective sur E'} Décrire les $S \in \cE'(\R^2)$ telles que $\partial_tS-\partial^2_xS=0$.

\begin{sol}

D'après le cours, comme $P(\partial)$ admet une solution fondamentale, cet opérateur linéaire est injectif de $\cE'(\R^d)$ dans lui-même. Rappelons rapidement l'argument. Soit $S \in \cE'(\R^d)$ on a
\begin{equation*}
S= \delta_0 \ast S = P(\partial)F \ast S = F \ast P(\partial)S.
\end{equation*}
Donc si $P(\partial)S=0$ alors $S=0$.

\end{sol}

\item \label{q: chaleur non injective sur D'} Existe-t-il des $T \in \cD'(\R^2)$ non nulles telles que $\partial_tT -\partial_x^2T=0$?

\begin{sol}

Oui, les fonctions constantes par exemple.
\end{sol}

\item \label{q: chaleur support singulier} (\emph{facultatif}) Montrer que $\suppsing(F) = \brackets{0}$.

\begin{hint}
Montrer par récurrence sur $\norm{\alpha}$ que pour tout $\alpha \in \N^2$ il existe $Q_\alpha \in \R[T,X]$ et $k_\alpha \in \N$ tels que $\partial^\alpha F(t,x) = t^{-k_\alpha}F(t,x)Q_\alpha(t,x)$ pour tout $(t,x) \in \R^*\times \R$.
\end{hint}

\begin{sol}

Déjà $0 \in \suppsing(F)$. Sinon il existerait un voisinage de $0$ sur lequel $F$ est $\cC^\infty$, mais alors $P(\partial)F = \delta_0$ serait $\cC^\infty$ au voisinage de $0$, ce qui est absurde. On va montrer que $F$ est $\cC^\infty$ sur $\R^2 \setminus \brackets{0}$, c'est-à-dire que $\suppsing(F) = \brackets{0}$.

Il est clair que $F$ est $\cC^\infty$ sur $\R^* \times \R$. Prouvons l'indication. Pour $\alpha=0$ c'est vrai avec $Q_0=1$ et $k_0=0$. Supposons le résultat vrai pour tous les multi-indices de longueur $l$, soit $\alpha \in \N^2$ tel que $\norm{\alpha}=l+1$. Il existe $\beta \in \N^2$ tel que $\norm{\beta}=l$ et $\partial^\alpha = \partial_t \partial^\beta$ ou $\partial^\alpha = \partial_x \partial^\beta$. En reprenant les calculs de la question~\ref{q: F solution t>0} sur $\R_+^* \times \R$, dans le premier cas on a:
\begin{align*}
\partial^\alpha F(t,x) &= \partial_t\parentheses*{t^{-k_\beta}FQ_\beta}(t,x)\\
&= -k_\beta t^{-k_\beta-1}F(t,x)Q_\beta(t,x) + t^{-k_\beta}\partial_tF(t,x)Q_{\beta}(t,x)+t^{-k_\beta}F(t,x)\partial_tQ_{\beta}(t,x)\\
&= t^{-k_\beta-2}F(t,x)\underbrace{\parentheses*{-k_\beta tQ_\beta(t,x)+\frac{x^2-2t}{4}Q_\beta(t,x)+t^2 \partial_tQ_\beta(t,x)}}_{=Q_\alpha(t,x)}.
\end{align*}
Dans le second cas:
\begin{align*}
\partial^\alpha F(t,x) &= \partial_x\parentheses*{t^{-k_\beta}FQ_\beta}(t,x)= t^{-k_\beta}\partial_xF(t,x)Q_{\beta}(t,x)+t^{-k_\beta}F(t,x)\partial_xQ_{\beta}(t,x)\\
&= t^{-k_\beta-1}F(t,x)\underbrace{\parentheses*{-\frac{x}{2}Q_\beta(t,x)+t \partial_xQ_\beta(t,x)}}_{=Q_\alpha(t,x)}.
\end{align*}
Ces formules sont immédiatement vraies sur $\R_-^* \times \R$ où tous les termes sont nuls. Ceci établit l'hérédité, et prouve le résultat souhaité par récurrence.

Soit $x_0 \in \R^*$, pour tout $\alpha \in \N^2$ on a $t^{-k_\alpha}F(t,x) \xrightarrow[(t,x) \to (0,x_0)]{}0$. Comme $Q_\alpha$ est continu sur $\R^2$, on a donc $\partial^\alpha F(t,x) \xrightarrow[(t,x) \to (0,x_0)]{}0$. Donc $\partial^\alpha F$ se prolonge continuement par $0$ sur $\brackets{0}\times \R^* \subset \R^2$.

Soit $\alpha \in \N^2$. Pour tout $x \neq 0$, $t \mapsto \partial^\alpha F(t,x)$ est dérivable sur $\R^*$ et sa dérivée se prolonge continument par $0$ en $0$. Cette fonction est donc dérivable sur $\R$ et sa dérivée en $0$ est nulle. Donc $\partial_t\partial^\alpha F$ est bien définie sur $\R^2 \setminus \brackets{0}$ et coincide avec l'extension continue de $\partial_t\partial^\alpha F_{\vert \R^* \times \R}$. Dans l'autre direction, $\partial_x \partial^\alpha F$ est directement bien définie sur $\R^2\setminus \brackets{0}$ et continue. Donc $F$ admet des dérivées partielles continues à tout ordre sur $\R^2 \setminus \brackets{0}$. Donc $F$ est $\cC^\infty$ sur $\R^2 \setminus \brackets{0}$. Donc $\suppsing(F) = \brackets{0}$.

\end{sol}

\item Soient $f \in \cC^\infty(\R^2)$ et $T \in \cD'(\R^2)$ telle que $\partial_t T - \partial_x^2 T = f$, montrer que $T \in \cC^\infty(\R^2)$.

\begin{sol}

L'opérateur $P(\partial) = \partial_t - \partial_x^2$ admet une solution fondamentale (donc une paramétrix) dont le support singulier est $\brackets{0}$. Par le cours, $\suppsing(T) = \suppsing(P(\partial)T) = \suppsing(f) = \emptyset$ dans ce cas. Donc $T$ est lisse.

\end{sol}

\end{enumerate}

\begin{sol}

\begin{rem}

\begin{itemize}

\item L'équation de la chaleur régit l'évolution de la température, ou de façon équivalente de l'énergie thermique, dans un matériau au cours du temps. Si $U(t,x)$ dénote l'énergie thermique au point $x$ à l'instant $t$, en l'absence de source de chaleur dans le milieu, cette énergie évolue selon l'équation $\partial_t U - \Delta_x U = 0$. En présence de sources de chaleur, cette équation devient $\partial_t U - \Delta_x U = f$, où le terme de source $f(t,x)$ correspond à l'énergie apportée au système au point $x$ à l'instant $t$. Dans le cas d'un système à une dimension d'espace, une tige ou un fil par exemple, cette équation s'écrit $\partial_t U - \partial^2_x U = f$.

\item Dans l'exercice~\ref{exo: solution fondamentale de la chaleur} on a résolu l'équation de la chaleur unidimensionnelle avec terme de source $\delta_{(0,0)}$, et la solution obtenue est nulle à l'infini. On pourra penser à un fil, initialement avec un profil de température uniforme, que l'on chauffe brutalement en un point, par exemple par une impulsion laser apportant ponctuellement une unité d'énergie.
\end{itemize}

\end{rem}

\end{sol}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Transformation de Fourier et convolution dans $\cS'$]
\label{exo: TF et convolution}

Dans cet exercice on s'intéresse aux interactions entre transformation de Fourier et convolution.

\begin{enumerate}

\item \label{q: normes S et convolee} Soient $\rho \in \cS(\R^d)$ et $p \in \N$, montrer qu'il existe $C >0$ tel que $\forall \varphi \in \cS(\R^d)$, $N_p(\varphi \ast \rho) \leq C N_p(\varphi)$.

\begin{sol}

Soient $\alpha$ et $\beta \in \N^d$ de longueur au plus $p$. Pour tout $x \in \R^d$ on a:
\begin{align*}
x^\alpha\partial^\beta(\varphi \ast \rho)(x) &=  x^\alpha\parentheses*{(\partial^\beta\varphi) \ast \rho}(x) = \int_{\R^d} (x-y+y)^\alpha \partial^\beta\varphi(y) \rho(x-y) \dx y\\
&= \sum_{\gamma \leq \alpha} \binom{\alpha}{\gamma} \int_{\R^d} y^\gamma\partial^\beta\varphi(y) (x-y)^{\alpha-\gamma} \rho(x-y) \dx y.
\end{align*}
Donc
\begin{align*}
\norm*{x^\alpha\partial^\beta(\varphi \ast \rho)(x)} &\leq \sum_{\gamma \leq \alpha} \binom{\alpha}{\gamma} \Norm*{y^\gamma \partial^\beta\varphi}_\infty \int_{\R^d} \norm{x-y}^{\alpha-\gamma} \norm{\rho(x-y)} \dx y\\
&\leq N_p(\varphi) \sum_{\gamma \leq \alpha} \binom{\alpha}{\gamma} \int_{\R^d} \norm{z}^{\alpha-\gamma} \norm{\rho(z)} \dx z \leq C_\alpha N_p(\varphi),
\end{align*}
où $C_\alpha >0$ est une constante ne dépendant que de $\rho$ et $\alpha$. Dans la dernière étape, on a utilisé le fait que $\rho \in \cS(\R^d)$ implique l'intégrabilité de $z \mapsto \norm{z}^{\alpha-\gamma}\norm{\rho(z)}$.

On pose $C = \max_{\norm{\alpha} \leq p} C_\alpha$. D'après le calcul précédent, pour tout $\alpha$ et $\beta \in \N^d$ de longueur au plus $p$ on a:
\begin{equation*}
\Norm*{x^\alpha \partial^\beta(\varphi \ast \rho)}_\infty \leq C N_p(\varphi),
\end{equation*}
ce qui prouve le résultat.

\end{sol}

\item \label{q: S stable par convolution} Soient $\varphi$ et $\rho \in \cS(\R^d)$, montrer que $\varphi \ast \rho \in \cS(\R^d)$ et que $\hat{\varphi \ast \rho} = \hat{\varphi}\ \hat{\rho}$.

\begin{sol}

Soient $\alpha$ et $\beta \in \N^d$ et notons $p = \max(\norm{\alpha},\norm{\beta})$. D'après la question précédente, on a:
\begin{equation*}
\Norm*{x^\alpha \partial^\beta(\varphi \ast \rho)}_\infty \leq C N_p(\varphi) < +\infty.
\end{equation*}
Donc, pour tout $p \in \N$, $N_p(\varphi \ast \rho) < +\infty$ et $\varphi \ast \rho \in \cS(\R^d)$. Calculons la transformée de Fourier de $\varphi \ast \rho \in \cS(\R^d) \subset L^1(\R^d)$. Pour tout $\xi \in \R^d$,
\begin{align*}
\hat{\varphi \ast \rho}(\xi) &= \int_{\R^d} e^{-i x \cdot \xi} \int_{\R^d} \varphi(y)\rho(x-y) \dx y \dx x = \int_{\R^d} e^{-i y \cdot \xi} \varphi(y) \int_{\R^d} e^{-i (x-y) \cdot \xi} \rho(x-y) \dx x \dx y\\
&= \int_{\R^d} e^{-i y \cdot \xi} \varphi(y) \int_{\R^d} e^{-i z \cdot \xi} \rho(z) \dx z \dx y = \hat{\rho}(\xi) \hat{\varphi}(\xi).
\end{align*}
Il reste à justifier qu'on peut bien intervertir les intégrales par Fubini. C'est le cas car
\begin{equation*}
\int_{\R^d} \int_{\R^d} \norm{e^{-i x \cdot \xi}\varphi(y)\rho(x-y)} \dx y \dx x = \int_{\R^d} \int_{\R^d} \norm{\varphi(y)}\norm{\rho(x-y)} \dx y \dx x \leq \Norm{\varphi}_{L^1} \Norm{\rho}_{L^1} < +\infty.
\end{equation*}

\end{sol}

\item \label{q: convolution E' S definie} Soient $S \in \cE'(\R^d)$ et $\rho \in \cS(\R^d)$, montrer que $S \ast \rho \in \cS'(\R^d) \cap \cC^\infty(\R^d)$ et que, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, on a $\prsc{S \ast \rho}{\varphi} = \prsc{S}{\check{\rho} \ast \varphi}$.

\begin{sol}

Comme $\cS(\R^d) \subset \cE(\R^d)$, la convolée $S \ast \rho:x \mapsto \prsc{\tau_x\check{S}}{\varphi}$ est bien définie. D'après le cours, c'est une fonction $\cC^\infty$ sur $\R^d$ telle que $\prsc{S \ast \rho}{\varphi} = \prsc{S}{\check{\rho} \ast \varphi}$ pour tout $\varphi \in \cD(\R^d)$. En d'autres termes, l'élément de $\cD'(\R^d)$ associé à la fonction $S\ast \rho$ est $\varphi \mapsto \prsc{S}{\check{\rho} \ast \varphi}$.

Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, par la question~\ref{q: S stable par convolution} on a $\check{\rho} \ast \varphi \in \cS(\R^d)$. Comme $S \in \cE'(\R^d) \subset \cS'(\R^d)$, l'expression $\prsc{S}{\check{\rho}\ast \varphi}$ a bien du sens. Donc $\varphi \mapsto \prsc{S}{\check{\rho} \ast \varphi}$ définit une forme linéaire sur $\cS(\R^d)$ qui prolonge $S \ast \rho \in \cD'(\R^d)$.

Montrons que ce prolongement est continu. Comme $S \in \cS'(\R^d)$, il existe $A \geq 0$ et $p \in \N$ tel que $\norm{\prsc{S}{\psi}} \leq A N_p(\psi)$ pour tout $\psi \in \cS(\R^d)$. Alors, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a
\begin{equation*}
\norm{\prsc{S}{\check{\rho} \ast \varphi}} \leq A N_p(\check{\rho} \ast \varphi) \leq A C N_p(\varphi),
\end{equation*}
d'après la question~\ref{q: normes S et convolee}. Le prolongement définit donc bien un élément de $\cS'(\R^d)$. Dorénavant on notera encore ce prolongement $S \ast \rho$, de sorte que $S \ast \rho \in \cS'(\R^d) \cap \cC^\infty(\R^d)$ et $\prsc{S \ast \rho}{\varphi} = \prsc{S}{\check{\rho} \ast \varphi}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item \label{q: convolution E' S Fourier} Montrer que $\hat{S \ast \rho} = \hat{S} \hat{\rho}$ et en déduire qu'en fait $S \ast \rho \in \cS(\R^d)$.

\begin{sol}

Comme $S \ast \rho \in \cS'(\R^d)$ sa transformée de Fourier est bien définie. Par ailleurs $\hat{S} \in \cOM(\R^d)$ d'après l'exercice~\ref{exo: TF de E'} et donc $\hat{S}\hat{\rho} \in \cS(\R^d) \subset \cS'(\R^d)$ par la question~\ref{q: stabilite de S par mult} de l'exercice~\ref{exo: produit S' OM}. Les deux termes de l'égalité à démontrer on donc bien du sens dans $\cS'(\R^d)$.

Pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a:
\begin{equation*}
\prsc*{\hat{S \ast \rho}}{\varphi} = \prsc*{S \ast \rho}{\hat{\varphi}} = \prsc*{S}{\check{\rho} \ast \hat{\varphi}} = \prsc*{\hat{S}}{\mathcal{F}^{-1}\parentheses*{\check{\rho} \ast \hat{\varphi}}}.
\end{equation*}

La formule d'inversion de Fourier dit que $\mathcal{F}^{-1}:\psi \mapsto \frac{1}{(2\pi)^d}\hat{\psi}(-\cdot)$. En utilisant le résultat de la question~\ref{q: S stable par convolution}, on a:
\begin{equation*}
\mathcal{F}^{-1}\parentheses*{\check{\rho} \ast \hat{\varphi}} = \frac{1}{(2\pi)^d} \hat{\parentheses*{\check{\rho} \ast \hat{\varphi}}}(-\cdot) = \frac{1}{(2\pi)^d} \hat{\hat{\varphi}}(-\cdot) \hat{\check{\rho}}(-\cdot) = \mathcal{F}^{-1}(\hat{\varphi}) \check{\hat{\rho}}(-\cdot) = \varphi \hat{\rho}.
\end{equation*}
Finalement $\prsc*{\hat{S \ast \rho}}{\varphi} = \prsc*{\hat{S}}{\varphi \hat{\rho}} = \prsc*{\hat{\rho}\hat{S}}{\varphi}$, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, d'où $\hat{S \ast \rho} = \hat{S}\hat{\rho}$. Puisque $\cF:\cS'(\R^d) \to \cS'(\R^d)$ induit une bijection de $\cS(\R^d)$ dans lui-même, $S \ast \rho = \cF^{-1}\parentheses*{\hat{S}\hat{\rho}} \in \cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item \label{q: norme E' * S} Soient $S \in \cE'(\R^d)$ et $p \in \N$, montrer qu'il existe $C \geq 0$ et $q \geq p$ tels que $N_p\parentheses*{S \ast \varphi} \leq C N_q(\varphi)$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$.

\begin{hint}
Utiliser les questions précédentes et la continuité de $\cF:\cS(\R^d) \to \cS(\R^d)$.
\end{hint}

\begin{sol}

On sait par le cours que pour tout $k \in \N$ il existe $C_{k,d} \geq 0$ tel que $N_k\parentheses{\hat{\psi}} \leq C_{k,d}N_{k+d+1}(\psi)$ pour tout $\psi \in \cS(\R^d)$. On a aussi $N_k(\psi) \leq C_{k,d}N_{k+d+1}(\check{\hat{\psi}}) = C_{k,d}N_{k+d+1}(\hat{\psi})$ car $\psi = \cF\parentheses*{(2\pi)^{-d}\check{\hat{\psi}}}$. On va utiliser ces inégalité qui traduisent la continuité de $\cF$ et $\cF^{-1}$.

Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, comme $S \ast \varphi \in \cS(\R^d)$ on a $N_p(S \ast \varphi) \leq C_{p,d}N_{p+d+1}\parentheses*{\hat{S \ast \varphi}}=C_{p,d}N_{p+d+1}\parentheses*{\hat{S} \hat{\varphi}}$ par la question~\ref{q: convolution E' S Fourier}. Comme $S \in \cE'(\R^d)$, sa transformée de Fourier est dans $\cOM(\R^d)$ par l'exercice~\ref{exo: TF de E'}. En appliquant la question~\ref{q: stabilite de S par mult} de l'exercice~\ref{exo: produit S' OM} avec $\rho = \hat{S}$, il existe $A$ et $r \in \N$ tels que $N_{p+d+1}\parentheses*{\hat{S} \hat{\varphi}} \leq A N_r(\hat{\varphi}) \leq A C_{r,d}N_{r+d+1}(\varphi)$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$.

Finalement, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a $N_p(S\ast \varphi) \leq C_{p,d}AC_{r,d} N_{r+d+1}(\varphi)=CN_q(\varphi)$.

\end{sol}

\item \label{q: convolution S' E'} Soient $T \in \cS'(\R^d)$ et $S \in \cE'(\R^d)$, montrer que $T \ast S \in\cS'(\R^d)$ et que $\prsc{T \ast S}{\varphi} = \prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$.

\begin{sol}

Comme $T \in \cS'(\R^d) \subset \cD'(\R^d)$, la convolée $T \ast S \in \cD'(\R^d)$ est définie par $T \ast S:\varphi \mapsto \prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$ de $\cD(\R^d)$ dans $\C$.

Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, alors $\check{S}\ast \varphi \in \cS(\R^d)$ par la question~\ref{q: convolution E' S Fourier} et donc $\prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$ est bien définie. Donc $\varphi \mapsto \prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$ définit une forme linéaire sur $\cS(\R^d)$ qui étend $T \ast S \in \cD'(\R^d)$.

Comme $T \in \cS'(\R^d)$, il existe $A \geq 0$ et $p \in \N$ tels que $\norm{\prsc{T}{\psi}} \leq A N_p(\psi)$ pour tout $\psi \in \cS(\R^d)$. En appliquant la question~\ref{q: norme E' * S} à $\check{S} \in \cE'(\R^d)$ on alors pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$
\begin{equation*}
\norm{\prsc{T}{\check{S} \ast \varphi}} \leq A N_p\parentheses*{\check{S} \ast \varphi} \leq AC N_q(\varphi),
\end{equation*}
ce qui prouve que $\varphi \mapsto \prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$ définit une distribution tempérée qui prolonge $T \ast S$. Dans la suite on notera encore $T \ast S$ pour le prolongement. On a donc $T \ast S \in \cS'(\R^d)$ et $\prsc{T \ast S}{\varphi} = \prsc{T}{\check{S}\ast \varphi}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item \label{q: Fourier S' * E'} Montrer que $\hat{T \ast S} = \hat{S}\hat{T}$.

\begin{sol}

Comme $S \in \cE'(\R^d)$ on a $\hat{S} \in \cOM(\R^d)$ et donc $\hat{S}\hat{T} \in \cS'(\R^d)$ est bien défini. Ensuite, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, on a
\begin{equation*}
\prsc{\hat{T \ast S}}{\varphi} = \prsc{T \ast S}{\hat{\varphi}} = \prsc{T}{\check{S} \ast \hat{\varphi}} = \prsc*{\hat{T}}{\cF^{-1}\parentheses*{\check{S} \ast \hat{\varphi}}}
\end{equation*}
En utilisant la question~\ref{q: convolution E' S Fourier} et la formule d'inversion de Fourier,
\begin{equation*}
\cF^{-1}\parentheses*{\check{S} \ast \hat{\varphi}}=\frac{1}{(2\pi)^d} \hat{\check{S}\ast \hat{\varphi}}(-\cdot) =  \frac{1}{(2\pi)^d}\hat{\hat{\varphi}}(-\cdot) \hat{S} = \varphi \hat{S}.
\end{equation*}
Donc $\prsc{T\ast S}{\varphi} = \prsc{\hat{T}}{\hat{S}\varphi} = \prsc{\hat{S}\hat{T}}{\varphi}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, ce qui établit la formule souhaitée.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}

\end{document}