\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
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\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\alt}{Alt}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
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\DeclareMathOperator{\im}{Im}
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\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Géométrie avancée 2016}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Différentielle extérieure, théorèmes de Stokes et Frobenius}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}[Échauffement]
Calculer $d \omega$, où $\omega$ est la forme suivante sur $\R^{n+1}$:
\begin{equation*}
x \mapsto \sum_{i=0}^n (-1)^i x_i dx^0 \wedge \dots \wedge dx^{i-1} \wedge dx^{i+1} \wedge \dots \wedge dx^n.
\end{equation*}
\end{exo}

\begin{exo}[Forme d'angle]
Soient $\alpha$ la $1$-forme différentielle $(x,y) \mapsto \dfrac{x dy - y dx}{x^2+y^2}$ définie sur $\R^2\setminus \{0\}$ et $f : (r,\theta) \mapsto (r\cos(\theta),r\sin(\theta))$ de $\R_+^* \times \R$ dans $\R^2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $d \alpha$.
\item La forme $f^*(\alpha)$ est-elle fermée ? Est-elle exacte ?
\item $\alpha$ est-elle exacte ?\\
\emph{Indication :} considérer $i^* \alpha$ où $i : \S^1 \to \R^2$ est l'injection canonique et montrer que si $i^*\alpha$ était exacte, elle s'annulerait en un point de $\S^1$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Formule de Stokes]
\begin{enumerate}
\item Soient $M$ une variété orientée compacte sans bord et $\alpha \in \Omega^{n-1}(M)$, calculer $\displaystyle\int_M d\alpha$.
\item Une forme volume sur $M$ peut-elle être exacte ?
\item Qu'en est-il sur une variété orientée, sans bord, mais non compacte ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $X : (x,y,z)\mapsto \deron{}{x} - y \deron{}{z}$ et $Y:(x,y,z)\mapsto \deron{}{y}$ deux champs de vecteurs sur $\R^3$.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'en tout point $p \in \R^3$, $(X(p),Y(p))$ est libre.
\item Calculer $[X,Y]$. La distribution engendrée par $X$ et $Y$ est-elle intégrable ?
\item Retrouver ce résultat sans utiliser le théorème de Frobenius.
\end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}[Construction de cartes]
Soient $X : (x,y)\mapsto x\deron{}{x} +
y \deron{}{y}$ et $Y:(x,y)\mapsto  x \deron{}{y}-y\deron{}{x}$ deux champs de vecteurs sur $\R^2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $[X,Y]$. Existe-t-il des coordonnées $(s,t)$ sur un voisinage de $(1,0)$ telles que $X = \deron{}{s}$ et $Y=\deron{}{t}$ ?
\item Calculer les flots de $X$ et $Y$.
\item En déduire une carte explicite sur un voisinage de $(1,0)$ telle que les coordonnées $(s,t)$ associées vérifient $X = \deron{}{s}$ et $Y=\deron{}{t}$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}