\documentclass[11pt]{article}

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% Packages langues et encodage
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\usepackage{pgf,tikz}
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\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
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\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Sous-espaces affines}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}[Retour aux axiomes, Fresnel p.~16]
Montrer que dans un plan affine deux droites sont concourantes ou parallèles.
\end{exo}

\begin{exo}[Retour aux axiomes 2, Fresnel p.~16]
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine, montrer que $\mathcal{E}$ satisfait les axiomes suivants.
\begin{enumerate}
\item Par deux points distincts passe une unique droite (axiome d'incidence).
\item Soit $\mathcal{D}$ une droite et $A \in \mathcal{E}$, il existe une unique droite parallèle à $\mathcal{D}$ passant par $A$ (axiome des parallèles).
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Une caractérisation des sous-espaces affines, Fresnel p.~16]
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine sur un corps de cardinal strictement supérieur à $2$. Montrer que $\mathcal{F}\subset \mathcal{E}$ est un sous-espace affine si et seulement si pour tout $A$ et $B \in \mathcal{F}$, $(AB)$ est incluse dans $\mathcal{F}$. Que se passe-t-il sur $\F_2$ ?
\end{exo}

\begin{exo}[Direction d'un sous-espace]
Soit $\mathcal{F}$ un sous-espace affine de $\E$, montrer que sa direction est:
\begin{equation*}
F := \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i A_i \mvert n \in \N^*, A_i \in \mathcal{F}, \lambda_i \in \K, \sum_{i=1}^n \lambda_i = 0 \right\}.
\end{equation*}
\end{exo}

\begin{exo}[Dénombrement]
\begin{enumerate}
\item Quel est le cardinal d'un $k$-plan sur $\F_q$?
\item Combien y a-t-il de familles vectoriellement libres de cardinal $k$ dans $\left(\F_q\right)^n$ ($k\leq n$) ? En déduire le cardinal de $GL_n\left(\F_q\right)$.
\item Combien y a-t-il de $k$-plans vectoriels dans $\left(\F_q\right)^n$ ? De $k$-plans affines ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Union de sous-espaces, Audin exo.~1.5]
Soient $\mathcal{F}$ et $\mathcal{G}$ deux sous-espaces affines de $\mathcal{E}$. À quelle condition $\mathcal{F} \cup \mathcal{G}$ est-il un sous-espace affine de $\mathcal{E}$ ?
\end{exo}

\begin{exo}[Union de sous-espaces 2]
Soit $\E$ un espace affine de dimension finie. Soient $\mathcal{F}$ et~$\mathcal{F}'$ deux sous-espaces affines de $\mathcal{E}$, de direction $F$ et $F'$ respectivement. Soit $\mathcal{G}$ le sous-espace de $\mathcal{E}$ engendré par $\mathcal{F}\cup \mathcal{F}'$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\mathcal{F}\cap \mathcal{F}' \neq \emptyset$ alors $\mathcal{G}$ est dirigé par $F + F'$ et donner sa dimension.
\item Si $\mathcal{F}\cap \mathcal{F}' = \emptyset$, montrer que $\dim \mathcal{G} = \dim \mathcal{F} + \dim \mathcal{F}' - \dim\left(F\cap F'\right) +1$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}