\documentclass[11pt]{article}

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% Packages langues et encodage
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\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
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\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
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\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Applications affines}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}
Soient $f:\E \to \mathcal{F}$ une application affine entre espaces affines réels et $A,B \in \E$. Montrer que $f([A,B]) = [f(A)f(B)]$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $f_1,\dots,f_n$ des applications affines de $\E$ dans $\mathcal{F}$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_n \in \K$ tels que $m := \sum \lambda_i \neq 0$. Montrer que $\frac{1}{m} \sum \lambda_i f_i$ définit une application affine de $\E$ dans $\mathcal{F}$.
\end{exo}

\begin{exo}[Fresnel, p.~31]
Soient $(\E,E)$ et $(\mathcal{F},F)$ deux $\K$-espaces affines, notons $\aff(\E,\mathcal{F})$ (resp.~$\mathcal{L}(E,F)$) l'ensemble des applications affines (resp.~linéaires) de $\E$ dans $\mathcal{F}$ (resp.~de $E$ dans $F$). Montrer que $\aff(\E,\mathcal{F})$ est naturellement muni d'une structure de $\K$-espace affine de direction $F \times \mathcal{L}(E,F)$. Donner sa dimension en fonction de celles de $\E$ et $\mathcal{F}$.
\end{exo}

\begin{exo}[Applications affines et vectorialisé]
Soient $f:(\E,E) \to (\mathcal{F},F)$ et $O \in \E$. On rappelle que $\Theta_O : E \to \mathcal{E}, u \mapsto O+ u$. Montrer que $f$ est affine si et seulement si $\Theta_{f(O)}^{-1} f \Theta_O$ est linéaire de $E$ dans $F$. Dans ce cas, montrer que $\vv{f}= \Theta_{f(O)}^{-1} f \Theta_O$.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer qu'une application linéaire $f : \E \to \mathcal{F}$ est injective (resp.~surjective, resp.~bijective) si et seulement si $\vv{f}: E \to F$ l'est.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:\E \to \mathcal{F}$ affine. Montrer que si $f$ est injective l'image d'une famille libre est libre et que si $f$ est surjective l'image d'une famille génératrice est génératrice.
\end{exo}

\begin{exo}[Fresnel, p.~30]
Soient $f_i: \E \to K$ des formes affines non nulles où $i \in \lint 1,k\rint$ et $k \leq \dim(\E)$. Montrer que $\bigcap f_{i}^{-1}(c_i)$ est un sous-espace affine non vide de codimension $k$ si et seulement si $\left(\vv{f_1},\dots,\vv{f_k}\right)$ est une famille libre de $E^*$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $f : \E \to \E$ affine et $A \in \E$ tels que l'orbite de $A$ sous l'action de $f$ soit finie, de cardinal non divisible par la caractéristique du corps de base. Montrer que $f$ a un point fixe.
\end{exo}

\begin{exo}[Composée d'homothéties]
Décrire la nature et les éléments caractéristiques de la composée de l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\alpha$ avec l'homothétie de centre $B$ et de rapport $\beta$.
\end{exo}

\begin{exo}[Conjugaison]
Soit $f:\E \to \E$ affine, décrire $f \circ t_u \circ f^{-1}$ et $f \circ h_{A,\alpha} \circ f^{-1}$, où $t_u$ est la translation de vecteur $u$ et $h_{A,\alpha}$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\alpha$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $p : \E \to \E$ une application affine, montrer que les propositions suivantes sont équivalentes:
\begin{enumerate}
\item $p$ est une projection,
\item $p\circ p = p$,
\item $\vv{p} \circ \vv{p} = \vv{p}$ et $p$ a un point fixe.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Audin, p.~44]
Soit $ABC$ un vrai triangle du plan affine réel et $M_0 \in (AB)$. On construit $M_1$ l'intersection de $(BC)$ avec la parallèle à $(AC)$ passant par $M_0$, puis $M_2$ l'intersection de $(AC)$ avec la parallèle à $(AB)$ passant par $M_1$, etc. Montrer que $M_6 = M_0$.
\end{exo}
\end{document}