\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

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% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\alt}{Alt}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
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\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
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\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Géométrie avancée 2016}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Algèbre multilinéaire}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}[Produits tensoriels sur $\R$]
Soient $E$ et $F$ deux $\R$-espaces vectoriels de dimension $n$ et $m$ respectivement. On note $e=(e_j)$ une base de $E$ et $f=(f_i)$ une base de $F$.
\begin{enumerate}
\item Soit $\alpha \in (E^*)^{\otimes k}$, identifier les coordonnées de $\alpha$ dans la base de $(E^*)^{\otimes k}$ associée à $e$.
\item Expliciter un isomorphisme naturel entre $E^*\otimes F$ et $\mathcal{L}(E,F)$.
\item Soit $L : E\to F$ linéaire de matrice $M=(m_{j}^i)$ dans les bases $e$ et $f$, quelle est la matrice de $L^*$ dans les bases duales $e^*$ et $f^*$ ?
\item On définit la contraction $c : E \otimes E^* \to \R$ par $c(e_i \otimes e^j) = \delta_{i}^j$. Soit $L :E \to E$ linéaire, reconnaitre $c(L)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Produit extérieur et déterminant]
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, on note $(e_i)$ une base de $E$ et $(e^i)$ sa base duale. Soit également $k \in \{1,\dots,n\}$.
\begin{enumerate}
\item Soient $\alpha$ et $\beta$ des formes multilinéaires, vérifier que $\alt(\alpha \otimes \beta) = \alt( \alt(\alpha) \otimes \alt(\beta))$.
\item Vérifier que le produit extérieur est associatif et anticommutatif.
\item Soient $\alpha^1,\dots , \alpha^k \in E^*$, montrer que $\left(\alpha^1 \wedge \dots \wedge \alpha^k\right)(v_1,\dots,v_k)=\det\left((\alpha^i(v_j))_{1\leq i,j\leq k}\right)$.
\item En déduire que la famille $\left\{ e^{i_1}\wedge \dots \wedge e^{i_k} \mvert i_1 < \dots < i_k \right\}$ est une base de $\bigwedge^k E^*$. Donner la décomposition sur cette base d'une forme $k$-linéaire alternée $\omega$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Tiré-en-arrière]
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels et $L:E \to F$ linéaire.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour toutes formes alternées $\alpha$ et $\beta$, on a $L^*(\alpha \wedge \beta) = L^*(\alpha) \wedge L^*(\beta)$.
\item  Soient $(e_j)$ et $(f_i)$ des bases de $E$ et $F$ respectivement. On note $M=(m_{j}^i)$ la matrice de $L$ dans ces bases. Soit $J =(j_1,\dots,j_k)$ un multi-indice tel que $1\leq j_1<\dots < j_k \leq n$, on note $e^J = e^{j_1}\wedge \dots \wedge e^{j_k}$. Avec des notations similaires dans $F$, soit $\omega=\sum \omega_I f^I$ où la somme porte sur les multi-indices croissants. Exprimer $L^*(\omega)$ dans la base des $(e^J)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Algèbre extérieure]
\begin{enumerate}
\item Existe-t-il une forme multilinéaire alternée $\alpha$ sur un espace vectoriel $E$ tel que $\alpha \wedge \alpha \neq 0$ ?
\item Existe-t-il une forme alternée non nulle qui commute à toutes les autres ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Formes décomposables]
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Une forme $k$-linéaire alternée sur $E$ est dite \emph{décomposable} si elle s'écrit comme produit extérieur de $k$ formes linéaires. Sinon on dit qu'elle est \emph{indécomposable}.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les formes linéaires et $n$-linéaires alternées sont toujours décomposables.
\item Soit $\alpha \in E^*\setminus\{0\}$, montrer qu'une forme $k$-linéaire alternée $\omega \neq 0$ est divisible par $\alpha$ (i.e. s'écrit comme $\alpha \wedge \beta$) si et seulement si $\alpha \wedge \omega = 0$.
\item Soit $(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ une famille libre de $E^*$. La $2$-forme $ \omega = \alpha \wedge \beta + \gamma \wedge \delta$ est-elle décomposable ?
\item Une $(n-1)$-forme $\omega$ est-elle toujours décomposable (on suppose $n>1$) ? On pourra considérer l'application $ \phi_\omega : \alpha \mapsto \alpha \wedge \omega$ de $E^*$ dans $\bigwedge^n E^*$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}