\documentclass[11pt]{article}

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% Definition des environnements
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem*{thm}{Théorème}
	\newtheorem*{cor}{Corollaire}
	\newtheorem*{lem}{Lemme}
	\newtheorem*{prop}{Proposition}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem*{dfn}{Définition}
	\newtheorem*{ntn}{Notation}
	\newtheorem*{dfns}{Définitions}
	\newtheorem*{ntns}{Notations}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}
	\newtheorem*{rems}{Remarques}
	\newtheorem*{ex}{Exemple}
	\newtheorem*{cex}{Contre-exemple}
	\newtheorem*{exs}{Exemples}
	\newtheorem*{cexs}{Contre-exemples}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Definiition des commandes
\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
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\newcommand{\acts}{\curvearrowright}
\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
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\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\lint}{\llbracket}
\newcommand{\rint}{\rrbracket}
\newcommand{\leqclosed}{\trianglelefteqslant}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}

\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\triangleleft}{\vartriangleleft}

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% Definition des operateurs
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\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
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\begin{document}

\thispagestyle{fancy}
\lhead{Géométrie avancée 2016}
\rhead{ENS de Lyon}
\begin{center}
\Large{Rappels de topologie et calcul différentiel}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

\begin{exo}[Calculs de différentielles]
Justifier que les applications suivantes sont différentiables et expliciter leur différentielle.
\begin{enumerate}
\item $(A,B) \mapsto AB$ de $\mathcal{M}_{nk}(\R) \times \mathcal{M}_{kp}(\R)$ dans $\mathcal{M}_{np}(\R)$.
\item $\det : \mathcal{M}_n(\R) \to \R$.
\item \label{3} $f \mapsto f^{-1}$ de $GL(E)$ dans lui-même, où $E$ est un espace vectoriel réel de dimension finie.
\item Soient $\Omega \subset \R^n$ un ouvert d'adhérence compacte et $V$ un espace vectoriel de dimension finie, formé de fonctions $\R^n \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$, on considère alors $(f,x) \mapsto f(x)$ de $V\times \Omega \to \R$.
\item \emph{(bonus)} Dans le cas de la question~\ref{3}, que se passe-t-il si $E$ est un espace de Banach de dimension quelconque ? (cf.~St Raymond, sect.~X.9 par exemple)
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Restriction]
Soit $f : \Omega \to \R^m$ une application lisse, où $\Omega$ est un ouvert de $\R^n$. Soit $V$ un sous-espace affine de $\R^n$ tel que $V \cap \Omega \neq \emptyset$, montrer que $f_{/V}$ est lisse. Exprimer la différentielle de $f_{/V}$ en fonction de celle de $f$.
\end{exo}

\begin{exo}[Topologie quotient]
\label{quotient}
\begin{enumerate}
\item Soient $X$ un espace topologique et $\sim$ une relation d'équivalence sur $X$, on note $p : X \to X/\sim$ la projection canonique. Rappeler la définition de la topologie quotient sur $X/\sim$.
\item Soit $f:X/\sim \ \to Y$, montrer que $f$ est continue si et seulement si $f \circ p$ est continue.
\item Soit $\T^n = \R^n / \Z^n$, montrer que $\T^n$ est compact et $p$ est ouverte.
\item Soit $\R\P^n$ l'espace obtenu en quotientant $\R^{n+1}\setminus \{0\}$ par la relation d'équivalence ``être colinéaire'', montrer que $\R\P^n$ est compact et $p$ est ouverte.
\item Soit $f:K \to Y$ continue bijective avec $K$ compact, $f$ est-elle un homéomorphisme ?
\item On définit $\S^1$ comme $\{z \in \C \mid \norm{z}=1\}$, montrer que $\T^1$ est homéomorphe à $\S^1$. Plus généralement montrer que $\T^n$ est homéomorphe à $(\S^1)^n$.
\item \emph{(bonus)} Soit $\C\P^n$ l'espace obtenu en quotientant $\C^{n+1}\setminus \{0\}$ par la relation d'équivalence ``être $\C$-colinéaire'', montrer que $\C\P^n$ est compact et $p$ est ouverte.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Sous-variétés]
\label{sousvar}
\begin{enumerate}
\item Rappeler les quatre définitions équivalentes de sous-variété lisse de dimension $d$ de $\R^n$.
\item Parmi les ensembles suivants, dire lesquels sont des sous-variétés lisses de $\R^n$ et donner leur dimension. On n'attend pas de justification détaillée.
\begin{enumerate}
\item La sphère unité de $\R^n$ pour la norme euclidienne.
\item La sphère unité de $\R^n$ pour la norme sup.
\item L'union disjointe d'un plan et d'une droite de $\R^3$.
\item Le tore $(\S^1)^n \subset \R^{2n}$.
\item L'ensemble $\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2-y^2 =0\}$.
\item L'ensemble $\{(x,y) \in \R^2 \setminus \{0\} \mid x^2-y^2 =0\}$.
\item L'image de l'application $h:]-\infty,1[ \ \to \R^2$ définie par $h:t \mapsto \left(\frac{t^2-1}{t^2+1},t\frac{t^2-1}{t^2+1}\right)$.
\end{enumerate}
\item Soit $\Omega$ un ouvert de $\R^d$ et $h:\Omega \to \R^n$ une immersion injective, $h(\Omega)$ est-elle une variété ?
\item Montrer qu'une sous-variété lisse de $\R^n$ de dimension $d$ est une variété lisse de dimension~$d$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}