\documentclass[11pt]{article}

% Packages

% Packages langues et encodage
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{csquotes}

% Packages maths
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[g]{esvect}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage[all]{xy}

% Packages mise en page
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[top=3cm, left=3cm, right=3cm, bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0}]{hyperref}

% Packages graphiques
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}

% Packages autres
\usepackage{color}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\alt}{Alt}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\rk}{rg}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{5pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\setlength{\headheight}{16pt}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}

\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Géométrie avancée 2016}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Fibrés vectoriels}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}


\begin{exo}[Fibré tangent de la sphère]
Écrire les fonctions de transitions pour le fibré tangent de $\S^n$ et les trivialisations données par les projections stéréographiques de pôle nord et sud.
\end{exo}

\begin{exo}[Trivialisations locales et référentiels]
Soit $E \to M$ un fibré vectoriel de rang~$r$. Soit $U$ un ouvert de $M$, montrer qu'une trivialisation locale de $U$ définit $r$ sections locales $s_1,\dots,s_r$ de $E$ au-dessus de $U$ telles que, pour tout $x \in U$, $(s_1(x),\dots,s_r(x))$ est une base de la fibre $E_x$ au-dessus de $x$.

Inversement, soient $s_1,\dots,s_r$ des sections locales de $E \to M$ au-dessus de $U$ telles que pour tout $x \in U$, $(s_1(x),\dots,s_r(x))$ est une base de $E_x$. Montrer que ces sections définissent une trivialisation locale de $E$ au-dessus de $U$.
\end{exo}

\begin{exo}[Sections globales]
\begin{enumerate}
\item Décrire les sections du fibré trivial $M \times \R^r \to M$.
\item Un fibré vectoriel $E \to M$ a-t-il toujours des sections non nulles ?
\item Soit $L \to M$ un fibré en droites. Donner un critère de trivialité portant sur ses sections globales ?
\item Le fibré tangent de $\S^1$ est-il trivial ?
\item Trouver un critère de trivialité du même type pour un fibré $E \to M$ de rang $r>1$.
\item Le fibré tangent du tore $\T^n$ est-il trivial ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Sous-fibrés]
Soient $\pi : E \to M$ un fibré vectoriel de rang $r$, on dit que $V \subset E$ est un sous-fibré de $E$ de rang $k$ si, au voisinage de tout point, il existe une trivialisation de $E$ telle que :
\begin{equation*}
\pi^{-1}(U) \cap V \simeq U \times \left(\R^k \times \{0\} \right) \subset U \times \R^r.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'un sous-fibré vectoriel est un fibré vectoriel.
\item Soit $M \subset N$ une sous-variété. Montrer que $TM \to M$ est un sous-fibré de $i^*(TN)$, où $i:M\to N$ est l'injection canonique.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Fibré tautologique]
On note $J = \{(D,v) \in \R\P^n \times \R^{n+1} \mid v \in D\}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $J \to \R\P^n$ est un fibré en droites. Est-il trivial ?
\item On note $L \to \R\P^n$ le fibré dual de $J$. Soit $P$ un polynôme homogène de degré $d$ en $n+1$ variables. Montrer que $P$ définit naturellement une section globale de $L^{\otimes d}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Fibré normal]
On munit $\R^n$ de son produit scalaire usuel, noté $\prsc{\cdot}{\cdot}$. Soit $M$ une sous-variété de $\R^n$. On appelle fibré normal de $M$ l'ensemble
\[NM = \left\{(x,v)\in M \times \R^n \mid v \in T_xM^\perp\right\}.\]
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $NM$ est un fibré vectoriel sur $M$ et donner son rang.
\item Montrer que le fibré trivial $M \times \R^n \to M$ est isomorphe à $TM \oplus NM$.
\item Le fibré normal de $\S^{n-1}$ est-il trivial ?
\item Le fibré normal d'une hypersurface est-il trivial ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}