\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
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\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
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\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
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\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
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\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
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\DeclareMathOperator{\Sim}{Sim}
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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Isométries et similitudes affines}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}[Plus de produits semi-directs]
Soit $(\E,E,\prsc{\cdot}{\cdot})$ un espace affine euclidien, montrer que $\isom(\E) \simeq E \rtimes O(E)$ et $\isom^+(\E) \simeq E \rtimes SO(E)$. Montrer de même que $\Sim(\E)$ (resp.~$\Sim^+(\E)$) est le produit semi-direct de $E$ par le groupe des similitudes (resp.~similitudes directes) vectorielles  de $E$.
\end{exo}

\begin{exo}[Action des isométries]
Soit $(\E,E,\prsc{\cdot}{\cdot})$ un espace affine euclidien.
\begin{enumerate}
\item Déterminer un invariant total pour l'action de $\isom(\E)$ sur les couples de points de~$\E$.
\item Déterminer un invariant total pour l'action de $\isom^+(\E)$ sur les couples de points de~$\E$ lorsque $n \geq 2$. Que se passe-t-il en dimension $1$ ?
\item Déterminer des invariants totaux pour les actions de $\isom(\E)$ et $\isom^+(\E)$ sur les triplets de points de $\E$.
\item Montrer que $\isom(\E)$ agit simplement transitivement sur les repères euclidiens de $\E$. Combien y a-t-il d'orbites pour l'action de $\isom^+(\E)$ sur les repères euclidiens ? Déterminer un invariant total pour cette action.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Groupes finis d'isométries]
Soit $(\E,E,\prsc{\cdot}{\cdot})$ un espace affine euclidien.
\begin{enumerate}
\item Soit $G$ un sous-groupe fini de $\isom(\E)$, montrer que les éléments de $G$ ont un point fixe commun.
\item Si $\dim(E) = 2$, déterminer les sous-groupes finis de $SO(E)$ et $O(E)$.
\item En déduire la liste des sous-groupes finis de $\isom(\E)$ et $\isom^+(\E)$ lorsque $\dim(\E)=2$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Générateurs de $\isom(\E)$, Fresnel pp.~146--147]
Soit $\E$ un espace affine euclidien. Soient $f \in \isom(\E)$ et $r := \rk\left(\vv{f}-\Id_E\right)$. 
\begin{enumerate}
\item Si $f$ a un point fixe, montrer que $f$ s'écrit comme produit de $r$ réflexions affines et pas moins.
\item Si $f$ a un point fixe, montrer que $f$ s'écrit comme produit de $r+2$ réflexions affines et pas moins.
\item Montrer que $f$ s'écrit comme produit d'au plus $\dim(\E)+1$ réflexions.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Décomposition en réflexions]
Pour chacune des classes d'isométries en dimension $2$ ou $3$ donner une décomposition explicite en produit de réflexions, avec le nombre minimal de réflexions.
\end{exo}

\begin{exo}[Composée de rotations]
Soient $r_{A,\alpha}$ et $r_{B,\beta}$ deux rotations d'un plan affine euclidien, de centre $A$ (resp.~$B$) et d'angle $\alpha$ (resp.~$\beta$). Déterminer la nature de la composée de ces rotations et ses éléments caractéristiques.
\end{exo}

\begin{exo}[Action des similitudes]
Soit $\E$ un espace affine euclidien.
\begin{enumerate}
\item Déterminer un invariant total pour l'action de $\Sim(\E)$ sur les triplets de points alignés (resp.~non alignés).
\item Même question pour l'action de $\Sim^+(\E)$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}