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% Definition des environnements
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	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
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	\newtheorem*{ex}{Exemple}
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	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
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% Definiition des commandes
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\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
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\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

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% Definition des operateurs
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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Isométries et similitudes vectorielles, groupe orthogonal}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}[Caractérisations des isométries vectorielles, Berger T.~2 sect.~8.1]
Soit $\varphi : E \to F$ une application ensembliste entre espaces vectoriels euclidiens de même dimension, montrer que les propositions suivantes sont équivalentes.
\begin{itemize}
\item $\forall x,y \in E$, $\prsc{\varphi(x)}{\varphi(y)}_F = \prsc{x}{y}_E$.
\item $\varphi$ est linéaire et $\forall x \in E$, $\Norm{\varphi(x)}_F = \Norm{x}_E$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[Centre du groupe orthogonal, Berger T.~2 sect.~8.2]
Soit $(E,\prsc{\cdot}{\cdot})$ un espace euclidien, déterminer le centre de $O(E)$ et le centre de $SO(E)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Générateurs du groupe orthogonal, Berger T.~2 sect.~8.4]
Soit $(E,\prsc{\cdot}{\cdot})$ un espace euclidien, soient $\varphi \in O(E)$ et $r := \rk(\varphi - \Id)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\varphi$ est produit de $r$ réflexions et que ce nombre est minimal.
\item Si $\dim(E) \geq 3$ et $\varphi \in SO(E)$, montrer que $\varphi$ est produit d'au plus $r$ retournements. Ce nombre est-il minimal? Qu'en est-il en dimension $2$?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Décomposition en réflexions]
Soit $(E,\prsc{\cdot}{\cdot})$ un plan euclidien, montrer que tout élément de $SO(E)$ est produit de deux réflexions, dont l'une peut être choisie arbitrairement.
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer un invariant total pour l'action naturelle $O(E) \acts E$. Quelles sont les orbites de cette action? Mêmes questions pour l'action naturelle de $O(E)$ sur $E \times E$. Que se passe-t-il si on remplace $O(E)$ par $SO(E)$?
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que $O(E)$ agit simplement transitivement sur l'ensemble des bases orthonormée de $(E,\prsc{\cdot}{\cdot})$. Combien y a-t-il d'orbites pour l'action de $SO(E)$ sur ces bases?
\end{exo}

\begin{exo}[Conjugaison]
\begin{enumerate}
\item Dans $O_2(\R)$, soit $r$ la rotation d'angle $\alpha$, $s$ et $s'$ deux réflexions par rapport aux droites $D$ et $D'$. Déterminer le type et les éléments caractéristiques de $srs^{-1}$, $ss's^{-1}$, $rsr^{-1}$.
\item Soient $r$ et $r'$ deux rotations de $SO_3(\R)$, déterminer les éléments caractéristiques de $rr'r^{-1}$ en fonction de ceux de $r$ et $r'$.
\item À quelle condition deux rotations de $SO_3(\R)$ commutent-elles?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Encore des produits semi-directs]
Montrer que $O_2(\R) \simeq \S^1 \rtimes \Z/2\Z$. Plus généralement, montrer que $O(E) \simeq SO(E) \rtimes \Z/2\Z$.
\end{exo}

\begin{exo}[Connexité de $SO(E)$]
Soit $(E,\prsc{\cdot}{\cdot})$ un espace euclidien. Montrer que $SO(E)$ est connexe. Montre que $O(E)$ a exactement deux composantes connexes.
\end{exo}

\begin{exo}[Similitude directe ou indirecte]
Soit $(E,\prsc{\cdot}{\cdot})$ un espace vectoriel euclidien et soient $\lambda \in \R^*$ et $\varphi \in O(E)$, à quelles conditions sur $\lambda$ et $O$ la similitude $\psi := \lambda \varphi$ est-elle directe?
\end{exo}

\begin{exo}[Commutation des similitudes vectorielles]
Soit $(E,\prsc{\cdot}{\cdot})$ un plan euclidien, montrer que les similitudes directes commutent. Qu'en est-il des similitudes indirectes? Que se passe-t-il en dimension supérieure?
\end{exo}
\end{document}