\documentclass[11pt]{article}

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% Packages langues et encodage
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{stmaryrd}
\usepackage[all]{xy}

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% Packages graphiques
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}

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\usepackage{color}
\usepackage{enumerate}
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\usepackage{soul}


% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\rk}{rg}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Géométrie avancée 2016}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Sous-variétés, plongements}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}[Exemples de groupes de Lie]
Montrer que $GL_n(\R)$, $SL_n(\R)$, $O_n(\R)$ et $SO_n(\R)$ sont des variétés et décrire leurs tangents en $I_n$.
\end{exo}

\begin{exo}[Matrices de rang fixé]
Soit $V_r$ l'ensemble des matrices réelles de taille $m \times n$ de rang exactement~$r$. On veut montrer que $V_r$ est une sous-variété de $\mathcal{M}_{mn}(\R)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left\{ M \in \mathcal{M}_{mn}(\R) \mvert \rk(M) \geq r\right\}$ est un ouvert.
\item Soit $M = \left(\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D\end{smallmatrix}\right)$ par blocs où $A \in \mathcal{M}_r(\R)$. On suppose que $A$ est inversible. Montrer que $M \in V_r$ si et seulement si $D = CA^{-1}B$.
\item En déduire que $V_r$ est une variété de dimension $(m+n-r)r$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Points fixes d'involutions]
Soit $f:\R^n \to \R^n$ une application lisse telle que $f\circ f = \Id$. On pose $\fix(f) = \left\{ x \in \R^n \mvert f(x) = x\right\}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \in \fix(f)$, $(d_xf)^2 = \Id$.
\item On suppose que $f(0)=0$. On définit $h = \frac{1}{2}\left(\Id + d_0f\circ f\right)$. Montrer que $h$ est un difféomorphisme entre voisinages de $0$. Montrer que $h \circ f = d_0f \circ h$. 
\item En déduire que $\fix(f)$ est une sous-variété de $\R^n$.
\item \emph{(Bonus)} Que dire de $\fix(f)$ lorsque $f \circ \dots \circ f = \Id$ (itérée $k$-ième) ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Image d'une immersion injective]
\begin{enumerate}
\item Soit $h:M \to N$ une immersion injective propre (i.e. l'image réciproque d'un compact de $N$ est compacte). Montrer que $h$ est un plongement.
\item Soit $h : t \mapsto \left(\frac{t^2-1}{t^2+1},t \frac{t^2-1}{t^2+1}\right)$ de $]-\infty;1[$ dans $\R^2$. On note $M = h\left(]-\infty;1[\right)$. L'application $h$ est-elle une immersion injective ? Est-elle propre ? Est-ce un plongement ? Est-ce que $M$ est une sous-variété de $\R^2$ ?
\item Soit $i :\ ]-1;1[\ \to \R$ l'inclusion canonique. Montrer que $i$ est une immersion injective. Est-elle propre ? Est-ce un plongement ?
\item Soit $h : M \to N$ une immersion injective telle que $h(M)$ soit une sous-variété de $N$. Es-ce un plongement ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Existe-t-il une variété $M$ compacte, sans bord, de dimension $n>0$ qui s'immerge dans $\R^n$ ?
\end{exo}

\begin{exo}[Plongement de Veronese]
On rappelle que l'espace projectif $\R\P^n$ est le quotient de $\left(\R^{n+1}\setminus \{0\}\right)$ par la relation de colinéarité. Si $x=(x_0,\dots,x_n) \in \R^{n+1}$, on dit $(x_0:\dots:x_n)$ sont les \emph{coordonnées homogènes} de la droite engendrée par $x$.

Soit $h: \R\P^2 \to \R\P^5$ définie par $h(x:y:z)=(x^2:y^2:z^2:xy:yz:zx)$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $h$ est bien définie.
\item Montrer que $h$ est un plongement.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}