\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
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\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
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\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
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\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
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\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

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% Definition des operateurs
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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2016 -- 2017}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Lien affine--projectif}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}
Soit $U$ une carte affine d'un $\K$-espace projectif $\P(V)$ et soit $\bar{h} \in PGL(V)$. Montrer que $\bar{h}_{/U}$ est une homothétie ou une translation si et seulement si $\bar{h}$ fixe point par point l'hyperplan à l'infini $\P(V) \setminus U$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $U$ une carte affine d'un $\K$-espace projectif $\P(V)$ et soient $P$ et $Q$ deux sous-espaces projectifs de $\P(V)$. À quelle condition les sous-espaces affines $P\cap U$ et $Q \cap U$ sont-ils parallèles?
\end{exo}

\begin{exo}[Une preuve absurde]
Soit $\K$ un corps de cardinal $q$. En itérant la décomposition $\P^n(\K) \simeq \K^n \sqcup \P^{n-1}(\K)$, montrer que $1+q + \cdots + q^n = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème de Desargues projectif, Audin p.~186]
Soient $ABC$ et $A'B'C$ deux vrais triangles sans sommet commun dans un plan projectif $\P(V)$. On suppose de plus que $(BC) \neq (B'C')$, $(AC) \neq (A'C')$ et $(AB) \neq (A'B')$. Notons $\alpha$ (resp.~$\beta$, resp.~$\gamma$) l'unique point de $(BC) \cap (B'C')$ (resp.~$(AC) \cap (A'C')$, resp.~$(AB) \cap (A'B')$). Montrer que les droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont concourantes si et seulement si les points $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont alignés.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\bar{h} \in PGL_2(\K) \setminus \{\Id\}$. Dans ce qui suit, on identifie $\P^1(\K)$ à $\K \sqcup \{\infty\}$ via $(x:y)\mapsto \frac{x}{y}$ dans les coordonnées homogènes associées au repère $(\infty,0,1)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\bar{h}$ a au plus deux points fixes.
\item Si $\bar{h}$ a un unique point fixe, montrer qu'elle est conjuguée par une homographie à une translation $x \mapsto x+u$ de la carte affine $\P^1(\K) \setminus \{0\}$.
\item Si $\bar{h}$ a exactement deux points fixes $a$ et $b$, montrer qu'elle est conjuguée à $x \mapsto \lambda x$ avec $\lambda \in K \setminus\{0,1\}$. Montrer que de plus, $\forall x \in \P^1(K)\setminus \{a,b\}$, $[a,b,x,\bar{h}(x)]=\lambda$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Démonstration projective de Pappus, Audin p.~208]
Démontrer le théorème de Pappus projectif sans utiliser la version affine de ce théorème.
\end{exo}

\begin{exo}[Birapport et cocyclicité]
On se place dans $\P^1(\C)$ vu comme $\C \sqcup \{\infty\}$. On appelle \emph{cercle-droite} toute partie de $\P^1(\C)$ qui est un cercle ou une droite affine réelle union $\{\infty\}$.
\begin{enumerate}
\item Soient $a,b,c$ et $d \in \C$ distincts, montrer que ces points sont alignés ou cocycliques si et seulement si $[a,b,c,d] \in \R$.
\item En déduire que l'image d'un cercle-droite par une homographie de $\P^1(\C)$ est encore un cercle-droite.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Lemme des trois birapports]
\begin{enumerate}
\item Soient $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ cinq points distincts d'une droite projective. Montrer que $[B,C,D,E] [C,A,D,E] [A,B,D,E]=1$.
\item Soient $A,B$ et $C$ trois points non alignés d'un plan projectif et deux droites $\D$ et $\D'$ ne passant pas par $A,B$ ou $C$. On note $\alpha$ (resp.~$\beta$, resp.~$\gamma$) l'unique point d'intersection de $\D$ avec $(BC)$ (resp.~$(AC)$, resp.~$(AB)$) et $\alpha'$ (resp.~$\beta'$, resp.~$\gamma'$) l'unique point d'intersection de $\D'$ avec $(BC)$ (resp.~$(AC)$, resp.~$(AB)$). Montrer que
\begin{equation*}
[B,C,\alpha,\alpha'] [C,A,\beta,\beta'] [A,B,\gamma,\gamma']=1.
\end{equation*}
\item Réciproquement, soient $A,B$ et $C$ trois points non alignés d'un plan projectif, soient $\alpha$, $\alpha' \in (BC)$, $\beta, \beta' \in (AC)$ et $\gamma,\gamma' \in (AB)$. Si $\alpha,\beta$ et $\gamma$ sont alignés et
\begin{equation*}
[B,C,\alpha,\alpha'] [C,A,\beta,\beta'] [A,B,\gamma,\gamma']=1,
\end{equation*}
montrer que $\alpha',\beta'$ et $\gamma'$ sont alignés.
\item En déduire une nouvelle preuve du théorème de Menelaüs.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}