\documentclass[11pt]{article}

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\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\alt}{Alt}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\rk}{rg}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Géométrie avancée 2016}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Champs de vecteurs et dérivée de Lie}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}[Redressement du flot]
Soient $M$ une variété fermée et $X \in \Gamma(TM)$. Soit $a \in M$ tel que $X(a) \neq 0$, montrer qu'il existe des coordonnées locales $(x_1,\dots,x_n)$ autour de $a$ telles que $X = \deron{}{x_1}$.

\emph{Question bonus :} Les orbites sont-elles des sous-variétés ?
\end{exo}

\begin{exo}[Transitivité du groupe des difféomorphismes]
\begin{enumerate}
\item Soient $a$ et $b$ dans la boule ouverte $\B=\{x \in \R^n \mid \Norm{x} < 1\}$. Montrer qu'il existe un difféomorphisme $f: \R^n \to \R^n$ tel que $f(a)=b$ et $f \equiv \Id$ hors de $\B$.
\item Soit $M$ une variété connexe, montrer que le groupe des difféomorphismes de $M$ agit transitivement sur $M$.
\item Cette action est-elle $k$-transitive ($k \in \N^*$) ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Retraction de sous-niveaux]
Soit $M$ une sous-variété fermée de $\R^n$ et $f:M \to \R$ une fonction lisse, on note $M_a = \{x \in M \mid f(x)\leq a\}$. Soient $a,b \in \R$ tels que $f^{-1}(]a-\epsilon,b+\epsilon[)$ ne contienne pas de point critique de $f$, pour un certain $\epsilon >0$. Montrer que $M_a$ et $M_b$ sont difféormorphes.
\end{exo}

\begin{exo}[Dérivée de Lie]
Soient $M$ une variété, $X, Y \in \Gamma(TM)$ et $f \in \mathcal{C}^\infty(M)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{L}_Xf = df \cdot X$.
\item Montrer que $\mathcal{L}_X(fY) = f\mathcal{L}_XY + (df\cdot X)Y$.
\item Soient $\omega \in \Omega^1(M)$, montrer que
\begin{equation*}
\mathcal{L}_X (\omega(Y)) = (\mathcal{L}_X \omega) (Y) + \omega(\mathcal{L}_X Y).
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Crochet de Lie]
\begin{enumerate}
\item Soient $X$ et $Y \in \Gamma(TM)$, montrer que $[X,Y]$ vérifie bien la règle de Leibniz (i.e. est une dérivation et définie bien un champ de vecteurs).
\item Vérifier que le crochet de Lie satisfait l'identité de Jacobi:
\begin{equation*}
[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0.
\end{equation*}
En déduire que $\mathcal{L}_X ([Y,Z])=[\mathcal{L}_XY,Z] + [Y,\mathcal{L}_XZ]$.
\item Soit $\varphi$ un difféomorphisme. Montrer que $\varphi_*([X,Y])=[\varphi_*X,\varphi_*Y]$.
\item Soient $f$ et $g$ deux fonctions lisses sur $M$, montrer que
\begin{equation*}
[fX,gY] = f (X\cdot g)Y - g (Y\cdot f)X + fg[X,Y].
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}