\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}

\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

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% Definition des operateurs
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\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
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\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
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\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Géométrie avancée 2016}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Variétés, applications différentiables}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}[La sphère]
\begin{enumerate}
\item Montrer directement que $\S^n = \left\{ x \in \R^{n+1} \mvert \Norm{x}_2=1 \right\}$ est une variété lisse de dimension $n$, en construisant un atlas.
\item \emph{(bonus)} Quel est le lien entre cette structure différentielle et celle construite dans la dernière question de l'exercice 4 du TD précédent.
\item Que ce passe-t-il si on remplace la norme euclidienne $\Norm{\cdot}_2$ par une autre norme $\Norm{\cdot}$ ?
\item \emph{(bonus)} Combien faut-il de cartes au minimum pour définir un atlas sur la sphère ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Produit de variétés]
Soient $M$ et $N$ deux variétés lisses. Montrer que $M \times N$ est une variété lisse. Quelle est sa dimension ? En déduire que $\S^1 \times \cdots \times \S^1$ est une variété.
\end{exo}

\begin{exo}[Le tore]
\begin{enumerate}
\item Construire une structure différentielle sur le tore $\T^n = \R^n / \Z^n$ telle que la projection canonique $p : \R^n \to \T^n$ soit un difféomorphisme local.
\item Montrer que l'homéomorphisme de $\T^n$ vers $(\S^1)^n$ construit dans l'exercice~3 du premier TD est un difféomorphisme.
\item \emph{(bonus)} Combien faut-il de cartes au minimum pour définir un atlas sur le tore $\T^n$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Espaces projectifs]
On rappelle que $\R \P^n$ est défini comme $\left(\R^{n+1} \setminus \{0\}\right) / \R^*$. Soit $x = (x_0,\dots,x_n) \in \R^{n+1} \setminus \{0\}$, on note $(x_0 : \dots : x_n)$ sa classe dans $\R \P^n$.
\begin{enumerate}
\item Soit $i \in \{0,\dots,n\}$, montrer que $U_i = \left\{(x_0 : \dots : x_n) \in \R \P^n \mvert x_i \neq 0 \right\}$ est un ouvert de $\R \P^n$ homéomorphe à $\R^n$ via la projection canonique $p:\R^{n+1}\setminus \{0\} \to \R\P^n$.
\item Montrer que $\R \P^n$ est une variété lisse.
\item Montrer que $p$ est lisse.
\item Montrer que $p$ restreinte à $\S^n$ est un difféomorphisme local.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Variétés à bord]
On rappelle qu'une variété à bord de dimension $n$ est un espace topologique $M$, séparé, à base dénombrable et muni d'un atlas $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$, où $\varphi_\alpha(U_\alpha)$ est un ouvert du demi-espace $H^n=\left\{(x_1,\dots,x_n)\in \R^n \mvert x_n \geq 0\right\}$ et les changements de cartes sont des restrictions à $H^n$ de difféomorphismes entre ouverts de $\R^n$.\\
On note $\partial H = \left\{(x_1,\dots,x_n)\in \R^n \mvert x_n = 0\right\}$ le bord de $H$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la boule $\overline{\B^n} = \left\{ x \in \R^n \mvert \Norm{x} \leq 1 \right\}$ est une variété à bord.
\item Soient $M$ une variété à bord de dimension $n$ et $x \in M$ tel que $\varphi_\alpha(x) \in \partial H^n$ pour un certain $\alpha$. Montrer que pour tout $\beta$ tel que $x \in U_\beta$, $\varphi_\beta(x) \in \partial H^n$.\\
On appelle \emph{bord} de $M$ et on note $\partial M$ l'ensemble des $x\in M$ tels que $\varphi_\alpha(x) \in \partial H^n$ pour un certain $\alpha$ (donc pour tous).
\item Montrer que $M \setminus \partial M$ est ouvert dans $M$ et est une variété sans bord de dimension $n$.
\item Montrer que $\partial M$ est une variété sans bord de dimension $n-1$.
\item \emph{(bonus)} Le produit de deux variétés à bord est-il une variété à bord (pour la structure différentielle produit) ? Et le produit d'un variété à bord par une variété sans bord ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}