\documentclass[11pt]{article}

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% Packages langues et encodage
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\usepackage{pgf,tikz}
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\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
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\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
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\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Coordonnées barycentriques}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}
Soient $\E$ un espace affine de dimension $n$ et $(A_0,\dots,A_n)$ un repère affine de~$\E$. Soit $A \in \E$, on note $(\lambda_i)$ ses coordonnées barycentriques dans $(A_0,\dots,A_n)$ et $(x_j)$ ses coordonnées cartésiennes dans $(A_0,\vv{A_0A_1},\dots,\vv{A_0A_n})$. Exprimer les $\lambda_i$ en fonction des $x_j$ et réciproquement.
\end{exo}

\begin{exo}[Le calcul barycentrique comme calcul vectoriel, Fresnel p.~13]
Soit $V$ un $\K$-espace vectoriel et soit $\E$ un hyperplan affine de $V$ ne contenant pas $0$ (penser à l'exemple fondamental $\left\{(\lambda_0,\dots,\lambda_n) \in \K^{n+1}\mvert \sum \lambda_i =1\right\} \subset \K^{n+1}$). On note $E$ la direction de $\E$, qui est un hyperplan vectoriel de $V$.

Soient $A_0,\dots,A_k \in \mathcal{E}$ avec $A_j$ de coordonnées barycentriques $(a_{0j},\dots,a_{nj})$ dans un certain repère affine de $\mathcal{E}$. Montrer que $(A_0,\dots,A_k)$ est affinement libre si et seulement si la matrice des $(a_{ij})$ est de rang $k+1$. En déduire que $(A_0,\dots,A_n)$ est un repère affine si et seulement si $\det(a_{ij})\neq 0$.
\end{exo}

\begin{exo}[Les coordonnées barycentriques comme volumes, Fresnel p.~14]
Soient $\mathcal{E}$ un espace affine de dimension $n$, $(A_0,\cdots,A_n)$ un repère affine et $e$ une base quelconque de $E$. Pour tout $i \in \{1,\dots,n\}$, et tout $M \in \mathcal{E}$ on note :
\begin{equation*}
\Delta_i(M) := \textstyle\det_e\left(\vv{MA_0},\dots,\vv{MA_{i-1}},\vv{MA_{i+1}},\dots,\vv{MA_n}\right).
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Soit $M \in \mathcal{E}$ de coordonnées barycentriques $(x_0,\dots,x_n)$ dans le repère $(A_0,\dots,A_n)$, montrer que pour tout $i \in \lint 0,n\rint$, $x_i = \frac{\Delta_i(M)}{\Delta_i(A_i)}$.
\item Montrer que pour tout $i \in \lint 0,n\rint$, $\Delta_i(A_i) = (-1)^i \Delta_0(A_0)$.
\item Interpréter les coordonnées barycentriques en termes de volumes orientés.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}