\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
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\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
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	\newtheorem*{ex}{Exemple}
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	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

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% Definition des operateurs
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\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Produits semi-directs}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}[Produit semi-direct, cf.~Perrin p.~22]
Soient $N$ et $H$ deux groupes et soit $\phi:H \to \aut(N)$ un morphisme. Montrer que $\cdot_\phi$ définit bien une loi de groupe sur $N \times H$, où:
\begin{equation*}
\forall n_1,n_2 \in N, \forall h_1,h_2 \in H, \qquad (n_1,h_1)\cdot_\phi (n_2,h_2) := \left(n_1 \left(\phi(h_1)(n_2)\right),h_1h_2\right).
\end{equation*}
Ne pas oublier l'associativité. Quel est le neutre pour cette loi? Quel est l'inverse de $(n,h)$?
\end{exo}

\begin{exo}[Produit \st{semi-}direct, cf.~Perrin p.~23]
Soient $N$ et $H$ deux groupes et soit $\phi : H \to \aut(N)$ telle que $\forall h\in H$ $\phi(h)=\Id$, montrer que $N \rtimes_\phi H \simeq N \times H$.
\end{exo}

\begin{exo}[Produit \st{semi-}direct 2]
Soient $N$ et $H$ deux groupes et soit $G = N \rtimes H$. Montrer que si $G$ est abélien alors $G = N \times H$.
\end{exo}

\begin{exo}[Groupes de cardinal $6$]
\label{exo card 6}
Montrer que $\mathfrak{S}_3 \simeq \Z/3\Z \rtimes \Z/2\Z$. Montrer que $\mathfrak{S}_3$ et $\Z/6\Z$ sont les seuls groupes de cardinal $6$.
\end{exo}

\begin{exo}[Groupes symétriques, cf.~Perrin p.~23]
\label{exo sym}
Montrer que $\mathfrak{S}_n \simeq \mathfrak{A}_n \rtimes \Z/2\Z$. Le produit est-il direct?
\end{exo}

\begin{exo}[Groupes diédraux, cf.~Perrin p.~23]
\label{exo diedraux}
Soit $D_n$ le groupe diédral d'ordre $n$, c'est-à-dire le groupe des isométries d'un $n$-gone régulier du plan. Montrer que $D_n \simeq \Z/n\Z \rtimes \Z/2\Z$. Le produit est-il direct?
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer qu'il existe au moins trois produits semi-directs $\left(\Z/4\Z \times \Z/3\Z\right) \rtimes \Z/2\Z$ non isomorphes.
\end{exo}

\begin{exo}[Wait a minute]
Dans les exercices~\ref{exo card 6} et~\ref{exo diedraux} on n'a pas précisé par quel morphisme était définie la structure de produit semi-direct. Pourquoi? Dans ces exercices, les isomorphismes sont-ils canoniques? Qu'en est-il dans l'exercice~\ref{exo sym}?
\end{exo}

\begin{exo}[Un contre-exemple]
Montrer que $\Z / 4\Z$ ne s'écrit pas comme un produit semi-direct non trivial.
\end{exo}

\begin{dfn}[cf.~Perrin p.~13]
Le \emph{groupe de quaternions}, noté $H_8$ est le groupe de cardinal~$8$ dont les éléments sont notés $\pm 1$, $\pm i$, $\pm j$, $\pm k$ et dont la loi est définie par la règle usuelle pour les signes et:
\begin{align*}
i^2 = j^2 = k^2& = -1, & ij =& - ji = k, & jk &= -kj = i, & &\text{et} & ki &= -ik = j.
\end{align*}
\end{dfn}

\begin{exo}[And again, cf.~Perrin p.~24]
Montrer que ni $\Z / 8\Z$, ni $H_8$ ne s'écrivent comme des produits semi-directs non triviaux.
\end{exo}

\begin{rem}
L'exercice~\ref{exo groupe pq} ci-dessous est plus difficile et constitue un développement classique. La solution est détaillée dans Perrin pp.~27--28. La preuve utilise les théorèmes de Sylow (Perrin sect.~I.5) et une partie de la description des automorphismes de $\Z / n\Z$ (Perrin sect.~I.7). Ces deux points sont aussi souvent proposés en développement.
\end{rem}

\begin{exo}[Groupes de cardinal $pq$, cf.~Perrin pp.~27--28]
\label{exo groupe pq}
Déterminer les groupes de cardinal $pq$ avec $p,q$ premiers et $p < q$. En particulier, pour $p=2$ et $q \geq 3$ montrer qu'il n'y a que $\Z/2q\Z$ et $D_q$.
\end{exo}
\end{document}
