\documentclass[11pt]{article}

% Packages

% Packages langues et encodage
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{csquotes}

% Packages maths
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[g]{esvect}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage[all]{xy}

% Packages mise en page
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[top=3cm, left=3cm, right=3cm, bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0}]{hyperref}

% Packages graphiques
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}

% Packages autres
\usepackage{color}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\alt}{Alt}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\rk}{rg}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Géométrie avancée 2016}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Formes différentielles, orientabilité}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Soient $f:t \mapsto e^t$ de $\R$ dans $\R_+^*$ et $\alpha = \frac{d x}{x}$, calculer $f^*\alpha$.
\item Même question avec $f:\R^2 \to \R^2$ définie par $(r,\theta) \mapsto (r\cos \theta, r \sin \theta)$ et $\alpha = d x \wedge d y$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Orientabilité]
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une variété parallélisable est orientable.
\item Montrer qu'un produit de variétés orientables est orientable.
\item Montrer que le fibré tangent d'une variété est une variété orientable.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Sphères]
\begin{enumerate}
\item La sphère $\S^n$ est-elle orientable ?
\item Soient $d V = d x^0 \wedge \dots \wedge d x^n$ la forme volume standard de $\R^{n+1}$ (i.e. la forme égale au déterminant en tout point) et $X:x \mapsto \sum x_i \deron{}{x_i}$ le champs de vecteurs radial. Expliciter $\omega = X \lrcorner d V$ (on rappelle que $(Y \lrcorner \alpha) (Y_1,\dots,Y_p)= \alpha(Y,Y_1,\dots,Y_p)$).
\item Vérifier que $\omega$ est invariante sous l'action de $SO_{n+1}(\R)$.
\item Soit $i:\S^n \to \R^{n+1}$ l'injection canonique, montrer que $i^*(\omega)$ est une forme volume.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Tores]
Le tore $\T^n$ est-il orientable ? Si oui, construire une forme volume.
\end{exo}

\begin{exo}[Espaces projectifs]
\begin{enumerate}
\item Soient $n \in \N$ et $f :\S^n \to \S^n$, $x \mapsto -x$. Cette application préserve-t-elle l'orientation ?
\item L'espace projectif $\R\P^n$ est-il orientable ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}