\documentclass[11pt]{article}

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\usepackage{pgf,tikz}
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\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
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\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
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\DeclareMathOperator{\isom}{Isom}
\DeclareMathOperator{\rk}{rg}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sim}{Sim}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Convexité}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}
Quels sont les convexes de $\R$ ?
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer qu'une réunion croissante de convexes est convexe.
\end{exo}

\begin{exo}[Somme de Minkowski, Berger T.~3 p.~11]
Soient $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ deux convexes d'un espace vectoriel $E$, soient $\alpha$ et $\alpha' \in \R$, montrer que $\alpha \mathcal{C} + \alpha' \mathcal{C}'$ est un convexe.
\end{exo}

\begin{exo}[$\epsilon$-voisinage, Berger T.~3 pp.~11--12]
Soit $\E$ un espace affine euclidien. Pour tout $\mathcal{A} \subset \E$ et tout $\epsilon >0$, on note $V(\mathcal{A},\epsilon) := \{x \in \E \mid d(x,\mathcal{A}) < \epsilon\}$ le $\epsilon$-voisinage ouvert (resp.~$\bar{V}(\mathcal{A},\epsilon):=\{x \in \E \mid d(x,\mathcal{A}) \leq \epsilon\}$ le $\epsilon$-voisinage fermé) de $\mathcal{A}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $V(\mathcal{A},\epsilon) = \mathcal{A} + \B(0,\epsilon)$, où $\B(0,\epsilon)$ est la boule ouverte de centre $0$ et de rayon $\epsilon$ dans $E$.
\item Si $\mathcal{A}$ est compact, montrer que $\bar{V}(\mathcal{A},\epsilon) = \mathcal{A} + \bar{\B(0,\epsilon)}$.
\item En déduire que si $\mathcal{A}$ est convexe alors $V(\mathcal{A},\epsilon)$ est convexe. Si de plus $\mathcal{A}$ est compact, en déduire également que $\bar{V}(\mathcal{A},\epsilon)$ est convexe.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Topologie des convexes, Berger T.~3 sect.~11.2 et 11.3]
Soit $\mathcal{C} \subset \E$ un convexe non vide d'un espace affine de dimension finie $n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\bar{\mathcal{C}}$ est convexe.
\item Soient $A \in \bar{\mathcal{C}}$ et $B \in \mathring{\mathcal{C}}$, montrer que $]AB[\ \subset \mathring{C}$. En déduire que $\mathring{C}$ est convexe.
\item Montrer que $\mathring{\mathcal{C}} = \mathring{\bar{\mathcal{C}}}$. Si de plus $\mathring{\mathcal{C}} \neq \emptyset$, montrer que $\bar{\mathcal{C}} = \bar{\mathring{\mathcal{C}}}$.
\item Si $\mathcal{C}$ est compact, montrer que $C$ est l'enveloppe convexe de sa frontière. Que se passe-t-il lorsque $\mathcal{C}$ n'est pas compact ?
\item Si $\mathcal{C}$ est ouvert, montrer que $\mathcal{C}$ est homéomorphe à $\R^n$.
\item Si $\mathcal{C}$ est compact, montrer que $\mathcal{C}$ est homéomorphe à la boule unité fermée de $\R^n$. Montrer que sa frontière est homéomorphe à $\S^{n-1}$.
\item L'enveloppe convexe d'un borné (resp.~fermé) est-elle bornée (resp.~fermée) ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Dans un espace affine de dimension infinie, l'enveloppe convexe d'un compact est-elle compacte ?
\end{exo}

\begin{exo}[Droite sécante, Berger T.~3 p.~56]
Soit $\E$ un plan affine réel et $(\mathcal{S}_i)_{i \in I}$ une famille finie de segments parallèles telle que pour tout $i,j$ et $k \in I$, il existe une droite intersectant $\mathcal{S}_i$, $\mathcal{S}_j$ et $\mathcal{S}_k$. Montrer qu'il existe une droite intersectant tous les $\mathcal{S}_i$.
\end{exo}

\begin{exo}[Points centraux, Matou\v{s}ek sect.~1.4]
Soit $\E$ un $\R$-espace affine de dimension $n$ et $\mathcal{A} \subset \E$ un ensemble fini de cardinal $k$. On dit qu'un point $M \in \E$ est \emph{central} pour $\mathcal{A}$ si tout demi-espace fermé contenant $M$ contient au moins $\frac{k}{n+1}$ points de $\mathcal{A}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $M$ est central si et seulement si pour tout demi-espace ouvert $\delta$ contenant strictement plus de $\frac{n}{n+1}k$ points de $\mathcal{A}$ on a $M \in \delta$.
\item Montrer que $\mathcal{A}$ possède un point central.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}