\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
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\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Géométrie euclidienne}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}[Identité du parallélogramme]
Soit $ABCD$ un parallélogramme dans un espace affine euclidien $\E$, montrer que:
\begin{equation*}
d(A,B)^2 + d(B,C)^2 + d(C,D)^2 + d(D,A)^2 = 2 d(A,C)^2 + 2 d(B,D)^2.
\end{equation*}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que les hauteurs (resp.~bissectrices, resp.~médiatrices, resp.~médianes) d'un triangle sont concourantes.
\end{exo}

\begin{exo}[Constructions à la règle et au compas]
Soit $\E$ un plan affine euclicien.
\begin{enumerate}
\item Soient $\D$ une droite de $\E$ et $A \in \E$, construire à la règle et au compas la perpendiculaire à $\D$ passant par $A$.
\item Même question avec la parallèle à $\D$ passant par $A$.
\item Soient $\D_1$, $\D_2$ et $\D_3$ trois droites parallèles de $\E$. Construire à la règle et au compas trois points $A,B,C$ tels que $A \in \D_1$, $B \in \D_2$, $C \in \D_3$ et $ABC$ est équilatéral.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Cercle et droite d'Euler, Eiden pp.~30 et 224]
Soit $ABC$ un vrai triangle du plan euclidien, on note:
\begin{itemize}
\item $G$ le centre de gravité de $ABC$,
\item $H$ l'orthocentre de $ABC$,
\item $O$ le centre du cercle circonscrit à $ABC$,
\item $M_A$, $M_B$ et $M_C$ les milieux respectifs de $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$,
\item $H_A$, $H_B$ et $H_C$ les pieds des hauteurs issues de $A$, $B$ et $C$ respectivement,
\item $H'_A$, $H'_B$ et $H'_C$ les symétriques $H$ par rapport à $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$ respectivement.
\item $P_A$, $P_B$ et $P_C$ les milieux respectifs de $[AH]$, $[BH]$ et $[CH]$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Soit $h$ l'homothétie de centre $G$ et de rapport $-\frac{1}{2}$, montrer que l'image de $ABC$ par $h$ est $M_AM_BM_C$. On note $\Gamma$ le cercle circonscrit à $M_AM_BM_C$
\item Montrer que $h(H)=O$. On note $\Omega := h(O)$. Montrer que $\Omega$ est le centre de $\Gamma$.
\item Montrer que $\vv{\Omega H}=-\vv{\Omega O}$. En déduire que $O,G,\Omega$ et $H$ sont alignés dans cet ordre.
\item Soit $h'$ l'homothétie de centre $H$ et de rapport $2$, montrer que $h'(\Omega)=O$ et $h'(\Gamma)$ est le cercle circonscrit à $ABC$. (\emph{Indication}: quelle est la nature de $h'\circ h$ ?)
\item Montrer que $H'_A$, $H'_B$ et $H'_C$ appartiennent au cercle circonscrit à $ABC$.
\item En déduire que $H_A$, $H_B$ et $H_C \in \Gamma$.
\item Montrer que $P_A$, $P_B$ et $P_C \in \Gamma$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\D$ une droite d'un plan affine euclidien, $A$ et $B$ deux points hors de $\D$ et dans le même demi-plan. Construire $M \in \D$ tel que $d(M,A)+d(M,B)$ soit minimal.
\end{exo}

\begin{exo}[Point de Fermat, Fresnel pp.~212--214]
Soient $ABC$ un triangle non dégénéré d'un plan affine euclidien et $f:M \mapsto d(M,A)+d(M,B)+d(M,C)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ admet un unique minimum, en un point $M$ situé dans l'enveloppe convexe des sommets.
\item Si $M \notin \{A,B,C\}$ , montrer que les angles orientés $\widehat{(\vv{MA},\vv{MB})}$, $\widehat{(\vv{MB},\vv{MC})}$, $\widehat{(\vv{MC},\vv{MB})}$ sont égaux. En déduire que leur mesure  est congrue à $\pm \frac{2\pi}{3}$ après un choix d'orientation du plan.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}