\documentclass[11pt]{article}

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% Packages langues et encodage
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}

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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Le groupe affine}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}
Déterminer le groupe affine de $\K$ muni de sa structure canonique de droite affine.
\end{exo}

\begin{exo}[Groupe des homothéties-translations]
Soit $\E$ un $\K$-espace affine, on note $\mathcal{HT}(\E)$ le sous-groupe des homothéties-translations de $\E$.
\begin{enumerate}
\item Soit $f \in \aff(\E)$ envoyant tout sous-espace affine de $\E$ sur un sous-espace parallèle. Montrer que $f \in \mathcal{HT}(\E)$.
\item Soit $f \in \mathcal{HT}(\E)$, déterminer les sous-espaces stables par $f$.
\item Déterminer le centre de $\mathcal{HT}(\E)$.
\item Si $\K = \R$, montrer que les homothéties engendrent $\mathcal{HT}(\E)$. Que se passe-t-il sur les autres corps ?
\end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}[Produits semi-directs]
Soit $(\E,E)$ un $\K$-espace affine, montrer qu'on a les décompositions en produits semi-directs suivantes.
\begin{itemize}
\item $\aff(\E) = E \rtimes GL(E)$,
\item $\left\{f \in \aff(\E) \mvert \det(\vv{f})=1\right\} = E \rtimes SL(E)$,
\item $\mathcal{HT}(\E) = E \rtimes \K^*$.
\end{itemize} 
\end{exo}

\begin{exo}[Invariants et obstructions]
Soit $\E$ un espace affine.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\aff(\E)$ agit simplement transitivement sur les repères affines (resp.~cartésiens) de $\E$.
\item Montrer que $\aff(\E)$ agit $2$-transitivement sur $\E$. Identifier l'obstruction à ce que cette action soit $3$-transitive.
\item Montrer que $\aff(\E)$ agit transitivement sur l'ensemble des droites affines de $\E$. Identifier l'obstruction à ce que cette action soit $2$-transitive.
\item Trouver une obstruction à ce que l'action $\mathcal{HT}(\E) \acts \E$ soit $2$-transitive.
\item Donner un invariant total pour l'action de $\aff(\E)$ sur les sous-espaces affines de $\E$. Même question lorsqu'on restreint l'action à $\mathcal{HT}(\E)$ à la source.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Représentation linéaire du groupe affine]
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $n+1$ et $\eta \in V^* \setminus \{0\}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\E :=\eta^{-1}(\{1\})$ est un espace affine de direction $\ker(\eta)$. Montrer que le sous-groupe $\{f \in GL(V) \mid \eta \circ f = \eta \}$ est isomorphe au groupe affine de $\E$. 
\item En déduire que le groupe affine d'un $\K$-espace affine de dimension $n$ est isomorphe au sous-groupe de $GL_{n+1}(\K)$ dont les éléments sont les matrices de la forme :
\begin{equation*}
\left( \begin{array}{ccc|c} && & a_1 \\ & A & & \vdots \\ && & a_n \\ \hline 0 & \cdots & 0 & 1\end{array}\right),
\end{equation*}
avec $A \in GL_n(\K)$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}