\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
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\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Géométrie avancée 2016}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Théorème de Sard, transversalité}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}
Soit $M$ une sous-variété de $\R^n$ de dimension $m$ avec $2m<n$. Montrer que pour tout $\epsilon >0$ il existe $v \in \R^n$ tel que $\Norm{v}< \epsilon$ et $\left(M+v\right) \cap M = \emptyset$.\\ (\emph{Bonus}) Que se passe-t-il pour $n \leq 2m$ ?
\end{exo}

\begin{exo}[Variété d'incidence]
Soient $M$ une variété lisse et $V$ un sous-espace de dimension finie de $\mathcal{C}^\infty(M)$ qui contient les constantes.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Sigma = \left\{(f,x) \in V \times M \mvert f(x)=0 \right\}$ est une hypersurface de $V \times M$ et décrire l'espace $T_{(f,x)}\Sigma$.
\item Dans cette question on suppose que $M=\R$.
\begin{enumerate}
\item Soit $(f,x) \in \Sigma$ tel que $f'(x) \neq 0$. Montrer qu'il existe $U$ et $V$, des voisinages ouverts de $f$ et $x$ respectivement, et $\varphi : U \to V$ lisse telle que $\varphi(f)=x$ et $g(\varphi(g))= 0$ pour tout $g \in U$.
\item En déduire que, dans $\R_d[X]$, les racines simples d'un polynôme sont des fonctions lisses des coefficients.
\item (\emph{Bonus}) Que se passe-t-il au niveau des racines multiples ?
\end{enumerate}
\item Soient $p_V$ et $p_M$ les projections de $\Sigma$ sur $V$ et $M$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_M$ est une submersion.
\item Déterminer les points critiques de $p_V$, puis ses valeurs critiques.
\item Montrer que l'ensemble des $f \in V$ tels que $f^{-1}(0)$ est une hypersurface de $M$ est de mesure pleine.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Transversalité]
Soient $\mathcal{C}$ le cylindre de $\R^3$ d'équation
\begin{equation*}
\left\{(x,y,z) \in \R^3 \mvert (x-1)^2+y^2=1\right\}
\end{equation*}
et $S_r$ la sphère de centre $0$ et de rayon $r>0$. Pour quelles valeurs de $r$ l'intersection $\mathcal{C} \cap S_r = M_r$ est-elle une sous-variété de $\R^3$ ? Que se passe-t-il dans les cas critiques ?
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $M$, $N$ et $P$ trois variétés différentiables, $F:M \to P$ lisse et $G:N \to P$ une submersion. On pose
\begin{equation*}
Q = \left\{ (x,y) \in M \times N \mvert F(x)=G(y) \right\},
\end{equation*}
montrer que $Q$ est une variété et calculer sa dimension.
\end{exo}
\end{document}