\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
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\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
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\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Actions de groupes}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}
Soit $G \acts X$ une action de groupe. Une partie $A \subset X$ est dite \emph{stable} sous l'action de $G$ si pour tout $g \in G$ on a $g\cdot A \subset A$. Montrer que $A$ est stable sous l'action de $G$ si et seulement si $A$ est réunion d'orbites.
\end{exo}

\begin{exo}[Centre d'un $p$-groupe, Perrin p.~16]
Soient $p$ premier et $n \in \N^*$, soit $G$ un groupe de cardinal $p^n$, montrer que le centre de $G$ est non trivial.
\end{exo}


\begin{exo}[Fresnel p.~3]
Soit $G$ un groupe commutatif qui agit fidèlement et transitivement sur un ensemble $X$. Montrer que l'action $G \acts X$ est simplement transitive.
\end{exo}

\begin{exo}[Groupe symétrique]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'action tautologique $\mathfrak{S}_n \acts \lint 1,n\rint$ est $n$-transitive.
\item Démontrer que l'action tautologique $\mathfrak{A}_n \acts \lint 1,n \rint$ est $(n-2)$-transitive, mais pas $(n-1)$-transitive.
\item Que dire d'une action $(n-1)$-transitive sur $\lint 1,n\rint$?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Un exemple de fidélisation]
Soit $\K$ un corps, on considère l'action naturelle de $GL_{n+1}(\K)$ sur $\P^n(\K)$, l'ensemble des droites vectorielles de $\K^{n+1}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le noyau de cette action.
\item En déduire que $PGL_n(\K) := GL_{n+1}(\K) / \{\lambda \Id \mid \lambda \in \K^*\}$ agit fidèlement sur $\P^n(\K)$.
\item Dans le cas $n=1$, montrer que l'action est $2$-transitive et déterminer le stabilisateur de $\left(\K \times \{0\},\{0\} \times \K \right)$. 
\item Toujours pour $n=1$, montrer que l'action est $3$-transitive. Est-elle $k$-transitive pour $k > 3$?
\item Qu'en est-il pour $n \geq 2$?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Action diagonale]
Soient $G \acts X$ et $n \in \N^*$, on appelle \emph{action diagonale} de $G$ sur $X^n$ l'action définie par :
\[ \forall g \in G, \ \forall (x_1,\dots,x_n) \in X^n, \quad g\cdot(x_1,\dots,x_n) := (g\cdot x_1,\dots,g\cdot x_n).\]
\begin{enumerate}
\item À quelle condition l'action diagonale $G \acts X^n$ est-elle transitive?
\item On note $X^{(n)}:=\{(x_1,\dots,x_n) \in X^n \mid \forall i\neq j,  x_i \neq x_j \}$. Montrer que l'action diagonale stabilise $X^{(n)}$.
\item À quelle condition l'action restreinte $G \acts X^{(n)}$ est-elle transitive (resp. simplement transitive)?
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}