\documentclass[11pt]{article}

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% Packages langues et encodage
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0}]{hyperref}

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\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}

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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Familles libres, familles génératrices, repères}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}
Soit $\mathcal{A}$ une partie d'un espace affine $\E$, montrer que:
\begin{align*}
\langle \mathcal{A} \rangle &= \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i A_i \mvert n \in \N^*, A_i \in \mathcal{A}, \lambda_i \in \K, \sum_{i=1}^n \lambda_i =1 \right\}\\
&= O + \vect \left\{\vv{AB} \mvert A,B \in \mathcal{A}\right\}\\
&= O + \vect \left\{\vv{OB} \mvert B \in \mathcal{A}\right\}\\
&= O+ \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i A_i \mvert n \in \N^*, A_i \in \mathcal{A}, \lambda_i \in \K, \sum_{i=1}^n \lambda_i =0 \right\}.
\end{align*}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine de dimension $n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une famille libre est de cardinal au plus $n+1$.
\item Montrer qu'une famille libre de cardinal $n+1$ de $\mathcal{E}$ est un repère affine.
\item Montrer qu'une famille génératrice est de cardinal au moins $n+1$.
\item Montrer qu'une famille génératrice de cardinal $n+1$ de $\mathcal{E}$ est un repère affine.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que trois points d'un espace affine sont alignés ou forment une famille libre.
\end{exo}

\begin{exo}[Lien affine-vectoriel, Fresnel p.~13]
Soit $V$ un $\K$-espace vectoriel et soit $\E$ un hyperplan affine de $V$ ne contenant pas $0$. On note $E$ la direction de $\E$, qui est un hyperplan vectoriel de $V$. Soient $A_0,\dots,A_n \in \E$.
\begin{enumerate}
\item Décrire $E$ en fonction de $\E$ et de la structure d'espace vectoriel de $V$.
\item Montrer que l'application $F \mapsto F \cap \E$ est une bijection de l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $V$ non inclus dans $E$ vers l'ensemble des sous-espaces affines de~$\E$. Expliciter la réciproque.
\item Soit $\mathcal{F}$ un sous-espace affine de $\E$, montrer que sa direction est $\vect(\mathcal{F})\cap E$.
\item Montrer que la famille $(A_0,\dots,A_n)$ est affinement libre (resp.~génératrice) dans $\mathcal{E}$ si et seulement si elle est vectoriellement libre (resp.~génératrice) dans $V$.
\item Conclure que $(A_0,\dots,A_n)$ est un repère affine de $\mathcal{E}$ si et seulement si c'est une base de~$V$.
\item Soit $\mathcal{A} \subset \E$, montrer que $\langle \mathcal{A} \rangle = \vect(\mathcal{A}) \cap \E$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $\E$ un espace affine de dimension $n$ et $A_0,\dots,A_n \in \E$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item $(A_0,\dots,A_n)$ est un repère affine de $\E$.
\item $(A_0,\vv{A_0A_1},\dots,\vv{A_0A_n})$ est un repère cartésien de $\E$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Rapport de volumes]
Soient $B_0,\dots,B_n \in \E$ et $(A_0,\dots,A_n)$ un repère affine de $\E$, soit $e$ une base de $E$. Montrer que $\det_e\left(\vv{A_0A_1},\dots,\vv{A_0A_n}\right) \neq 0$ et que le rapport
\begin{equation*}
\frac{\det_e\left(\vv{B_0B_1},\dots,\vv{B_0B_n}\right)}{\det_e\left(\vv{A_0A_1},\dots,\vv{A_0A_n}\right)}
\end{equation*}
ne dépend pas du choix de $e$.
\end{exo}
\end{document}