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% Definition des operateurs
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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2017 -- 2018}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Sous-variétés de $\R^n$}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}[Définitions, Lafontaine sect.~I.D]
Redémontrer l'équivalence entre les quatre caractérisations locales de sous-variété de dimension $m$ de $\R^n$. Plus précisément, soient $M \subset \R^n$, $m \in \{0,\dots,n\}$ et $p \in M$, montrer que les conditions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item Redressement local:
il existe $U$ voisinage ouvert de $p$ dans $\R^n$, $V$ voisinage ouvert de $0$ dans $\R^n$ et un difféomorphisme $f : U \to V$ tel que $f(U \cap M) = V \cap \left(\R^m \times \{0\} \right)$.
\item Zéros d'une submersion:
il existe $U$ voisinage ouvert de $p$ dans $\R^n$ et une submersion $g : U \to \R^{n-m}$ telle que $U \cap M = g^{-1}(0)$.
\item Image d'un plongement:
il existe $U$ voisinage ouvert de $p$ dans $\R^n$, un ouvert $\Omega$ de $\R^m$ et une immersion $h:\Omega \to U$ telle que $h$ soit un homéomorphisme de $\Omega$ sur $U\cap M$.
\item Graphe:
quitte à permuter les coordonnées, il existe un voisinage $U$ de $p$ dans $\R^n$, un ouvert $V$ de $\R^m$ contenant $(p_1,\dots,p_m)$ et une application $F : V \to \R^{n-m}$ telle que $U\cap M$ soit le graphe de $F$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Espaces tangents, Laudenbach sect.~III.2]
Soient $M$ une sous-variété de dimension $m$ de $\R^n$ et $p\in M$. Pour chacune des caractérisations locales de l'exercice précédent, décrire l'espace tangent $T_p M$.
\end{exo}

\begin{exo}[La sphère]
Montrer quatre fois que la sphère euclidienne $\S^n$ est une hypersurface de $\R^{n+1}$, en utilisant les différentes caractérisations locales.
\end{exo}

\begin{exo}[Sous-variétés produits]
Soient $M$ une sous-variété de dimension $m$ de $\R^p$ et $N$ une sous-variété de dimension $n$ de $\R^q$, montrer que $M\times N$ est une sous-variété de $\R^{p+q}$. De quelle dimension? Décrire ses espaces tangents.
\end{exo}

\begin{exo}[Les tores]
Montrer que le tore $\T^n = \left\{(z_1,\dots,z_n) \in \C^n \mvert \norm{z_i}=1\right\}$ est une sous-variété (réelle) de $\C^n \simeq \R^{2n}$ et décrire ses espaces tangents.
\end{exo}

\begin{exo}[Groupes de Lie]
Montrer que les ensembles suivants sont des sous-variétés de $\mathcal{M}_n(\R)$. Donner leur dimension. Décrire leurs espaces tangents.\\
\emph{Indication :} pour le dernier point on pourra commencer par décrire le tangent en $I_n$ et en déduire le tangent en un point quelconque.
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $GL_n(\R)$,
\item $SL_n(\R)$,
\item $O_n(\R)$,
\item $SO_n(\R)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Cubique cuspidale, Lafontaine sect.~I.D]
\begin{enumerate}
\item Soient $M$ une sous-variété de $\R^n$ et $\pi:\R^n \to \R^p$ la projection sur les $p$ premières coordonnées, $p(M)$ est-elle une sous-variété de $\R^p$?
\item Montrer que $\left\{(x,y,z)\in \R^3 \mvert x=z^2, y=z^3\right\}$ est une sous-variété de $\R^3$.
\item L'ensemble $\left\{(x,y)\in \R^2 \mvert x^3= y^2\right\}$ est-il une sous-variété de $\R^2$?\\
\emph{Indication :} quelle peut être la valeur d'un vecteur tangent en $(0,0)$?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que l'exponentielle de matrice est lisse de l'espace des matrices anti-symétriques vers $SO_n(\R)$, calculer sa différentielle.
\end{exo}

\begin{exo}[Coordonnées sphèriques]
Soient $\T^2 = \left\{(x,y,z,t)\in \R^4 \mvert x^2 +y^2 = 1 = z^2 + t^2 \right\}$ et $F : \T^2 \to \S^2$ définie par
\begin{equation*}
F(x,y,z,t) = (xz,yz,t).
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est bien définie et lisse.
\item Calculer sa différentielle en tout point et déterminer ses points critiques.
\item Entre quels domaines $F$ réalise-t-elle un difféomorphisme local? Un difféomorphisme global?
\item Pourquoi ce titre d'exercice?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Transversalité, Laudenbach sect.~III.2.8] 
On dit que deux sous-variétés $M$ et $N$ de $\R^n$ s'intersectent \emph{transversalement} en $p \in M\cap N$ si $\R^n = T_p M + T_p N$. On dit qu'elles s'intersectent transversalement si c'est valable pour tout $p \in M\cap N$.
\begin{enumerate}
\item Soient $M$ et $N$ deux sous-variétés de $\R^n$ qui s'intersectent transversalement, montrer $M \cap N$ est une sous-variété de $\R^n$.
\item Décrire ses espaces tangents en fonctions de ceux de $M$ et $N$.
\item Donner sa dimension en fonction de $\dim(M)$ et $\dim(N)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Fenêtre de Viviani, Rouvière pp.~273--275]
Soient $\mathcal{C}$ le cylindre de $\R^3$ d'équation $(x-1)^2+y^2=1$ et $S_r$ la sphère de centre $0$ et de rayon $r>0$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{C}$ et $S_r$ sont des hypersurfaces lisses de $\R^3$ et décrire leurs plans tangents.
\item Pour quelles valeurs de $r$ l'intersection $\mathcal{C} \cap S_r = M_r$ est-elle une sous-variété de $\R^3$?\\
\emph{Indication :} utiliser l'exercice précédent.
\item $M_2$ est-elle une sous-variété de $\R^3$?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Image d'une immersion injective, adapté de Lafontaine sect.~II.E]
On dit qu'un application est \emph{propre} lorsque l'image réciproque d'un compact (de l'ensemble d'arrivée, pas de l'ensemble image) est un compact.\\
On dit qu'une application lisse est un \emph{plongement} si son image est une sous-variété et qu'elle réalise un difféomorphisme sur son image.
\begin{enumerate}
\item Soit $h : t \mapsto \left(\frac{t^2-1}{t^2+1},t \frac{t^2-1}{t^2+1}\right)$ de $]-\infty;1[$ dans $\R^2$. On note $C = h\left(]-\infty;1[\right)$. L'application $h$ est-elle une immersion injective? Est-elle propre? Est-ce que $C$ est une sous-variété de $\R^2$?
\item Soit $h:\Omega \to \R^n$ une immersion injective propre avec $\Omega$ ouvert de $\R^m$, montrer que $h$ est un plongement.\\
\emph{Indication :} pour $p \in h(\Omega)$, considérer un voisinage compact de $p$ dans $\R^n$.
\item Soit $i :\ ]-1;1[\ \to \R$ l'inclusion canonique. Montrer que $i$ est une immersion injective. Est-elle propre? Est-ce un plongement?
\item Soit $h : \Omega \to \R^n$ une immersion injective avec $\Omega$ ouvert de $\R^m$. On suppose que $h(\Omega)$ soit une sous-variété de $\R^n$ de dimension $m$. Montrer que $h$ est un plongement.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Extrema liés]
Déterminer le minimum et le maximum sur $\S^2$ de la fonction $(x,y,z)\mapsto x+\frac{1}{2} y^2+ \frac{1}{3} z^3$. Même question avec $(x,y,z)\mapsto x+y^2+z^3$.
\end{exo}

\begin{exo}[And again, Laudenbach sect.~III.4.9]
Soit $A$ une matrice symétrique de $\mathcal{M}_n(\R)$ et $q:\R^n \to \R$ la forme quadratique associée. On suppose $q$ non dégénérée.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la quadrique $Q$ d'équation $q(x)=1$ est une hypersurface lisse de $\R^n$.
\item Déterminer les points critiques de la norme euclidienne sur $Q$ et les multiplicateurs de Lagrange associés.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Billard convexe compact, Rouvière, pp.~413--415]
Soit $\Gamma$ une courbe fermée simple de $\R^2$ de classe $\mathcal{C}^1$ qui borde un convexe compact $K$ (i.e. $K$ est une variété $\mathcal{C}^1$ à bord, de dimension $2$ connexe et compacte et $\Gamma = \partial K$). On note $f : \Gamma^3 \to \R$ la fonction qui a un triangle $ABC$ inscrit dans $\Gamma$ associe son périmètre.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ admet un maximum, et qu'il est atteint pour $A$, $B$ et $C$ distincts.
\item Montrer que $\{(A,B,C) \in \Gamma^3 \mid A,B,C \text{ distincts}\}$ est une sous-variété de $\R^6$ sur laquelle $f$ est différentiable.
\item Montrer que si $(A,B,C)$ est la maximum de $f$, alors le triangle $ABC$ est une trajectoire de billard dans l'intérieur de $\Gamma$.\\
\emph{Indication :} utiliser le théorème des extrema liés.
\item Dans le cas où $\Gamma$ est une ellipse, remarquer que ce résultat est une conséquence triviale du théorème des accroissements finis.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Topologie des sous-variétés]
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une sous-variété de $\R^n$ est localement connexe par arcs. En déduire qu'une sous-variété connexe est connexe par arcs.
\item Plus généralement, remarquer que si $\R^m$ est localement quelque chose, alors une sous-variété de $\R^n$ de dimension $m$ aussi ! (Pour la topologie induite évidemment.)
\item Il résulte de la définition qu'une sous-variété $M$ de $\R^n$ est localement fermée (i.e. pour tout $p\in M$, il existe un voisinage $U$ de $p$ dans $\R^n$ tel que $U \cap M$ est un fermé de $U$). Montrer que c'est équivalent à dire que $M$ est l'intersection de son adhérence et d'un ouvert de $\R^n$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Mesure des sous-variétés, Lafontaine sect.~I.F]
Montrer qu'une sous-variété de $\R^n$ de dimension strictement inférieure à $n$ est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue.
\end{exo}

\begin{exo}[Matrices de rang fixé, Rouvière, pp.~286--287]\

Soit $V_r$ l'ensemble des matrices réelles de taille $m \times n$ de rang exactement~$r$. On veut montrer que $V_r$ est une sous-variété de $\mathcal{M}_{mn}(\R)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left\{ M \in \mathcal{M}_{mn}(\R) \mvert \rk(M) \geq r\right\}$ est un ouvert.
\item Soit $M = \left(\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D\end{smallmatrix}\right)$ par blocs où $A \in \mathcal{M}_r(\R)$. On suppose que $A$ est inversible. Montrer que $M \in V_r$ si et seulement si $D = CA^{-1}B$.
\item En déduire que $V_r$ est une variété de dimension $(m+n-r)r$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Points fixes d'involutions]
Soit $f:\R^n \to \R^n$ une application lisse telle que $f\circ f = \Id$. On pose $\fix(f) = \left\{ x \in \R^n \mvert f(x) = x\right\}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \in \fix(f)$, $(d_xf)^2 = \Id$.
\item On suppose que $f(0)=0$. On définit $h = \frac{1}{2}\left(\Id + d_0f\circ f\right)$. Montrer que $h$ est un difféomorphisme entre voisinages de $0$. Montrer que $h \circ f = d_0f \circ h$. 
\item En déduire que $\fix(f)$ est une sous-variété de $\R^n$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Espace des configurations d'un bras articulé]
On considère un mécanisme plan formé de trois tiges, de même longueur $L$, attachées par leurs extrémités comme sur la figure ci-dessous.
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\shorthandoff{:;!?}
\clip(-1,-4.5) rectangle (9,-1.5);
\draw (0,-3)-- (2.74,-4.21);
\draw (8,-3)-- (5.08,-2.33);
\draw (2.74,-4.21)-- (5.08,-2.33);
\begin{scriptsize}
\fill [color=black] (0,-3) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (0.16,-2.74) node {$A$};
\fill [color=black] (8,-3) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (8.16,-2.74) node {$B$};
\fill [color=black] (2.74,-4.21) circle (1.5pt);
\fill [color=black] (5.08,-2.33) circle (1.5pt);
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{figure}
On suppose les points $A$ et $B$ fixes et distants de $L(3-\epsilon)$ pour un certain $\epsilon>0$ petit. On note $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les angles entre chacune des tiges et l'horizontale (la droite $(AB)$) et on appelle espace des configurations de ce système l'ensemble $C_\epsilon$ des $(\alpha,\beta,\gamma) \in ]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[^3$ qui correspondent à des positions accessibles du système. Le but de l'exercice est de montrer que $C_\epsilon$ est difféomorphe à un cercle pour tout $\epsilon$ assez petit.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(\alpha,\beta,\gamma) \in C_\epsilon$ si et seulement si
\begin{equation*}
\left\{ \begin{aligned}\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 0,\\ \cos\alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 3 -\epsilon. \end{aligned}\right.
\end{equation*}
\item En déduire que $C_\epsilon$ est le graphe d'une fonction lisse au-dessus de
\begin{equation*}
\Gamma_\epsilon = \left\{(\alpha,\beta) \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[^2 \mvert F(\alpha,\beta) = 3-\epsilon\right\},
\end{equation*}
où $F(\alpha,\beta) = \cos \alpha + \cos \beta + \sqrt{1 - (\sin \alpha + \sin \beta)^2}$.
\item Montrer que $F$ atteint un maximum en $(0,0)$ et que sa hessienne y est définie négative.
\item Montrer que pour tout $\epsilon$ assez petit $\Gamma_\epsilon$ est difféomorphe à un cercle.\\
\emph{Indication :} on pourra utiliser le lemme de Morse (Rouvière pp.~354--355).
\item Conclure que, pour tout $\epsilon$ assez petit, $C_\epsilon$ est difféomorphe à un cercle.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{rem}
Tiens! Une application non triviale du lemme de Morse !
\end{rem}

\begin{exo}[Racines simples de polynômes]
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'ensemble 
\[\Sigma = \left\{(P,x) \in \R_d[X] \times \R \mvert P(x)=0 \right\}\]
est une hypersurface de $\R_d[X] \times \R$ et décrire l'espace tangent $T_{(P,x)}\Sigma$.
\item Soit $(P,x) \in \Sigma$ tel que $P'(x) \neq 0$. Montrer qu'il existe $U$ et $V$, des voisinages ouverts de $P$ et $x$ respectivement, et $\varphi : U \to V$ lisse telle que $\varphi(P)=x$ et $Q(\varphi(Q))= 0$ pour tout $Q \in U$. Calculer la différentielle de $\varphi$.
\item En déduire que, dans $\R_d[X]$, les racines simples d'un polynôme sont des fonctions lisses des coefficients.
\item Que se passe-t-il au niveau des racines multiples?
\item Soient $p_V$ et $p_M$ les projections de $\Sigma$ sur $\R_d[X]$ et $\R$. Montrer que $p_M$ est une submersion.
\item Déterminer les points critiques de $p_V$, puis ses valeurs critiques.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{rems}
On peut remplacer l'espace $\R_d[X]$ par n'importe quel espace vectoriel $V$ de dimension finie formé de fonctions de $\R$ dans $\R$ de classe $\mathcal{C}^1$ et qui vérifie la condition suivante: $\forall x \in \R, \exists f \in V$ telle que $f(x) \neq 0$.

Le théorème de Sard permet alors de montrer que pour presque tout $f \in V$ (pour la mesure de Lebesgue), le lieu des zéros de $f$ est formé de points isolés.
\end{rems}
\end{document}
