\documentclass[11pt]{article}

% Packages

% Packages langues et encodage
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{csquotes}

% Packages maths
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[g]{esvect}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage[all]{xy}

% Packages mise en page
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[top=3cm, left=3cm, right=3cm, bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0}]{hyperref}

% Packages graphiques
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}

% Packages autres
\usepackage{color}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\car}{car}
\DeclareMathOperator{\conv}{Conv}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\isom}{Isom}
\DeclareMathOperator{\rk}{rg}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sim}{Sim}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Préparation à l'agrégation 2016 -- 2017}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Espaces projectifs, sous-espaces, familles libres et génératrices}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}
Soit $H$ un hyperplan de $\P(V)$ et $M \in \P(V) \setminus H$, montrer que toute droite passant par $M$ coupe $H$ en un unique point.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que $3$ points non alignés de $\P(V)$ définissent un unique plan projectif.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $P$ et $Q$ deux sous-espaces projectifs de $\P(V)$. Montrer que
\begin{equation*}
\langle P \cup Q \rangle = \Pi \left( \left(\Pi^{-1}(P)\cup\{0\}\right) + \left(\Pi^{-1}(Q)\cup \{0\}\right) \right).
\end{equation*}
Donner la dimension de $\langle P\cup Q\rangle$ en fonction des dimensions de $P$, $Q$ et $P\cap Q$.
\end{exo}

\begin{exo}[Dénombrement]
Soit $\K$ un corps de cardinal $q$. Quel est le cardinal de $\P^n(\K)$ ? Combien y a-t-il de sous-espaces projectifs de dimension $k$ dans $\P^n(\K)$ ?
\end{exo}

\begin{exo}[Dobble, cf.~article de M.~Bourrigan sur Images des Maths]
En utilisant le plan projectif sur $\F_7$, expliquer comment, à partir de $57$ symboles différents, on peut créer $57$ cartes, chacune avec $8$ symboles dessus, de telle sorte que deux cartes distinctes ont toujours un et un seul symbole en commun. Réfléchir à des applications ludiques!
\end{exo}

\begin{exo}[Le plan de Fano]
Identifier le plan projectif sur $\F_2$ à la figure \ref{fig Fano plane}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[height=4cm]{fanoplane.pdf}
\caption{Le plan de Fano}
\label{fig Fano plane}
\end{center}
\end{figure}
\end{exo}

\begin{exo}
Vérifier que $\P^n(\R) \subset \P^n(\C)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Topologie des espaces projectifs]
Montrer que $\P^n(\R)$ (resp.~$\P^n(\C)$) muni de sa topologie quotient est compact.\\
\emph{Remarque.} Le point pénible est de montrer qu'il est séparé. En fait c'est une variété lisse compacte sans bord de dimension $n$ (resp.~$2n$). Cela permet de parler de tangence dans ces espaces.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que $\mathcal{A}$ engendre $\P(V)$ si et seulement si $\vect(\Pi^{-1}(\mathcal{A})) = V$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $(A_1,\dots,A_k) \in \P(V)$. Pour tout $i \in \lint 1,k\rint$, soit $x_i \in \Pi^{-1}(A_i)$. Montrer que $(A_1,\dots,A_k)$ est projectivement libre si et seulement si $(x_1,\dots,x_k)$ est libre dans $V$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\P(V)$ un espace projectif de dimension $n \in \N$.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une famille génératrice de $\P(V)$ est de cardinal au moins $n+1$.
\item Montrer qu'une famille libre de $\P(V)$ est de cardinal au plus $n+1$.
\item Montrer qu'une famille génératrice de cardinal $n+1$ est libre.
\item Montrer qu'une famille libre de cardinal $n+1$ est génératrice.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}