\documentclass[11pt]{article}


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% Graphiques et Figures

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% Nouveaux environnements

\theoremstyle{plain}
	\newtheorem{thm}{Théorème}
	\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
	\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
	\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}


\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}

\theoremstyle{remark}
	\newtheorem*{hint}{Indication}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
		

% Commandes et opérateurs utiles

\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cCc}{\mathcal{C}_c}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}

\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\loc}{\text{loc}}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\one}{\mathbf{1}}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\hat}{\widehat}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}

\DeclareMathOperator{\dil}{dil}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\pf}{pf}
\DeclareMathOperator{\sinc}{sinc}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator*{\vol}{Vol}
\DeclareMathOperator{\vp}{vp}

\DeclarePairedDelimiter{\ang}{\langle}{\rangle}
\DeclarePairedDelimiter{\brackets}{\{}{\}}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\Norm}{\lVert}{\rVert}
\DeclarePairedDelimiter{\parentheses}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiterX{\prsc}[2]{\langle}{\rangle}{#1\,, #2}
\DeclarePairedDelimiter{\squarebrackets}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiterX{\ssquarebrackets}[2]{\llbracket}{\rrbracket}{#1,#2}


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% Gestion de l'affichage des solutions avec le package comment

% Nouveaux compteurs pour avoir une numérotation des équations indépendante dans les solutions

\newcounter{aux}
\newcounter{soleq}

% Définition d'un environnement sol qui peut être commenté à loisir ci-dessous
% La numération des équations est indépendantes et en chiffres romains dans les solutions

\specialcomment{sol}{
	\setcounter{aux}{\value{equation}}
	\setcounter{equation}{\value{soleq}}
	\renewcommand{\theequation}{\roman{equation}}
	\par\begingroup\color{violet}
	}
	{
	\endgroup
	\setcounter{soleq}{\value{equation}}
	\setcounter{equation}{\value{aux}}
	\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}
	}

% Le contenu des environnements sol est visible par défaut, décommenter la ligne suivante le cache
%\excludecomment{sol}

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% Informations du document

\author{Blanche Buet et Thomas Letendre}
\date{2023 -- 2024}
\title{Feuille 6 -- Espace de Schwartz et distributions tempérées}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Mise en page de l'en-tête

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Xr@{}}
Université Paris-Saclay & Master Mathématiques et Applications \\
\@date & Distributions et Analyse de Fourier
\end{tabularx}

\vspace{1ex}

Chargés de TD: \@author .

\vspace{2ex}

\hrule

\begin{center}
\begin{Large}
\@title
\end{Large}
\end{center}

\hrule

\vspace{2ex}

\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Début du corps du texte

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{dfn}
Soit $\varphi:\R^d \to \C$ une fonction $\cC^\infty$, pour tout $p \in \N$ on note
\begin{equation*}
N_p(\varphi) = \sup \brackets*{\norm{x^\alpha \partial^\beta \varphi(x)} \mvert x \in \R^d, \alpha,\beta \in \N^d, \norm{\alpha} \leq p,\norm{\beta} \leq p} \in [0,+\infty].
\end{equation*}
On rappelle que $\varphi \in \cS(\R^d)$ si et seulement si $N_p(\varphi)<+\infty$ pour tout $p \in \N$.
\end{dfn}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Densité de $\cD$ dans $\cS$]
\label{exo: densite de D dans S}

Soit $\chi \in \cD(\R^d)$ telle que $\chi(x) = 1$ si $\Norm{x}\leq 1$, $\chi(x) =0$ si $\Norm{x}\geq 2$ et $\chi(x) \in [0,1]$ si $1 \leq \Norm{x} \leq 2$. Pour tout $R >0$, on note $\chi_R:x \mapsto \chi\parentheses*{\frac{x}{R}}$. Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, montrer que $\chi_R\varphi \xrightarrow[R \to +\infty]{\cS(\R^d)} \varphi$.

\begin{sol}

Il s'agit de montrer que $N_p\parentheses*{(1-\chi_R)\varphi} \xrightarrow[R \to +\infty]{}0$ pour tout $p \in \N$, c'est-à-dire que, pour tout $\alpha, \beta \in \N^d$, on a $\Norm*{X^\alpha \partial^\beta \parentheses*{(1-\chi_R)\varphi}}_\infty \xrightarrow[R \to+\infty]{}0$. Soient $\alpha, \beta \in \N^d$ et $R\geq 1$. Pour tout $x \in \R^d$,
\begin{align*}
\norm*{x^\alpha\partial^\beta\parentheses*{(1-\chi_R)\varphi}(x)} &= \norm*{\parentheses*{1-\chi\parentheses*{\frac{x}{R}}}x^\alpha\partial^\beta\varphi(x) - \sum_{\gamma < \beta}\binom{\beta}{\gamma} x^\alpha\partial^{\gamma}\varphi(x)\parentheses*{\frac{1}{R}}^{\norm{\beta}-\norm{\gamma}} \partial^{\beta-\gamma}\chi\parentheses*{\frac{x}{R}}}\\
&\leq \parentheses*{1-\chi\parentheses*{\frac{x}{R}}}\norm*{x^\alpha\partial^\beta \varphi(x)} + \frac{1}{R} \sum_{\gamma < \beta} \binom{\beta}{\gamma}\Norm*{X^\alpha\partial^\gamma\varphi}_\infty \Norm*{\partial^{\beta-\gamma}\chi}_\infty.
\end{align*}
Si $\Norm{x}\leq R$ alors $\chi\parentheses*{\frac{x}{R}}=1$ et le premier terme est nul. Si $\Norm{x}\geq R$ on a $0 \leq 1-\chi\parentheses*{\frac{x}{R}} \leq 1$ et
\begin{equation*}
\norm*{x^\alpha\partial^\beta \varphi(x)} = \frac{1}{\Norm{x}^2}\norm*{\parentheses*{\sum_{i=1}^d x_i^2
}x^\alpha\partial^\beta \varphi(x)} \leq \frac{1}{R^2} \sum_{i=1}^d \Norm*{X_i^2X^\alpha \partial^\beta\varphi}_\infty.
\end{equation*}
Donc pour tout $x \in \R^d$,
\begin{equation*}
\norm*{x^\alpha\partial^\beta\parentheses*{(1-\chi_R)\varphi}(x)} \leq \frac{1}{R^2} \sum_{i=1}^d \Norm*{X_i^2X^\alpha \partial^\beta\varphi}_\infty+ \frac{1}{R} \sum_{\gamma < \beta} \binom{\beta}{\gamma}\Norm*{X^\alpha\partial^\gamma\varphi}_\infty \Norm*{\partial^{\beta-\gamma}\chi}_\infty.
\end{equation*}
Donc $\Norm*{X^\alpha\partial^\beta\parentheses*{(1-\chi_R)\varphi}}_\infty= O\parentheses*{\frac{1}{R}}$, ce qui prouve le résultat.

\end{sol}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Exemples de fonctions dans $\cS'$]
\label{exo: exemples de fonctions dans S'}

Pour tout $x \in \R^d$, on note $\ang{x} = \parentheses*{1+\Norm{x}^2}^\frac{1}{2}$. Soient $\alpha \in \R$ et $f:\R^d \to \C$ une fonction mesurable telle que $\ang{X}^\alpha f \in L^1(\R^d)$.

\begin{enumerate}

\item \label{q: exemples f dans L1loc} Montrer que $f \in L^1_\loc(\R^d)$.

\begin{sol}

Soit $k \in \N$ tel que $2k \geq -\alpha$. Pour tout $R>0$,
\begin{align*}
\int_{\Norm{x}\leq R} \norm{f(x)} \dx x &= \int_{\Norm{x}\leq R} \ang{x}^{-\alpha}\ang{x}^\alpha \norm{f(x)} \dx x \leq \int_{\Norm{x}\leq R} \parentheses*{1+\Norm{x}^2}^k\ang{x}^\alpha \norm{f(x)} \dx x \\
&\leq \parentheses*{1+R^2}^k \Norm*{\ang{X}^\alpha f}_1 <+\infty.
\end{align*}
Donc $f \in L^1_\loc(\R^d)$.

\end{sol}

\item \label{q: exemples Sf dans S'} Soit $S_f:\varphi \mapsto \displaystyle\int_{\R^d} f(x)\varphi(x)\dx x$ de $\cS(\R^d)$ dans $\C$, montrer que $S_f \in \cS'(\R^d)$ et $\parentheses*{S_f}_{\vert \cD(\R^d)} = T_f$.

\begin{hint}
Montrer que $\forall k \in \N$, $\exists C \geq 0$, $\forall \varphi \in \cS(\R^d)$, $\Norm*{\parentheses*{1+\Norm{X}^2}^k \varphi}_\infty \leq C N_{2k}(\varphi)$.
\end{hint}

\begin{sol}

Commençons par prouver l'indication. Soit $k \in \N$, la fonction $\parentheses*{1+\Norm{X}^2}^k$ est un polynôme de degré $2k$ en $X=(X_1,\dots,X_d)$. Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, pour tout $x \in \R^d$,
\begin{align*}
\parentheses*{1+\Norm{x}^2}^k\norm{\varphi(x)} &= \parentheses*{1+\sum_{i=1}^d x_i^2}^k\norm{\varphi(x)} = \sum_{\alpha_0+\dots+\alpha_d=k} \frac{k!}{\alpha !} \prod_{i=1}^d x_i^{2\alpha_i}\norm{\varphi(x)}\\
&\leq \sum_{\alpha_0+\dots+\alpha_d=k} \frac{k!}{\alpha !} \prod_{i=1}^d \Norm{X_i^{2\alpha_i}\varphi}_\infty \leq N_{2k}(\varphi)\sum_{\alpha_0+\dots+\alpha_d=k} \frac{k!}{\alpha !} = (1+d)^k N_{2k}(\varphi).
\end{align*}
Donc pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$, on a $\Norm*{\parentheses*{1+\Norm{X}^2}^k \varphi}_\infty \leq C N_{2k}(\varphi)$ avec $C=(1+d)^k$.

Soit maintenant $k \in \N$ tel que $2k \geq - \alpha$. Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, pour tout $x \in \R^d$,
\begin{equation}
\label{eq: integrabilite f phi}
\begin{aligned}
\norm*{f(x)\varphi(x)} &= \ang{x}^\alpha\norm{f(x)}\ang{x}^{-\alpha}\norm{\varphi(x)} \leq \ang{x}^\alpha\norm{f(x)} \parentheses*{1+\Norm{x}^2}^k \norm{\varphi(x)}\\
&\leq \Norm*{\parentheses*{1+\Norm{X}^2}^k \varphi}_\infty \ang{x}^\alpha \norm{f(x)} \leq C N_{2k}(\varphi)\ang{x}^\alpha \norm{f(x)}.
\end{aligned}
\end{equation}
Comme on a supposé $\ang{X}^\alpha f \in L^1(\R^d)$, cette majoration montre que $f \varphi \in L^1(\R^d)$. Donc $S_f:\cS(\R^d) \to \C$ est bien définie. Ensuite, d'après \eqref{eq: integrabilite f phi}, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a
\begin{equation*}
\norm{\prsc{S_f}{\varphi}}\leq \int_{\R^d} \norm{f(x)\varphi(x)} \leq CN_{2k}(\varphi) \int_{\R^d} \ang{x}^\alpha \norm{f(x)}\dx x = C \Norm*{\ang{X}^\alpha f}_1 N_{2k}(\varphi).
\end{equation*}
Comme $S_f$ est linéaire, cela prouve qu'elle est continue sur $\cS'(\R^d)$ et donc $S_f \in \cS'(\R^d)$.

Enfin, pour tout $\varphi \in \cD(\R^d) \subset \cS(\R^d)$, on a $\prsc{S_f}{\varphi} = \displaystyle\int_{\R^d} f(x)\varphi(x) \dx x = \prsc{T_f}{\varphi}$.

\end{sol}

\end{enumerate}

On introduit les fonctions $g:x \mapsto e^{-x^2}$ et $h:x \mapsto x \cos\parentheses{e^{x^2}}e^{x^2}$ de $\R$ dans $\R$.

\begin{enumerate}[resume]

\item \label{q: exemples non integrable} Existe-t-il $\alpha \in \R$ tel que $\ang{X}^\alpha h \in L^1(\R)$?

\begin{hint}
Considérer les propriétés d'intégrabilité sur $\R$ de la fonction $\tilde{h}:x \mapsto \norm*{\cos\parentheses*{e^{x^2}}}$.
\end{hint}

\begin{sol}

Soit $\alpha \in \R$, pour tout $x \in \R$ on a
\begin{equation*}
\ang{x}^\alpha \norm{h(x)} = \underbrace{\overbrace{\norm{x}\ang{x}^\alpha}^{\sim \norm{x}^{1+\alpha}} e^{x^2}}_{\xrightarrow[\norm{x}\to +\infty]{}+\infty}\norm*{\cos\parentheses{e^{x^2}}}.
\end{equation*}
Il existe donc $R_\alpha>0$ tel que si $\norm{x}\geq R_\alpha$ alors $\ang{x}^\alpha \norm{h(x)} \geq \norm*{\cos\parentheses{e^{x^2}}} = \tilde{h}(x)$. On va montrer que $\tilde{h}$ n'est pas intégrable sur $\R \setminus [-R_\alpha,R_\alpha]$, ce qui équivaut à montrer que $\tilde{h}$ n'est pas intégrable sur $\R$ car cette fonction est continue. Cela montrera que  $\ang{X}^\alpha h$ n'est pas intégrable.

Soit $x \in \R$. Comme $\frac{\pi}{4}<1 \leq e^{x^2}$ on a les équivalences
\begin{align*}
\norm*{\cos(e^{x^2})} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} &\iff \exists n \in \N^*, \ n\pi-\frac{\pi}{4} \leq e^{x^2} \leq n\pi +\frac{\pi}{4}\\
&\iff \exists n \in \N^*, \ \ln\parentheses*{n\pi-\frac{\pi}{4}}^\frac{1}{2} \leq \norm{x} \leq \ln\parentheses*{n\pi+\frac{\pi}{4}}^\frac{1}{2}.
\end{align*}
Remarquons que $1 \leq \frac{3\pi}{4} \leq n \pi \pm\frac{\pi}{4}$, donc les bornes ci-dessus ont bien du sens. En notant $u_n = \ln\parentheses*{n\pi+\frac{\pi}{4}}^\frac{1}{2} - \ln\parentheses*{n\pi-\frac{\pi}{4}}^\frac{1}{2}$ pour tout $n \in \N^*$, on a donc $\displaystyle\int_\R \tilde{h}(x) \dx x \geq \sqrt{2} \sum_{n \geq 1} u_n$ et il s'agit de montrer que $u_n$ est le terme général d'une série divergente.

\begin{align*}
\ln\parentheses*{n\pi+\frac{\pi}{4}}^\frac{1}{2} &= \parentheses*{\ln(n\pi)+\ln\parentheses*{1+\frac{1}{4n}}}^\frac{1}{2} = \parentheses*{\ln(n\pi) + \frac{1}{4n}+ O\parentheses*{\frac{1}{n^2}}}^\frac{1}{2}\\
&= \sqrt{\ln(n\pi)}\parentheses*{1 + \frac{1}{4n\ln(n\pi)}+O\parentheses*{\frac{1}{n^2\ln(n\pi)}}}^\frac{1}{2}\\
&= \sqrt{\ln(n\pi)}\parentheses*{1 + \frac{1}{8n\ln(n\pi)}+O\parentheses*{\frac{1}{n^2\ln(n\pi)}}}
\end{align*}
De même $\ln\parentheses*{n\pi-\frac{\pi}{4}}^\frac{1}{2}= \sqrt{\ln(n\pi)}\parentheses*{1 - \frac{1}{8n\ln(n\pi)}+O\parentheses*{\frac{1}{n^2\ln(n\pi)}}}$ donc $u_n \sim \frac{1}{4n\sqrt{\ln (n\pi)}}$. Comme $\ln(n\pi) = \ln(n)+\ln(\pi) \sim \ln(n)$, on a finalement $u_n \sim \frac{1}{4n \sqrt{\ln(n)}}$. Donc $\sum u_n$ diverge, donc $\tilde{h}$ n'est pas intégrable, et donc pour tout $\alpha \in \R$, $\ang{X}^\alpha h \notin L^1(\R)$.

\end{sol}

\item Montrer qu'il existe $S \in \cS'(\R)$ tel que $S_{\vert \cD(\R)} = T_h$.

\begin{sol}

D'après la question~\ref{q: exemples non integrable}, la fonction $h$ ne satisfait pas notre critère et il ne suffit donc pas d'utiliser la question~\ref{q: exemples Sf dans S'}. Cependant, on peut remarquer que $h= v'$, où on a noté $v:x \mapsto \frac{1}{2} \sin\parentheses{e^{x^2}}$.

Comme $v \in L^\infty(\R)$, on a $\ang{X}^{-2} v \in L^1(\R)$. Donc $S_v \in \cS'(\R)$ par la question~\ref{q: exemples Sf dans S'}. On sait que $\cS'(\R)$ est stable par dérivation et, par définition, $\prsc{S_v'}{\varphi} = -\prsc{S_v}{\varphi'}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R)$. Si maintenant $\varphi \in \cD(\R) \subset \cS(\R)$, alors
\begin{equation*}
\prsc{S_v'}{\varphi} = - \prsc{S_v}{\varphi'} = -\prsc{T_v}{\varphi'} = \prsc{T_v'}{\varphi}.
\end{equation*}
Donc $\parentheses*{S_v'}_{\vert \cD(\R)} = T_v'=T_{v'}=T_h$. Ainsi $S = S_v' \in \cS(\R)$ répond à la question.

\end{sol}

\item Peut-on dire que $S=S_h$?

\begin{sol}

D'après la question~\ref{q: exemples non integrable}, on ne peut pas appliquer le résultat de la question~\ref{q: exemples Sf dans S'}. Pour que la formule soit vraie, il faudrait déjà pouvoir donner un sens à $S_h$. Or $S_h$ ne définit pas une distribution tempérée, ni même une fonction sur $\cS(\R)$. Par exemple, on sait que $g \in \cS(\R)$ et $hg:x \mapsto x \cos(e^{x^2})$. Comme dans la question~\ref{q: exemples non integrable}, pour $\norm{x}\geq 1$ on a $\norm{h(x)g(x)} \geq \tilde{h}(x)$ et donc $hg \notin L^1(\R)$. Donc $\prsc{S_h}{g}$ n'est pas définie. Donc $S \neq S_h$, puisque $S_h$ n'a pas de sens.

\begin{rem}
Dans cet exemple, la fonction $h \in L^1_\loc(\R)$ définit une distribution $T_h \in \cD'(\R)$ qui s'étend en une (unique) distribution tempérée $S \in \cS'(\R)$. Cependant, il existe $\varphi \in \cS(\R) \setminus \cD(\R)$ tel que $\prsc{S}{\varphi} \neq \int_\R h(x)\varphi(x) \dx x$, simplement parce que l'intégrale n'est pas définie.

Par abus de langage, on dira souvent qu'une fonction $f \in L^1_\loc(\R^d)$ telle que $T_f$ s'étende en une distribution tempérée définit une distribution tempérée, et on notera $f \in \cS'(\R^d)$. Cela ne signifie pas que l'extension est $S_f$, ni même que $S_f$ est bien définie. Dans ce cadre, attention à ne pas écrire $\prsc{f}{\varphi} = \int f(x) \varphi(x) \dx x$ sans réfléchir pour $\varphi \in \cS(\R^d) \setminus \cD(\R^d)$.
\end{rem}

\end{sol}

\item Calculer $\prsc{S}{g}$.

\begin{sol}

On a $\prsc{S}{g} = \prsc{S_v'}{g} = -\prsc{S_v}{g'} = \int_\R v(x)g'(x) \dx x$, et on a vu que cette intégrale est bien définie, car $g' \in \cS(\R)$. Les fonctions $g$ et $v$ sont paires, donc $g'$ est impaire et $vg'$ est impaire. L'intégrale de cette fonction sur $\R$ est donc nulle. Finalement, $\prsc{S}{g}=0$.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Mesures tempérées]
\label{exo: mesures tempérées}

Dans cet exercice on considère une mesure de Radon (i.e.~finie sur les compacts) positive $\mu$ sur $\R^d$. On note de nouveau $\ang{x}=\parentheses*{1+\Norm{x}^2}^\frac{1}{2}$.

\begin{enumerate}

\item On suppose qu'il existe $\alpha\in \R$ tel que $\ang{X}^\alpha \in L^1(\dx \mu)$. Montrer que $\displaystyle\varphi \mapsto \int_{\R^d} \varphi(x) \dx \mu(x)$ définit une distribution tempérée, que l'on notera encore $\mu$.

\begin{sol}

Comme $\mu$ est une mesure de Radon positive, on sait déjà qu'elle définit une distribution telle que pour tout $\varphi \in \cD(\R^d)$, $\prsc{\mu}{\varphi} = \int_{\R^d} \varphi(x) \dx \mu(x)$.

Soit $k \in \N$ tel que $2k \geq - \alpha$. Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, en utilisant l'indication de la question~\ref{q: exemples Sf dans S'} de l'exercice~\ref{exo: exemples de fonctions dans S'}, on obtient pour tout $x \in \R^d$,
\begin{equation}
\label{eq: integrabilite phi mu}
\norm{\varphi(x)} \leq \ang{x}^{-\alpha}\norm{\varphi(x)} \ang{x}^\alpha \leq \parentheses*{1+\Norm{x}^2}^k\norm{\varphi(x)} \ang{x}^\alpha \leq \Norm*{\parentheses*{1+\Norm{X}^2}^k \varphi}_\infty \ang{x}^\alpha \leq C N_{2k}(\varphi) \ang{x}^\alpha.
\end{equation}
Donc $\cS(\R^d) \subset L^1(\dx \mu)$, et $\varphi \mapsto \int_{\R^d} \varphi(x) \dx \mu(x)$ est une forme linéaire bien définie sur $\cS(\R^d)$. De plus, pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a:
\begin{equation*}
\norm*{\int_{\R^d} \varphi(x) \dx \mu(x)} \leq \int_{\R^d} \norm{\varphi(x)} \dx \mu(x) \leq C \parentheses*{\int_{\R^d} \ang{x}^\alpha \dx \mu(x)} N_{2k}(\varphi).
\end{equation*}
Cette forme linéaire est donc continue. Donc $\mu$ définit bien un élément de $\cS'(\R^d)$.

\end{sol}

\item \label{q: mesure temperee croissance} Inversement, on suppose désormais que $\mu \in \cD'(\R^d)$ s'étend en une distribution tempérée. Montrer qu'il existe $C \geq 0$ et $p\in \N$ tels que $\int_{\Norm{x}\leq R} \dx \mu(x) \leq C R^p$ pour tout $R \geq 1$.

\begin{sol}

Comme $\mu$ est tempérée, il existe $p \in \N$ et $A \geq 0$ tels que $\norm{\prsc{\mu}{\varphi}} \leq A N_p(\varphi)$ pour tout $\varphi \in \cD(\R^d)$. On considère des fonctions plateaux $\chi_R$ comme celles de l'exercice~\ref{exo: densite de D dans S}. Alors, pour tout $R \geq 1$,
\begin{equation*}
\int_{\Norm{x}\leq R} \dx \mu(x) \leq \int_{\Norm{x}\leq R} \chi_R(x) \dx \mu(x) \leq \prsc{\mu}{\chi_R}  = \norm*{\prsc{\mu}{\chi_R}} \leq A N_p(\chi_R).
\end{equation*}
Soient $\alpha$ et $\beta \in \N^d$ tels que $\norm{\alpha} \leq p$ et $\norm{\beta}\leq p$. Pour tout $R\geq 1$ et $x \in \R^d$ tel que $\Norm{x}\leq 2R$ on a
\begin{equation*}
\norm*{x^\alpha\partial^\beta(\chi_R)(x)} = \norm*{x^\alpha} \frac{1}{R^{\norm{\beta}}}\norm*{\partial^\beta\chi\parentheses*{\frac{x}{R}}} \leq \Norm{x}^{\norm{\alpha}} \Norm*{\partial^\beta\chi}_\infty \leq (2R)^p \sum_{\norm{\beta}\leq p}\Norm{\partial^\beta\chi}_\infty.
\end{equation*}
Comme $\chi_R$ et toutes ses dérivées sont nulles hors la boule de centre $0$ et de rayon $2R$, on a donc $\Norm{X^\alpha \partial^\beta\chi_R}_\infty \leq (2R)^p \sum_{\norm{\beta}\leq p}\Norm{\partial^\beta\chi}_\infty$ pour tout $\alpha$ et $\beta$ de longueur inférieur à $p$. Donc $AN_p(\chi_R) \leq CR^p$ où $C=A 2^p\sum_{\norm{\beta}\leq p}\Norm{\partial^\beta\chi}_\infty$. D'où le résultat.

\end{sol}

\item En déduire qu'il existe $\alpha \in \R$ tel que $\ang{X}^\alpha \in L^1(\dx \mu)$.

\begin{sol}

Si $\mu(\R^d) <+\infty$, il suffit de prendre $\alpha=0$. Sinon, pour qu'un tel $\alpha$ existe, il doit nécessairement être négatif. Considérons donc $\alpha <0$, de sorte que $x \mapsto \ang{x}^\alpha$ est décroissante radialement. D'après la question~\ref{q: mesure temperee croissance}, pour tout $n \in \N$, on a
\begin{align*}
\int_{n \leq \Norm{x} \leq n+1} \ang{x}^\alpha \dx\mu(x) &\leq \parentheses*{1+n^2}^\frac{\alpha}{2}\int_{n \leq \Norm{x} \leq n+1} \dx\mu(x) \leq \parentheses*{1+n^2}^\frac{\alpha}{2}\int_{\Norm{x} \leq n+1} \dx\mu(x)\\
&\leq C(1+n^2)^\frac{\alpha}{2}(1+n)^p = O\parentheses*{n^{p+\alpha}}.
\end{align*}
Si $\alpha <-p-1$, alors ces intégrales sont le terme général d'une série convergente, et donc
\begin{equation*}
\int_{\R^d} \ang{x}^\alpha \dx \mu(x) \leq \sum_{n \geq 0} \int_{n \leq \Norm{x} \leq n+1} \ang{x}^\alpha \dx\mu(x) < +\infty.
\end{equation*}
\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Propriétés fonctionnelles de $\cF$ dans $\cS'(\R^d)$]
\label{exo: prop fonctionnelle de F dans S'}

Soient $a \in \R^d$ et $\lambda >0$, on rappelle que pour tout $\varphi \in \cS'(\R^d)$ on a défini $\tau_a\varphi : x \mapsto \varphi(x-a)$ et $\varphi_\lambda:x \mapsto \varphi\parentheses*{\frac{x}{\lambda}}$, et pour tout $T \in \cS'(\R^d)$, on a défini $\tau_aT:\varphi \mapsto \prsc{T}{\tau_{-a}\varphi}$ et $\dil_\lambda T:\varphi \mapsto \lambda^d \prsc{T}{\varphi_\frac{1}{\lambda}}$. On note aussi $e_a:\xi \mapsto e^{i a\cdot \xi}$.

Soit $T \in \cS'(\R^d)$, exprimer les distributions tempérées suivantes en fonction de $\hat{T}$.

\begin{enumerate}

\item $\cF\parentheses*{\partial^\alpha T}$, où $\alpha \in \N^d$.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a $\partial^\alpha \hat{\varphi} = \cF\parentheses*{(-iX)^\alpha \varphi}$ donc
\begin{equation*}
\prsc*{\cF\parentheses*{\partial^\alpha T}}{\varphi} = \prsc*{\partial^\alpha T}{\hat{\varphi}}= (-1)^{\norm{\alpha}} \prsc*{T}{\partial^\alpha \hat{\varphi}} = \prsc*{T}{\cF\parentheses*{(iX)^\alpha \varphi}} = \prsc{(iX)^\alpha \hat{T}}{\varphi}.
\end{equation*}
Donc $\cF\parentheses*{\partial^\alpha T} = (iX)^\alpha \hat{T}$, comme dans $\cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item $\cF\parentheses*{X^\alpha T}$, où $\alpha \in \N^d$.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a $X^\alpha \hat{\varphi} = (-i)^{\norm{\alpha}}\cF\parentheses*{\partial^\alpha\varphi}$ donc
\begin{equation*}
\prsc*{\cF\parentheses*{X^\alpha T}}{\varphi} = \prsc*{T}{X^\alpha \hat{\varphi}} = (-i)^{\norm{\alpha}}\prsc*{T}{\cF\parentheses*{\partial^\alpha \varphi}} = \prsc*{i^\alpha \partial^\alpha\hat{T}}{\varphi}.
\end{equation*}
Donc $\cF\parentheses*{X^\alpha T} = (i \partial)^\alpha \hat{T}$, comme dans $\cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item $\cF\parentheses{\tau_a T}$.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a $\tau_{-a} \hat{\varphi} = \cF\parentheses{e_{-a} \varphi}$ donc
\begin{equation*}
\prsc*{\cF\parentheses*{\tau_a T}}{\varphi} = \prsc*{T}{\tau_{-a} \hat{\varphi}} = \prsc*{T}{\cF\parentheses*{e_{-a} \varphi}} = \prsc*{e_{-a}\hat{T}}{\varphi}.
\end{equation*}
Donc $\cF\parentheses*{\tau_a T} = e_{-a} \hat{T}$, comme dans $\cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item $\cF\parentheses{e_a T}$.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$ on a $e_a \hat{\varphi} = \cF\parentheses{\tau_{-a} \varphi}$ donc
\begin{equation*}
\prsc*{\cF\parentheses*{e_a T}}{\varphi} = \prsc*{T}{e_a \hat{\varphi}} = \prsc*{T}{\cF\parentheses*{\tau_{-a} \varphi}} = \prsc*{\tau_a\hat{T}}{\varphi}.
\end{equation*}
Donc $\cF\parentheses*{e_a T} = \tau_a \hat{T}$, comme dans $\cS(\R^d)$.

\end{sol}

\item $\cF\parentheses{\dil_\lambda T}$.

\begin{sol}

Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, pour tout $\xi \in \R^d$,
\begin{equation*}
\hat{\varphi_\lambda}(\xi) = \int_{\R^d} \varphi\parentheses*{\frac{x}{\lambda}} e^{-i x \cdot \xi} \dx x = \lambda^d \int_{\R^d} \varphi(y) e^{-i y \cdot \lambda \xi}\dx y = \lambda^d \hat{\varphi}(\lambda \xi).
\end{equation*}
Donc $\hat{\varphi_\lambda} = \lambda^d (\hat{\varphi})_\frac{1}{\lambda}$ pour tout $\varphi \in \cS(\R^d)$. On a donc
\begin{equation*}
\prsc*{\cF\parentheses*{\dil_\lambda T}}{\varphi} = \prsc*{\dil_\lambda T}{\hat{\varphi}} = \lambda^d \prsc*{T}{\parentheses*{\hat{\varphi}}_\frac{1}{\lambda}} = \prsc*{T}{\hat{\varphi_\lambda}} = \prsc*{\hat{T}}{\varphi_\lambda}=\lambda^d\prsc{\dil_\frac{1}{\lambda}\hat{T}}{\varphi}.
\end{equation*}
Donc $\cF\parentheses*{\dil_\lambda T}=\lambda^d \dil_\frac{1}{\lambda}\hat{T}$, comme dans $\cS(\R^d)$.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


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\begin{exo}[Transformation de Fourier dans $\cS'$, calculs élémentaires]
\label{exo: TF dans S' elementaire}

Justifier que les distributions suivantes sont tempérées et calculer leurs transformées de Fourier.

\begin{enumerate}

\item \label{q: TF Dirac} $\partial^\alpha\delta_a$ pour tout $\alpha \in \N^d$ et $a \in \R^d$.

\begin{sol}

Soient $a \in \R^d$ et $\alpha \in \N^d$. La distribution $\delta_a$ est supportée en $\brackets{a}$, donc $\partial^\alpha\delta_a$ aussi. Donc $\partial^\alpha\delta_a$ est tempérée car à support compact.

On a $\partial^\alpha\delta_a = \partial^\alpha\parentheses*{\tau_a \delta_0} = \tau_a\parentheses*{\partial^\alpha \delta_0}$. En effet, translations et dérivées partielles commutent pour les fonctions test, donc pour les distributions par dualité. En utilisant l'exercice~\ref{exo: prop fonctionnelle de F dans S'}, on a donc
\begin{equation*}
\cF \parentheses*{\partial^\alpha \delta_a} = \cF\parentheses*{\tau_a\parentheses*{\partial^\alpha \delta_0}} = e_{-a} \cF\parentheses*{\partial^\alpha \delta_0} = e_{-a}(iX)^\alpha \hat{\delta_0} = e_{-a}(iX)^\alpha.
\end{equation*}
Ainsi $\cF \parentheses*{\partial^\alpha \delta_a} \in \cC^\infty(\R^d)$ est la fonction $\xi \mapsto (i\xi)^\alpha e^{-i a\cdot \xi}$.

\end{sol}

\item \label{q: TF cos} $\cos:\R \to \R$.

\begin{sol}

La fonction $\cos$ est bornée, donc elle définit une distribution tempérée. En utilisant l'exercice~\ref{exo: prop fonctionnelle de F dans S'} dans $\cS'(\R)$ on a:
\begin{equation*}
\cF{e_1} = \cF \parentheses*{e_1 \one} = \tau_1 \hat{\one} = \tau_1(2\pi\delta_0) = 2\pi\delta_1.
\end{equation*}
De même, $\cF e_{-1} = 2\pi\delta_{-1}$. Comme $\cos = \frac{1}{2}\parentheses*{e_{-1} + e_{1}}$, on a donc $\hat{\cos} = \pi(\delta_{-1} + \delta_1)$.

\end{sol}

\item \label{q: TF indicatrice} $f=\one_{[-1,1]}$, la fonction indicatrice de $[-1,1]$.

\begin{sol}

Comme $f \in L^1(\R)$, elle définit une distribution tempérée et $\hat{f}$ coïnicide avec sa transformée de Fourier usuelle: c'est la fonction continue définie par $\hat{f}:\xi \mapsto \prsc{f}{e_{-\xi}}$. On peut faire le calcul direct en utilisant cette formule. Nous allons voir une méthode alternative.

On a $f'=\delta_{-1} - \delta_1$. En appliquant la transformée de Fourier à cette égalité, on obtient:
\begin{equation*}
i X \hat{f} = \hat{f'} = \hat{\delta_{-1}} - \hat{\delta_1} = \cF\parentheses*{\tau_{-1}\delta_0} - \cF\parentheses*{\tau_{1}\delta_0}= e_1 - e_{-1}.
\end{equation*}
Donc, pour tout $\xi \neq 0$, on a $\hat{f}(\xi) = 2 \frac{\sin(\xi)}{\xi}= 2 \sinc(\xi)$. Comme les deux membres de cette égalités sont des fonctions $\mathcal{C}^0$, on en déduit que l'égalité est aussi valable en $0$. D'où $\hat{f}=2 \sinc$.

Rappelons que $\sinc$ est la somme de la série entière $\sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^kX^{2k}}{(2k+1)!}$ qui est de rayon de convergence infini. Cette fonction est donc $\cC^\infty$ sur $\R$.

\end{sol}

\item (\emph{facultatif}) $g_{ab} = \one_{[a,b]}$, la fonction indicatrice de $[a,b]$, où $-\infty<a < b<+\infty$.
 
\begin{sol}

Comme dans la question précédente, $g_{ab} \in L^1(\R)$ donc elle définit une distribution tempérée dont la transformée de Fourier est sa transformée de Fourier usuelle. On se ramène à $a=-1$ et $b=1$ par translation et dilatation: $g_{ab} = \tau_{\frac{a+b}{2}}\parentheses*{f_\frac{b-a}{2}} = \tau_{\frac{a+b}{2}}\parentheses*{\dil_\frac{b-a}{2}(f)}$.

En utilisant l'exercice~\ref{exo: prop fonctionnelle de F dans S'} on a donc $\hat{g_{ab}} = e_{-\frac{a+b}{2}}\cF\parentheses*{\dil_\frac{b-a}{2}(f)} = e_{-\frac{a+b}{2}}\parentheses*{\frac{b-a}{2}}\dil_\frac{2}{b-a}\hat{f}$. Donc finalement, $\hat{g_{ab}} : \xi \mapsto (b-a) \exp\left(-i\frac{a+b}{2}\xi\right) \sinc\parentheses*{\frac{b-a}{2}\xi}$.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


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\begin{exo}[Parité et transformée de Fourier]
\label{exo: parite et Fourier}
Pour tout $\varphi:\R^d \to \C$ on note $\check{\varphi}:x \mapsto \varphi(-x)$. Pour tout $T \in \cD'(\R^d)$, on note $\check{T}$ la distribution définie par $\check{T}:\varphi \mapsto \prsc{T}{\check{\varphi}}$. En généralisant le cas des fonctions, on dit que $T \in \cD'(\R^d)$ est \emph{paire} (resp.~\emph{impaire}) si $\check{T}=T$ (resp.~si $\check{T}=-T$).

\begin{enumerate}

\item \label{q: Dirac paire} Montrer que $\delta_0 \in \cD'(\R)$ est paire et que $\vp\parentheses*{\dfrac{1}{x}} \in \cD'(\R)$ est impaire.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cD(\R^d)$, on a $\prsc*{\check{\delta_0}}{\varphi} = \prsc*{\delta_0}{\check{\varphi}} = \check{\varphi}(0)= \varphi(0)$. Donc $\check{\delta_0}=\delta_0$ et $\delta_0$ est paire. Par ailleurs, pour tout $\varphi \in \cD(\R)$,
\begin{equation*}
\prsc*{\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}}{\check{\varphi}} = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\R \setminus \squarebrackets{-\epsilon,\epsilon}} \frac{\varphi(-x)}{x}\dx x = \lim_{\epsilon \to 0} -\int_{\R \setminus \squarebrackets{-\epsilon,\epsilon}} \frac{\varphi(x)}{x}\dx x = - \prsc*{\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}}{\varphi}
\end{equation*}
et donc $\check{\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}} = - \vp\parentheses*{\frac{1}{x}}$.

\end{sol}

\item \label{q: parite et TF fonction} Soit $\varphi \in \cS(\R^d)$, montrer que $\check{\hat{\varphi}}=\hat{\check{\varphi}}$.

\begin{sol}

Pour tout $x \in \R$ on a:
\begin{equation*}
\check{\hat{\varphi}}(\xi) = \hat{\varphi}(-\xi) = \int_{\R^d} \varphi(x) e^{i x \cdot \xi} \dx x = \int_{\R^d} \varphi(-x) e^{-i x \cdot \xi} \dx x = \int_{\R^d} \check{\varphi}(x) e^{-ix \cdot \xi}\dx x = \hat{\check{\varphi}}(\xi).
\end{equation*}
Donc $\check{\hat{\varphi}} = \hat{\check{\varphi}}$.

\end{sol}

\item \label{q: parite et TF distribution} Soit $S \in \cS'(\R^d)$, montrer que $\check{\hat{S}}=\hat{\check{S}}$.

\begin{sol}

Pour tout $\varphi \in \cS(\R)$, on a:
\begin{equation*}
\prsc*{\check{\hat{S}}}{\varphi} = \prsc*{\hat{S}}{\check{\varphi}} = \prsc*{S}{\hat{\check{\varphi}}} = \prsc*{S}{\check{\hat{\varphi}}} = \prsc*{\check{S}}{\hat{\varphi}} = \prsc*{\hat{\check{S}}}{\varphi},
\end{equation*}
et donc $\check{\hat{S}} = \hat{\check{S}}$.

\begin{rem}
En particulier, la transformée de Fourier d'une fonction ou d'une distribution paire (resp.~impaire) est paire (resp.~impaire).
\end{rem}

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


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\begin{exo}[Transformation de Fourier dans $\cS'$, calculs moins élémentaires]
\label{exo: TF dans S' pas elementaire}

On note $H = \one_{[0,+\infty[}$ la fonction de Heaviside et $S:\R \to \R$ la fonction signe, définie par $S(x) = -1$ si $x <0$, $S(0)=0$ et $S(x)=1$ si $x>0$.

\begin{enumerate}

\item \label{q: S dans S'} Justifier que $S$ définit une distribution tempérée sur $\R$ et montrer que $x \hat{S}= -2i$.

\begin{sol}

On a $S \in L^\infty(\R) \subset \cS'(\R)$. Comme $\cS'(\R)$ est stable par transformée de Fourier et multiplication par une fonction polynomiale, on a $x \hat{S} \in \cS'(\R)$. Pour tout $\varphi \in \cS(\R)$,
\begin{equation*}
\prsc*{x \hat{S}}{\varphi} = \prsc*{\hat{S}}{x \varphi} = \prsc*{S}{\hat{x \varphi}} = \prsc*{S}{i\hat{\varphi}'} = -i\prsc*{S'}{\hat{\varphi}} = -2i \prsc*{\delta_0}{\hat{\varphi}} = -2i\prsc*{\hat{\delta_0}}{\varphi}
\end{equation*}
On en conclut que $x \hat{S} = -2i \hat{\delta_0}= -2i$.

\end{sol}

\item \label{q: S hat} En déduire que $\hat{S}= -2i \vp\parentheses*{\frac{1}{x}}$.

\begin{hint}
Montrer que $\hat{S}+2i\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}$ est un multiple de $\delta_0$ et utiliser un argument de parité.
\end{hint}

\begin{sol}

On rappelle que $x \vp\parentheses*{\frac{1}{x}}=1$. On vient de voir que $x \hat{S} = -2i$, donc $x \parentheses*{\hat{S}+2i \vp\parentheses*{\frac{1}{x}}}=0$. On sait que les solutions de l'équation $xT = 0$ d'inconnue $T \in \cD'(\R)$ sont les multiples des $\delta_0$. Il existe donc $\lambda \in \C$ tel que $\hat{S}= -2i\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}+\lambda \delta_0$. Il reste à déterminer $\lambda$, ce que l'on va faire par des considérations de parité.

La fonction $S$ est impaire. Comme l'opération $\check{\cdot}$ sur $\cD'(\R)$ prolonge celle sur les fonctions, on a $\check{S}=-S$ dans $\cD'(\R)$. Par la question~\ref{q: parite et TF distribution} de l'exercice~\ref{exo: parite et Fourier}, on a donc: $\check{\hat{S}} = \hat{\check{S}} = -\hat{S}$. En utilisant les propriétés de parité de $\delta_0$ et $\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}$ prouvée dans la question~\ref{q: Dirac paire} de l'exerice~\ref{exo: parite et Fourier}, on obtient:
\begin{equation*}
2i \vp\parentheses*{\frac{1}{x}} - \lambda \delta_0=-\hat{S}=\check{\hat{S}} = \check{\parentheses*{-2i\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}+\lambda \delta_0}} = -2i \check{\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}} + \lambda \check{\delta_0} = 2i \vp\parentheses*{\frac{1}{x}} + \lambda \delta_0.
\end{equation*}
Cela impose $2\lambda\delta_0=0$ et donc $\lambda=0$. Finalement, on a donc $\hat{S}=-2i \vp\parentheses*{\frac{1}{x}}$.

\end{sol}

\item \label{q: H hat} Calculer $\hat{H}$ dans $\cS'(\R)$.

\begin{sol}

On écrit la fonction de Heaviside sous la forme $H = \frac{1}{2}\parentheses{1+S}$. D'où $H \in \cS'(\R)$ et:
\begin{equation*}
\hat{H} = \frac{1}{2}\parentheses*{\hat{1} + \hat{S}} = \frac{1}{2} \parentheses*{2\pi\delta_0 -2i \vp\parentheses*{\frac{1}{x}}} = \pi\delta_0 -i\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}.
\end{equation*}

\end{sol}

\item \label{q: TF de vp} Justifier que $\vp\parentheses*{\dfrac{1}{x}} \in \cS'(\R)$ et calculer sa transformée de Fourier.

\begin{sol}

Comme $S \in \cS'(\R)$ on a $\hat{S} \in \cS'(\R)$. D'après la question~\ref{q: S hat}, on a $\vp\parentheses*{\frac{1}{x}} = \frac{i}{2}\hat{S} \in \cS'(\R)$. Alternativement, $\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}$ est somme d'une distribution à support compact et d'une fonction bornée. Par inversion de Fourier, on obtient: $\hat{\vp\parentheses*{\frac{1}{x}}} = \frac{i}{2} \hat{\hat{S}} = \frac{i}{2} (2\pi) \check{S} = -i\pi S$.

\end{sol}

\end{enumerate}

\end{exo}


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\begin{exo}[Transformée de Fourier des distributions à support compact --- \emph{facultatif}]
\label{exo: TF de E'}

Soient $T \in \cE'(\R) \subset \cS'(\R)$ et $R >0$ tel que $\supp(T) \subset ]-R,R[$. Soit $\chi \in \cD(\R)$ tel que $\chi \equiv 1$ sur $[-R,R]$ et $\supp(\chi) \subset [-2R,2R]$. On rappelle que $\hat{T}$ est continue sur $\R$ et que $\hat{T}(\xi)=\prsc{T}{e_{-\xi}} = \prsc{T}{\chi e_{-\xi}}$ pour tout $\xi \in \R$.

\begin{enumerate}

\item \label{q: TF de E' CVN} Soit $\xi \in \R$, pour tout $k \in \N$ on note $f_k:x \mapsto (-i\xi)^k \chi(x) \frac{x^k}{k!}$. Pour tout $p \in \N$, montrer que $\sum_{k \geq 0} f_k^{(p)}$ converge normalement sur $\R$.

\begin{sol}

Déjà, pour tout $k \in \N$ on a $f_k \in \cD(\R)$ et $\supp(f_k) \subset \supp(\chi) \subset [-2R,2R]$. Soit $p \in \N$, pour tout $x \in [-2R,2R]$, on a
\begin{equation*}
\norm*{f_k^{(p)}(x)} = \norm*{(-i\xi)^k \sum_{q=0}^{\min(p,k)} \binom{p}{q} \chi^{(p-q)}(x) \frac{x^{k-q}}{(k-q)!}} \leq \Norm{\chi}_{\cC^p} \norm{\xi}^k \sum_{q=0}^{\min(p,k)}\binom{p}{q} \frac{(2R)^{k-q}}{(k-q)!},
\end{equation*}
où $\Norm{\chi}_{\cC^p} = \sum_{i=0}^p \Norm{\chi^{(i)}}_\infty$. Comme $f_k^{(p)}$ est nulle hors de $[-2R,2R]$, on en déduit l'inégalité $\Norm{f_k^{(p)}}_\infty \leq \Norm{\chi}_{\cC^p} \norm{\xi}^k \sum_{q=0}^{\min(p,k)}\binom{p}{q} \frac{(2R)^{k-q}}{(k-q)!}$. Donc
\begin{align*}
\sum_{k \geq 0} \Norm{f_k^{(p)}}_\infty &\leq \Norm{\chi}_{\cC^p} \sum_{k \geq 0} \sum_{q=0}^{\min(p,k)}\binom{p}{q}\norm{\xi}^q \frac{(2R\norm{\xi})^{k-q}}{(k-q)!} = \Norm{\chi}_{\cC^p}\sum_{q=0}^p \binom{p}{q}\norm{\xi}^q \sum_{k\geq q} \frac{(2R\norm{\xi})^{k-q}}{(k-q)!}\\
&\leq \Norm{\chi}_{\cC^p} e^{2R\norm{\xi}} \sum_{q=0}^p \binom{p}{q}\norm{\xi}^q = \Norm{\chi}_{\cC^p} e^{2R\norm{\xi}} \parentheses{1+\norm{\xi}}^p <+\infty.
\end{align*}

\end{sol}

\item \label{q: TF dans E' CV dans D} En déduire que $\sum_{k=0}^n f_k \xrightarrow[n \to +\infty]{\cD} \chi e_{-\xi}$.

\begin{sol}

D'après la question~\ref{q: TF de E' CVN}, la série de fonction $f = \sum_{k \geq 0} f_k$ définit une fonction $\cC^\infty$ sur $\R$ et, pour tout $p \in \N$, $f^{(p)} = \sum_{k \geq 0} f_k^{(p)}$ avec convergence normale donc uniforme sur $\R$. En particulier, pour tout $p \in \N$, $\Norm*{f^{(p)} - \sum_{k=0}^n f_k^{(p)}}_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{}0$, et donc $\sum_{k=0}^n f_k \xrightarrow[n \to +\infty]{\cD} f$.

Pour tout $x \in \R$, $f(x) = \sum_{k \geq 0}f_k(x) = \chi(x) \sum_{k \geq 0} \frac{(-i\xi x)^k}{k!} = \chi(x) e^{-i \xi x}$. Donc $f = \chi e_{-\xi}$.

\end{sol}

\item Montrer que $\hat{T}$ est la somme sur $\R$ d'une série entière de rayon de convergence infini.

\begin{sol}

Pour tout $\xi \in \R$, la question~\ref{q: TF dans E' CV dans D} montre que
\begin{equation*}
\hat{T}(\xi) = \prsc{T}{\chi e_{-\xi}} = \lim_{n \to +\infty} \prsc*{T}{\sum_{k=0}^n f_k} = \sum_{k \geq 0} \prsc{T}{f_k} = \sum_{k \geq 0} \frac{(-i)^k}{k!}\prsc{T}{\chi X^k} \xi^k.
\end{equation*}
En particulier, la série entière dans le terme de droite converge simplement en tout $\xi \in \R$. Cela assure que son rayon de convergence est infini.

\end{sol}

\end{enumerate}

\begin{rem}
On vient de montrer que si $T \in \cE'(\R)$ alors $\hat{T}$ est une fonction entière, en particulier de classe~$\cC^\infty$. Ce résultat reste valable pour $T \in \cE'(\R^d)$. Réciproquement, le théorème de Paley--Wiener affirme qu'une fonction entière sur $\C^d$ satisfaisant certaines hypothèses de croissance à l'infini est la transformée de Fourier d'une distribution $T \in \cE'(\R^d)$.
\end{rem}

\end{exo}

\end{document}