\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
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\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
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\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Espaces affines, barycentres}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}
Soient $\E$ un espace affine de direction $E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. On note $\E/F$ l'ensemble des orbites de $\E$ sous l'action de $F$ par translation. Montrer que $\E/F$ peut être muni d'une structure d'espace affine de direction $E/F$.
\end{exo}

\begin{exo}[Carte affine sur la grassmannienne, Berger T.~1 p.~60]
Soient $F$ un sous-espace de l'espace vectoriel de dimension finie $E$ et $\mathcal{S}$ l'ensemble $\{G \mid G\oplus F = E\}$ des supplémentaires de $F$. Montrer que $\mathcal{S}$ est un espace affine dirigé par $\mathcal{L}\left(E/F,F\right)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Définition équivalente, Audin p.~9]
Soient $\E$ un ensemble et $E$ un $\K$-espace vectoriel. Montrer qu'il est équivalent de dire que $\E$ est un espace affine de direction $E$ et qu'il existe une application $\E \times \E \to E$, $(A,B) \mapsto \vv{AB}$ telle que:
\begin{itemize}
\item pour tout $A \in \E$, $B \mapsto \vv{AB}$ est une bijection de $\E$ dans $E$,
\item pour tout $A,B$ et $C\in E$, $\vv{AB}+\vv{BC} = \vv{AC}$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[Identité du parallélogramme, Fresnel p.~16]
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points d'un espace affine $\mathcal{E}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\vv{AB}=\vv{DC}$ si et seulement si $\vv{AD}=\vv{BC}$.
\item Si $\car(\K)=2$, montrer que ces conditions impliquent $\vv{DB}=\vv{AC}$.
\item Si $\car(\K)\neq 2$, montrer que ces conditions sont équivalentes à : les milieux de $[AC]$ et $[BD]$ sont confondus.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Centre de gravité, Fresnel p.~8]
\begin{enumerate}
\item Montrer que les médianes d'un triangle sont concourantes et se rencontrent à un tiers de leurs longueurs.
\item Montrer que l'isobarycentre d'un tétraèdre est aussi le milieu des segments joignants les milieux de deux arêtes opposées. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Un barycentre peu intuitif]
Déterminer l'isobarycentre de $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ et $(0,0,1)$ dans $\left(\F_2\right)^3$.
\end{exo}

\begin{exo}[Associativé du barycentre]
Soient $(A_i,\lambda_i)_{i \in \lint 1,n\rint}$ des points pondérés d'un espace affine $\E$ tels que $\sum_{i=1}^n \lambda_i \neq 0$ et soit $G$ le barycentre des $(A_i,\lambda_i)_{i \in \lint 1,n\rint}$. On suppose qu'au moins trois des $\lambda_i$ sont non nuls.
\begin{enumerate}
\item Si $\car(\K) \neq 2$, montrer qu'il existe $I$ et $J \subset \lint 1,n\rint$ disjoints tels que $\sum_{i \in I} \lambda_i \neq 0$, $\sum_{j \in J} \lambda_j \neq 0$ et $I \cup J = \lint 1,n\rint$.
\item En déduire que, dans ce cas, $G$ est aussi le barycentre de $\left(\frac{1}{\sum_{i \in I} \lambda_i}\displaystyle\sum_{i \in I} \lambda_i A_i,\sum_{i \in I} \lambda_i\right)$ et $\left(\frac{1}{\sum_{j \in J} \lambda_j}\displaystyle\sum_{j \in J} \lambda_j A_j,\sum_{j \in J} \lambda_j\right)$.
\item Que se passe-t-il en caractéristique $2$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}