\documentclass[11pt]{article}

% Packages

% Packages langues et encodage
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{csquotes}

% Packages maths
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[g]{esvect}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage[all]{xy}

% Packages mise en page
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[top=3cm, left=3cm, right=3cm, bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0}]{hyperref}

% Packages graphiques
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}

% Packages autres
\usepackage{color}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\conv}{Conv}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\isom}{Isom}
\DeclareMathOperator{\rk}{rg}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sim}{Sim}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{5pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\setlength{\headheight}{16pt}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}

\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2016 -- 2017}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Birapport et coordonnées homogènes}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}
Soient $\P(V)$ et $\P(W)$ deux droites projectives et $f: \P(V) \to \P(W)$ injective et préservant le birapport. Montrer que $f$ est une homographie.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $\D$ et $\D'$ deux droites projectives sur $\K$, soient $A,B,C$ et $D \in \D'$ et $A',B',C'$ et $ D' \in \D'$ tels que $A,B$ et $C$ sont distincts et $A',B'$ et $C'$ sont distincts. Montrer qu'il existe une unique homographie $h : \D \to \D'$ telle que $h(A)=A'$, $h(B)=B'$, $h(C)=C'$ et $h(D)=D'$ si et seulement si $[A,B,C,D] = [A',B',C',D']$.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que le birapport est un invariant total pour l'action de $PGL(V)$ sur l'ensemble des quadruplets de points distincts alignés de $\P(V)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Égalités de birapports, Fresnel p.~76]
Soient $A,B,C,C',D$ et $D'$ six points distincts d'une droite projective. Montrer que
$[A,B,C,C'] = [A,B,D,D']$ si et seulement si $[A,B,C,D]=[A,B,C',D']$.
\end{exo}

\begin{exo}[Audin p.~210]
Soient $\D$ et $\D'$ deux droites distinctes d'un plan projectif qui se coupent en $A$. Soient $B,C,D \in \D$ distincts et $B',C',D' \in \D'$ distincts. Montrer que $(BB')$, $(CC')$ et $(DD')$ sont concourantes si et seulement si $[A,B,C,D]=[A,B',C',D']$.
\end{exo}

\begin{exo}[Involutions, Fresnel p.~76]
Soit $\D$ une droite projective, et $h$ une homographie de $\D$ différente de $\Id$. On note $-1$ pour $\Pi(-1,1) \in \P^1(\K)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $h^2 = \Id$ si et seulement si il existe $M \in \D$ tel que $h(M) \neq M$ et $h^2(M)=M$.
\item Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item $h$ est une involution et a un point fixe.
\item $h$ est une involution et a exactement deux points fixes.
\item $h$ a exactement deux points fixes $A$ et $B$ et il existe $M \in \D\setminus\{A,B\}$ tel que $[A,B,M,h(M)]= -1$.
\item $h$ a exactement deux points fixes $A$ et $B$ et pour tout $M \in \D\setminus\{A,B\}$ on a $[A,B,M,h(M)]=-1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Matrice d'une homographie]
Soient $a$, $b$ et $c \in \K$ distincts et soit $\bar{h} \in PGL_2(\K)$ l'unique homographie telle que $\bar{h}(a:1)=(1:0)$, $\bar{h}(b:1)=(0:1)$ et $\bar{h}(c:1)=(1:1)$. Expliciter une matrice de $\bar{h}$ en fonction de $a,b$ et $c$.
\end{exo}

\begin{exo}[Permutations et birapport, Audin p.~199]
Soient $(A_i)_{1\leq i \leq 4}$ quatre points distincts d'une droite projective. L'action de $\mathfrak{S}_4$ sur $(A_i)_{1\leq i \leq 4}$ par permutation des indices induit une action de $\mathfrak{S}_4$ sur l'ensemble des valeurs que peut prendre le birapport des $A_i$. Déterminer l'orbite et le stabilisateur de $[A_1,A_2,A_3,A_4]$ pour cette action.
\end{exo}

\begin{exo}[Audin p.~198]
Soient $A :=(a_0 : a_1)$, $B :=(b_0 : b_1)$, $C :=(c_0 : c_1)$, $D :=(d_0 : d_1)$ quatre points distincts de $\P^1(\K)$. Montrer que :
\begin{equation*}
[A,B,C,D] = \frac{\det\begin{pmatrix}c_0 & a_0 \\ c_1 & a_1\end{pmatrix}}{\det\begin{pmatrix}c_0 & b_0 \\ c_1 & b_1\end{pmatrix}}\cdot \frac{\det\begin{pmatrix}d_0 & b_0 \\ d_1 & b_1\end{pmatrix}}{\det\begin{pmatrix}d_0 & a_0 \\ d_1 & a_1\end{pmatrix}}.
\end{equation*}
\end{exo}

\begin{exo}[Un exercice pénible]
Vérifier par un calcul en coordonnées que si $A,B,C$ et $D$ sont quatre points distincts d'une droite projective $\P(V)$ et $f \in PGL(V)$ alors on a $[f(A),f(B),f(C),f(D)]=[A,B,C,D]$. Se convaincre que ce n'est pas la bonne méthode.
\end{exo}
\end{document}