\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\conv}{Conv}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
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\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
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\DeclareMathOperator{\rk}{rg}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sim}{Sim}
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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2016 -- 2017}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Homographies}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}
Soient $f$ et $g$ deux applications linéaires injectives de $V$ dans $W$. Montrer que $\bar{f}=\bar{g}$ si et seulement si il existe $\lambda \in \K^*$ tel que $f = \lambda g = g (\lambda \cdot)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Un grand classique de prépa révisité]
Soit $V$ un $\K$-espace vectoriel, quels sont les $f \in GL(V)$ tels que $\bar{f} = \Id_{\P(V)}$. Montrer qu'on a une suite exacte courte
\begin{equation*}
\xymatrix{
1 \ar[r] & \K^* \ar[r] & GL(V) \ar[r] & PGL(V) \ar[r] & 1
}.
\end{equation*}
En déduire que $PGL(V) \simeq GL(V) / \K^*$. La suite exacte courte ci-dessus est-elle scindée ?
\end{exo}

\begin{exo}[Audin p.~207]
Soit $f \in PGL(V)$ une homographie. Montrer que si $K=\R$ et $\dim(\P(V))$ est paire ou si $\K =\C$ alors $f$ a un point fixe. Trouver $f \in PGL_2(\R)$ sans point fixe.
\end{exo}

\begin{exo}[Audin p.~207]
Soient $f$ et $g$ deux homographies d'une droite projective ayant chacune deux points fixes. Montrer que $f$ et $g$  commutent si et seulement si elles ont les mêmes points fixes.
\end{exo}

\begin{exo}[Perspectives, Audin p.~208]
\label{exo perspectives}
Soient $\mathcal{H}$ et $\mathcal{H}'$ deux hyperplans projectifs de $\P(V)$ et $A \notin \mathcal{H} \cup \mathcal{H}'$. Soit $p_A$ l'application $\mathcal{H} \to \mathcal{H}'$ qui à $M$ associe l'intersection de $(AM)$ avec $\mathcal{H}'$. Montrer que $p_A$ est une homographie de $\mathcal{H}$ sur $\mathcal{H}'$.
\end{exo}

\begin{exo}[Le théorème des trois perspectives]
Soient $\D_1,\D_2$ et $\D_3$ trois droites d'un plan projectif qui concourent en $O$. Soient $A,B$ et $C$ trois points distincts tels que $A \notin \D_2 \cup \D_3$, $B \notin \D_1 \cup \D_3$ et $C\notin \D_1 \cup \D_2$. On considère les perspectives (voir exercice~\ref{exo perspectives}) $p_A : \D_2 \to \D_3$, $p_B : \D_3 \to \D_2$ et $p_C : \D_1 \to \D_2$ de centres respectifs $A$, $B$ et $C$. Montrer que si $p_C \circ p_B \circ p_A = \Id_{\D_2}$ alors $A,B$ et $C$ sont alignés.
\end{exo}

\begin{exo}[Isomorphismes exceptionnels, Perrin p.~106]
Démontrer les isomorphismes suivants :
\begin{align*}
&GL_2(\F_2) = PGL_2(\F_2) = PSL_2(\F_2) \simeq \mathfrak S(3) & &PGL_2(\F_4) = PSL_2(\F_4) \simeq \mathfrak A(5)\\
&PGL_2(\F_3) \simeq \mathfrak S(4) & &PSL_2(\F_3) \simeq \mathfrak A(4).
\end{align*}
\end{exo}

\begin{exo}
Si $\K=\R$ ou $\C$, montrer que les homographies sont des applications lisses.\\
\emph{Remarque.} En particulier, les homographies préservent les tangences.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que l'image d'un repère projectif par une homographie est un repère projectif de l'image.
\end{exo}


\begin{exo}[Action du groupe des homographies]
Soit $\P(V)$ un $\K$-espace projectif de dimension finie.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'action $PGL(V) \acts \P(V)$ est $2$-transitive. Trouver une obstruction à sa $3$-transitivité.
\item Trouver un invariant total pour l'action de $PGL(V)$ sur les sous-espaces projectifs de $\P(V)$.
\item Montrer que $PGL(V)$ agit simplement transitivement sur les repères projectifs de $\P(V)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Plus de dénombrement]
Soit $\K$ un corps de cardinal $q$. Combien y a-t-il de repères projectifs dans $\P^n(\K)$ ? Quel est le cardinal de $PGL_{n+1}(\K)$ ?
\end{exo}
\end{document}