\documentclass[11pt]{article}

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\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
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\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
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\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
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\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
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\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Théorèmes classiques de géométrie affine}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}[Thalès, Fresnel p.~43]
Soient $(\E,E)$ un espace affine, $\mathcal{H}_1$, $\mathcal{H}_2$ et $\mathcal{H}_3$ trois hyperplans parallèles distincts de direction $H$ et soient $(\D,D)$ et $(\D',D')$ deux droites telles que $D \oplus H =E$ et $D' \oplus H =E$. On note $A_i$ (resp.~$B_i$) l'unique point de $\mathcal{H}_i \cap \D$ (resp.~$\mathcal{H}_i \cap \D'$). Montrer que:
\begin{equation*}
\frac{\bar{A_1A_2}}{\bar{A_1A_3}} = \frac{\bar{B_1B_2}}{\bar{B_1B_3}}.
\end{equation*}
Si de plus $A_1 = B_1$ et $\D \neq \D'$, montrer que:
\begin{equation*}
\frac{\bar{A_1A_2}}{\bar{A_1A_3}} = \frac{\bar{B_1B_2}}{\bar{B_1B_3}} = \frac{\bar{A_2B_2}}{\bar{A_3B_3}}.
\end{equation*}
\end{exo}

\begin{exo}[Pappus affine, Fresnel p.~46]
Soient $\D$ et $\D'$ deux droites affines distinctes d'un plan affine. Soient $A,B,C \in \D$ et $A',B',C' \in \D'$, on suppose ces six points distincts. Montre que si $(AB') \parallel (A'B)$ et $(BC') \parallel (B'C)$ alors $(AC') \parallel (A'C)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Desargues affine, Fresnel p.~47]
Soient $ABC$ et $A'B'C'$ deux vrais triangles sans sommet commun et tels que $(AB) \parallel (A'B')$, $(AC) \parallel (A'C')$ et $(BC) \parallel (B'C')$. Montrer que $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont concourantes ou parallèles.
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème de Menelaüs, Fresnel p.~44]
Soient $(A,B,C)$ un repère d'un plan affine, $A'\in (BC)$, $B'\in (AC)$ et $C'\in (AB)$. On suppose que $A'$, $B'$ et $C'$ sont distincts de $A$, $B$ et $C$. Montrer que $A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés si et seulement si:
\begin{equation*}
\frac{\bar{A'B}}{\bar{A'C}} \cdot \frac{\bar{B'C}}{\bar{B'A}} \cdot \frac{\bar{C'A}}{\bar{C'B}} =1.
\end{equation*}
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème de Céva, Fresnel p.~45]
Soient $(A,B,C)$ un repère d'un plan affine, $A'\in (BC)$, $B'\in (AC)$ et $C'\in (AB)$. On suppose que $A'$, $B'$ et $C'$ sont distincts de $A$, $B$ et~$C$. Montrer que $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont parallèles ou concourantes si et seulement si:
\begin{equation*}
\frac{\bar{A'B}}{\bar{A'C}} \cdot \frac{\bar{B'C}}{\bar{B'A}} \cdot \frac{\bar{C'A}}{\bar{C'B}} =-1.
\end{equation*}
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème de Gergonne, Fresnel p.~49]
Soient $(A,B,C)$ un repère d'un plan affine, $A'\in (BC)$, $B'\in (AC)$ et $C'\in (AB)$. On suppose que $A'$, $B'$ et $C'$ sont distincts de $A$, $B$ et $C$. Si $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ concourent en un point $M$, montrer que:
\begin{equation*}
\frac{\bar{MA'}}{\bar{AA'}} + \frac{\bar{MB'}}{\bar{BB'}} + \frac{\bar{MC'}}{\bar{CC'}} =1.
\end{equation*}
\end{exo}
\end{document}