\documentclass[11pt]{article}

% Packages

% Packages langues et encodage
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{csquotes}

% Packages maths
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
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\usepackage{stmaryrd}
\usepackage[all]{xy}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[top=3cm, left=3cm, right=3cm, bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0}]{hyperref}

% Packages graphiques
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}

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\usepackage{color}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Nombres complexes en géométrie}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}[Une formule bien connue]
Montrer que $e^{i\pi} +1 =0$.
\end{exo}

\begin{exo}[Trigonométrie]
Vérifier que vous savez redémontrer les formules de trigonométrie usuelles:
\begin{align*}
\cos(a+b) &= \cos(a) \cos(b) - \sin(a)\sin(b),\\
\sin(a+b) &= \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a),\\
&\dots
\end{align*}
Montrer que pour tout $x \in \R$, $\cos(3x) = 4 \cos(x)^3 - 3 \cos(x)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Forme cartésienne, forme polaire]
\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme cartésienne les complexes: $\frac{9+2i}{3-2i}$, $(2+3i)^3$ et $e^{i\frac{7\pi}{12}}$.
\item Mettre sous forme polaire les complexes: $\sqrt{3}+i$ et $\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{6}+i\sqrt{2}}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Cercles-droites]
Déterminer l'image du cercle de centre $1$ et de rayon $1$ dans $\C$ par $z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}$.
\end{exo}

\begin{exo}[Équations en complexes]
Déterminer la nature géométrique des ensembles suivants:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\{z \in \C \ | \ z\bar{z} = 4\}$,
\item $\{z \in \C \ | \ z+\bar{z} = 1\}$,
\item $\{z \in \C \ | \ \norm{z-2}=\norm{z+i}\}$,
\item $\{z \in \C \ | \ \arg(z-i)=\frac{\pi}{4}\}$,
\item $\left\{ z \in \C\setminus\{1\} \mvert \Re\left(\frac{z+1}{z-1}\right) = 0\right\}$,
\item $\left\{ z \in \C \mvert \Re\left(z (\overline{b-a})\right) = \frac{\norm{b}^2-\norm{a}^2}{2}\right\}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Angle moitié et angle au centre]
Soient $\alpha$ et $\theta \in \R$, calculer l'argument de $\frac{e^{i\theta}-e^{i\alpha}}{e^{i\theta}-1}$. En déduire le théorème de l'angle au centre.
\end{exo}

\begin{exo}[Caractérisation des triangles équilatéraux]
Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral si et seulement si $a+bj+cj^2 =0$ ou $a+bj^2+cj=0$, où $j:= e^{\frac{2i\pi}{3}}$.
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème de Gauss--Lucas]
Soit $P \in \C[X]$, montrer que les racines de $P'$ appartiennent à l'enveloppe convexe des racines de $P$.
\end{exo}

\begin{exo}[Isométries hyperboliques] Soit $M := \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix} \in SL_2(\R)$, on définit pour tout $z \in \C \cup \{\infty\}$, $M\cdot z:= \frac{az+b}{cz+d}$, avec les conventions que $M\cdot \infty := \frac{a}{c}$ et $M\cdot (-\frac{d}{c}) := \infty$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que ceci définit bien une action de groupe $SL_2(\R) \acts \C \cup \{\infty\}$.
\item Déterminer le noyau de cette action.
\item Montrer que $\H := \left\{z \in \C \mvert \Im(z) >0 \right\}$ est stable sous l'action de $SL_2(\R)$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}