\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet}


% Definition des operateurs
\DeclareMathOperator{\aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Géométrie avancée 2016}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Espace tangent, différentielle}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}[Exercice de calligraphie]
Soient $M$, $N$ et $P$ des variétés lisses, $F:M \to N$ et $G:N \to P$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(G \circ F)^*= F^* \circ G^*$ et $(G \circ F)_* = G_* \circ F_*$.
\item Montrer que $d_p \left(\Id_M\right) = \Id_{T_pM}$.
\item Montrer que $d_p(G \circ F) = \left(d_{F(p)}G\right) \circ d_pF$.
\item Si $F$ est un difféomorphisme, montrer que $d_pF$ est inversible et $d_{F(p)}F^{-1} = (d_pF)^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Localité des dérivations]
Soient $M$ une variété lisse, $p \in M$ et $D$ une dérivation en $p$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $f$ est constante alors $D(f) =0$.
\item Soient $f$ et $g \in \mathcal{C}^\infty(M)$ et $U$ un voisinage de $p$ tel que $f \equiv g$ sur $U$. Montrer que $D(f)=D(g)$. On dit que $D(f)$ ne dépend que du germe de $f$ en $p$.
\end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}[Espace tangent et chemins]
Soient $M$ une variété lisse et $p\in M$.
\begin{enumerate}
\item Soit $\gamma : \R \to M$ lisse tel que $\gamma(0)=p$, montrer que $D(\gamma) : \mathcal{C}^\infty(M) \to \R$, définie par $f \mapsto (f\circ \gamma)'(0)$, est une dérivation.
\item Soient $F:M\to N$ et $\gamma:\R \to M$ lisses, montrer que $d_pF \cdot D(\gamma) = D(F \circ \gamma)$.
\item Soit $v : \mathcal{C}^\infty(M) \to \R$ une dérivation en $p$, montrer qu'il existe $\gamma:\R \to M$ lisse tel que $\gamma(0)=p$ et $v = D(\gamma)$.
\item Soient $\gamma_1$ et $\gamma_2$ lisses de $\R$ dans $M$ tels que $\gamma_1(0)=p=\gamma_2(0)$, montrer que les propositions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item $D(\gamma_1)=D(\gamma_2)$.
\item Il existe une carte $(U,\varphi)$ autour de $p$ telle que $(\varphi \circ \gamma_1)'(0) = (\varphi \circ \gamma_2)'(0)$.
\item Pour toute carte $(U,\varphi)$ autour de $p$, on a $(\varphi \circ \gamma_1)'(0) = (\varphi \circ \gamma_2)'(0)$.
\end{enumerate}
\item Conclure que $T_pM$ est l'ensemble des courbes lisses $\gamma:\R\to M$ telles que $\gamma(0)=p$, modulo tangence en $0$ dans une carte (dans toute carte).
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Espace tangent à une sous-variété]
Pour chacune des quatres caractérisations de sous-variété, décrire l'espace tangent $T_pM \subset T_pN$ de la sous-variété $M$ de $N$.
\end{exo}

\begin{exo}[Espace tangent d'un produit]
Soient $M$ et $N$ deux variétés lisses, construire un isomorphisme naturel entre $T_{(p,q)}\left(M \times N \right)$ et $T_pM \times T_qN$.
\end{exo}

\begin{exo}[Un calcul de différentielle]
Calculer la différentielle de $\overline{F}:\T^2 \to \S^2$ définie comme le quotient de l'application de $\R^2$ dans $\S^2$ :
\begin{equation*}
F :(x,y) \mapsto (\cos(2\pi x)\cos(2\pi y),\cos(2\pi x)\sin(2\pi y),\sin(2\pi x)).
\end{equation*}
Déterminer sur quels domaines $\overline{F}$ est un difféomorphisme local. La restriction à ces domaines est-elle un difféomorphisme ?
\end{exo}
\end{document}