\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
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\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

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% Definition des operateurs
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\DeclareMathOperator{\card}{Card}
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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Angles}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, déterminer un invariant total pour l'action de $O(E)$ sur les couples de vecteurs de $E$.
\end{exo}

\begin{exo}[Angles et réflexions]
Soient $\D_1$ et $\D_2$ deux demi-droites d'un plan vectoriel euclidien, montrer qu'on a $\widehat{(\D_1,\D_2)}=-\widehat{(\D_2,\D_1)}$ entre angles orientés et $\widehat{(\D_1,\D_2)}=\widehat{(\D_2,\D_1)}$ entre angles géométriques.
\end{exo}

\begin{exo}[Angles de droites et de demi-droites, Audin p.~73]
Soient $\D$ et $\D'$ deux droites d'un plan euclidien et $\widehat{(D,D')}$ l'angle de droites orienté qu'elles définissent. Vérifier que $2\widehat{(D,D')}$ définit bien un unique angle orienté de demi-droites. En déduire que les groupes des angles orientés de droites et de demi-droites sont isomorphes.
\end{exo}

\begin{exo}[Angles et orientation, Audin p.~110]
Dans un plan euclidien orienté~$E$, soient $u,v \in E \setminus \{0\}$. Montrer que $(u,v)$ est une base directe (resp.~indirecte) de $E$ si et seulement si $\widehat{(u,v)}$ admet une mesure dans $]0,\pi[$ (resp.~dans $]-\pi,0[$). Que se passe-t-il si les mesures de $\widehat{(u,v)}$ sont congrues à $0$ (resp.~$\pi$) modulo $2\pi$?
\end{exo}

\begin{exo}[Bissectrices, Berger T.~2 sect.~8.7]
Montrer que l'équation $2x=a$ d'inconnue~$x$ a exactement deux solutions dans le groupes des angles orientés de droites (resp.~demi-droites). Utiliser ce fait pour définir les bissectrices d'un angle orienté de droites (resp.~demi-droites).
\end{exo}

\begin{exo}[Audin, pp.~83--84]
Soient $A,B$ et $C$ trois points distincts sur un cercle de centre $O$ dans un plan affine euclidien.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'on a l'égalité d'angles orientés de demi-droites $\widehat{\left(\vv{OA},\vv{OB}\right)} = 2 \widehat{\left(\vv{CA},\vv{CB}\right)}$.
\item En déduire que l'angle orienté de droites $\widehat{\left((CA),(CB)\right)}$ ne dépend pas de~$C$.
\item On note $\mathcal{D}$ la tangente au cercle en $B$, montrer que $\widehat{\left(\vv{OA},\vv{OB}\right)} = 2 \widehat{\left((AB),\mathcal{D}\right)}$. En quoi ce résultat est-il le cas limite de la question précédente ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Audin, p.~85]
Soient $A,B$ et $C$ trois points non alignés d'un plan affine euclidien.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un unique cercle $\mathcal{C}$ passant par $A,B$ et $C$ et expliquer comment construire son centre $O$.
\item Montrer que $D\in \mathcal{C}$ si et seulement si $\widehat{\left((CA),CB)\right)}=\widehat{\left((DA),(DB)\right)}$.
\item On identifie le plan à $\C$ par le choix d'une base orthonormée. Traduire le critère de cocyclicité précédent en termes des affixes $a,b,c$ et $d$ des points $A,B,C$ et $D$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Angles et similitudes affines]
Soient $\E$ un espace affine euclidien de dimension au moins~$2$ et $f : \E \to \E$. On dit que $f$ préserve les angles orientés (resp.~non-orientés) de demi-droites, si pour tout $A,B,C \in \E$ avec $B\neq A \neq C$ on a
\begin{equation*}
\widehat{\left(\vv{f(A)f(B)},\vv{f(A)f(C)}\right)} = \widehat{\left(\vv{AB},\vv{AC}\right)}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f \in \Sim(\E)$ si et seulement si $f$ préserve les angles non-orientés de demi-droites.
\item Si $\dim(\E)=2$, montrer que $f \in \Sim^+(\E)$ si et seulement si $f$ préserve les angles orientés de demi-droites.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}