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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Géométrie avancée 2015}
\rhead{ÉNS de Lyon}
\begin{center}
\Large{La grassmannienne}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\rule{\linewidth}{0.5pt}

Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $n$ et $k \in \{1,\dots,n\}$, on note $Gr_k(E)$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$ de dimension $k$. L'objectif est de définir une structure de variété lisse compacte sur $Gr_k(E)$. Ceci permet ensuite de parler de régularité d'un chemin de $k$-plans dans $E$, par exemple.

\paragraph*{Description comme quotient.}

On commence par décrire $Gr_k(E)$ comme quotient d'un espace sympathique, pour pouvoir le manipuler plus facilement. L'idée est de chosir un $k$-plan en en choisissant une base, c'est-à-dire une famille libre de $E$ de cardinal $k$. 

Soit $\mathcal{I}(\R^k,E)= \left\{\phi \in L(\R^k,E) \mvert \rk(\phi)=k\right\}$ l'ensemble des applications linéaires injectives de $\R^k$ dans $E$. Pour tout $\phi \in \mathcal{I}(\R^k,E)$, $F_\phi = \phi(\R^k)$ est un sous-espace de $E$ de dimension $k$. Réciproquement un tel sous-espace est de la forme $F_\phi$ pour un certain $\phi \in \mathcal{I}(\R^k,E)$. De plus, $\phi$ est un isomorphisme de $\R^k$ sur $F_\phi$. On note $\phi^\dagger : F_\phi \to \R^k$  l'unique application linéaire telle que $\phi^\dagger \phi = \Id_{\R^k}$ et $\phi \phi^\dagger$ est l'inclusion de $F_\phi$ dans $E$.

Si $F_\phi = F_\psi$, alors $\phi^\dagger \psi$ est bien définie et appartient à $GL_k(\R)$. Alors $\phi \phi^\dagger \psi = \psi$ et $\phi$ et $\psi$ diffèrent d'un élément de $GL_k(\R)$. Inversement, si $\psi = \phi A$ avec $A\in GL_k(\R)$ alors $F_\phi = F_\psi$. Ensemblistement on a donc
\begin{equation*}
Gr_k(E) = \mathcal{I}(\R^k,E)/GL_k(\R),
\end{equation*}
où $GL_k(\R)$ agit par $A\cdot \phi = \phi A^{-1}$. On munit $Gr_k(E)$ de la topologie quotient et on note $\mathcal{F}: \phi \mapsto F_\phi$ la projection canonique. Dans la suite on verra indifférement un élément de $Gr_k(E)$ comme sous-espace ou comme classe d'application linéaire.

\begin{rem}
$\mathcal{I}(\R^k,E)$ est un ouvert de $L(\R^k,E)$. Fixons une base de $\R^k$ et une base de $E$, on note $M_\phi$ la matrice de $\phi\in L(\R^k,E)$ dans les bases considérées. Alors $\rk(\phi)=k$ si et seulement si l'un des déterminants extraits de taille $k$ de $M_\phi$ est non nul, ce qui est une condition ouverte.
\end{rem}

\paragraph*{Ouverts standards.}

Soit $G \in Gr_{n-k}(E)$, on note $U_G = \left\{ F \in Gr_k(E) \mvert F \oplus G = E \right\}$. On a alors que $U_G$ est ouvert si et seulement si
\begin{equation*}
\mathcal{F}^{-1}(U_G) = \left\{ \phi \in \mathcal{I}(\R^k,E) \mvert F_\phi \oplus G =E \right\}
\end{equation*}
est ouvert. Montrons que c'est le cas.

Soient $(a_1,\dots,a_n)$ une base de $E$ telle que $(a_{k+1},\dots,a_n)$ est une base de $G$ et $(e_1,\dots,e_k)$ une base de $\R^k$. Notons $M_\phi$ la matrice de $\phi$ dans ces bases. Les colonnes de $M_\phi$ sont $\phi(e_1),\dots,\phi(e_k)$ et forment une base de $F_\phi$. Alors $F_\phi \oplus G = E$ si et seulement si la famille $\left(\phi(e_1),\dots,\phi(e_k),a_{k+1},\dots,a_n\right)$ est une base de $E$, c'est-à-dire si et seulement si la matrice
\begin{equation*}
\left(\begin{array}{c|c}
M_\phi & 0 \\
\cline{2-2} & I_{n-k}
\end{array}\right)
\end{equation*}
est inversible. Ici $I_{n-k}$ est la matrice identité de taille $n-k$.

Si $M_\phi'$ est le bloc $k \times k$ supérieur de $M_\phi$, on a donc $\phi \in \mathcal{F}^{-1}(U_G)$ si et seulement si $\det(M_\phi')\neq 0$. C'est donc bien un ouvert.

\paragraph*{Cartes affines.}

Il faut maintenant construire un homéomorphisme entre $U_G$ et un ouvert d'un certain espace vectoriel. Pour cela, fixons un supplémentaire $F_0=\mathcal{F}(\phi_0)$ de $G$.

L'idée de base est simple : tout élément de $U_G$ s'écrit d'une unique façon comme le graphe d'un certain $f \in L(F_0,G)$ (voir plus bas), ce qui va nous fournir l'homéomorphisme souhaité.

Commençons par rappeler que le graphe de $f \in L(F_0,G)$ est, dans notre cas,
\begin{equation*}
\grap(f)= \left\{x + f(x) \mvert x \in F_0\right\} \subset F_0 \oplus G = E.
\end{equation*}
C'est un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $k$ et $\grap(f)\cap G = \{0\}$ donc $\grap(f) \in U_G$.

On va construire une application continue de $L(F_0,G)$ dans $U_G$ qui sera l'inverse de la carte recherchée. Notons $i_0$ l'identité de $F_0$. Soit $f \in L(F_0,G)$, $i_0+f$ est linéaire de $F_0$ dans $F_0\oplus G = E$. Cette application est injective. En effet, soit $x \in \ker(i_0+f)$, on a $x = -f(x) \in G$ mais $x \in F_0$, donc $x=0$. Par ailleurs, $(i_0+f)(F_0)=\grap(f)$.

Soit $f \in L(F_0,G)$, comme $F_0 = \phi_0(\R^k)$ on peut définir $\phi_f=(i_0+f) \circ \phi_0 = \phi_0 + f \circ \phi_0$. Comme $\phi_0$ et $(i_0+f)$ sont linéaires et injectives, il en est de même de $\phi_f$. De plus,
\begin{equation*}
\phi_f(\R^k)= (i_0+f)(F_0) = \grap(f).
\end{equation*}
et $\grap(f) \cap G = \{0\}$ donc $\phi_f \in \mathcal{F}^{-1}(U_G)$.

Notons $\chi_{F_0,G} : L(F_0,G) \to \mathcal{F}^{-1}(U_G)$ l'application $f \mapsto \phi_f=\phi_0 + f \circ \phi_0$. C'est une application affine, donc continue. Alors $\mathcal{F}\circ \chi_{F_0,G} : L(F_0,G) \to U_G$ est continue. Notons qu'on a une expression simple :
\begin{equation*}
\mathcal{F}\circ \chi_{F_0,G} : f \mapsto \grap(f).
\end{equation*}

\begin{rem}
En particulier, ça ne dépend pas du choix d'un antécédent $\phi_0$ de $F_0$, alors que $\chi_{F_0,G}$ en dépend.
\end{rem}

\begin{lem}
Pour tout $F \in U_G$, il existe un unique $f \in L(F_0,G)$ tel que $F = \grap(f)$. En particulier, $\mathcal{F}\circ \chi_{F_0,G}$ est une bijection continue de $L(F_0,G)$ vers $U_G$.
\end{lem}

\begin{proof}
Notons $p_{F_0}$ la projection sur $F_0$ parallèlement à $G$ et $p_G$ la projection sur $G$ parallèlement $F_0$. Soit $F\in U_G$, comme $F\cap G=\{0\}$, $\left(p_{F_0}\right)_{/F}$ est injective, et donc est un isomorphisme de $F$ sur $F_0$.

On raisonne par analyse et synthèse. Supposons que $F = \grap(f)$. Pour tout $y \in F$, il existe $x \in F_0$ tel que $y = x +f(x)$. Alors, $x = p_{F_0}(y)$ et $f(x)=p_G(y) = p_G \circ \left(\left(p_{F_0}\right)_{/F}\right)^{-1}(x)$. Donc $f = p_G \circ \left(\left(p_{F_0}\right)_{/F}\right)^{-1}$. Ce qui donne l'unicité.

Inversement, si $f = p_G \circ \left(\left(p_{F_0}\right)_{/F}\right)^{-1}$ alors $\grap(f)$ est un sous-espace de dimension $k$ de $E$. Pour tout $y \in F$,
\begin{equation*}
y = p_{F_0}(y)+p_G(y) = p_{F_0}(y)+f\left(p_{F_0}(y)\right) \in \grap(f).
\end{equation*}
Donc $F \subset \grap(f)$, ce qui donne l'égalité par un argument de dimension. 
\end{proof}

Il faut ensuite construire l'inverse de $\mathcal{F}\circ \chi_{F_0,G}$ et vérifier qu'il est bien continu. Pour comprendre ce qu'il se passe il est utile de regarder les matrices dans de bonnes coordonnées.

Soit $(e_1,\dots,e_k)$ une base de $\R^k$ et $a_i = \phi_0(e_i)$ pour $i \leq k$, alors $(a_1,\dots,a_k)$ est une base de $F_0$. Si $(a_{k+1},\dots,a_n)$ est une base de $G$, alors les $(a_i)$ forment une base de $E$. Soit $f \in L(F_0,G)$, la matrice de $\phi_f = \chi_{F_0,G}(f)$ dans les bases $(e_1,\dots,e_k)$ et $(a_1,\dots,a_n)$ est de la forme
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
I_k \\ M_f
\end{pmatrix},
\end{equation*}
où $M_f$ est la matrice de $f$ dans les bases $(a_1,\dots,a_k)$ et $(a_{k+1},\dots,a_n)$ et $I_k$ est l'identité de taille $k$. Pour retrouver $f$ à partir de $\phi_f$, il suffit de trouver la partie de $\phi_f$ correspondant au bloc $M_f$.

Si on conserve la même base pour $E$ mais qu'on change de base de $\R^k$ en faisant agir une certaine matrice $A \in GL_k(\R)$, la matrice de $\phi_f$ est alors de la forme
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A^{-1} \\ M_f A^{-1}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}

Cela sugère de poser $\tilde{\varphi}_{F_0,G} : \mathcal{F}^{-1}(U_G) \to L(F_0,G)$ définie par $\tilde{\varphi}_{F_0,G}(\phi) = \left(p_G \circ \phi\right) \circ \left(p_{F_0} \circ \phi\right)^{-1}$.

\begin{rem}
$\phi \in U_G$ donc $F_\phi \oplus G = E$ et donc la projection $p_{F_0}$ induit un isomorphisme de $F_\phi$ vers $F_0$. Donc $p_{F_0} \circ \phi$ est bien un isomorphisme de $\R^k$ dans $F_0$.
\end{rem}

Les compositions et le passage à l'inverse sont des applications continues donc $\tilde{\varphi}_{F_0,G}$ est continue. Par ailleurs, soient $\phi \in \mathcal{F}^{-1}(U_G)$ et $A \in GL_k(\R)$, alors $\psi = \phi A \in \mathcal{F}^{-1}(U_G)$ et
\begin{equation*}
\tilde{\varphi}_{F_0,G}(\psi) = \left(p_G\phi A\right) \circ \left(p_{F_0} \phi A\right)^{-1} = \left(p_G \phi\right) A A^{-1} \left(p_{F_0} \phi\right)^{-1} = \tilde{\varphi}_{F_0,G}(\phi).
\end{equation*}
Donc $\tilde{\varphi}_{F_0,G}$ passe au quotient. Et l'application quotient $\varphi_{F_0,G}: U_G \to L(F_0,G)$ est continue. On sait déjà que $\mathcal{F}\circ \chi_{F_0,G}: L(F_0,G) \to U_G$ est une bijection continue. Il reste à vérifier que $\varphi_{F_0,G}$ est sa réciproque.

Soit $f \in L(F_0,G)$, on a :
\begin{align*}
\tilde{\varphi}_{F_0,G}\circ \chi_{F_0,G}(f) &= \left(p_G \phi_f\right) \left(p_{F_0} \phi_f\right)^{-1} = \left(p_G (i_0+f) \phi_0\right)\left(p_{F_0}(i_0+f)\phi_0\right)^{-1} = \left(p_G (i_0+f)\right)\left(p_{F_0}(i_0+f)\right)^{-1}\\ &= f\circ i_0^{-1} = f.
\end{align*}
Donc $\tilde{\varphi}_{F_0,G}\circ \chi_{F_0,G} = \Id$ et donc $\varphi_{F_0,G}\circ \mathcal{F}\circ \chi_{F_0,G}= \Id$. Au final, on a construit un homéomorphisme $\varphi_{F_0,G} : U_G \to L(F_0,G)$.

\paragraph*{Séparabilité.}

Soient $F$ et $F' \in Gr_k(E)$, il existe $G$ un supplémentaire commun à $F$ et $F'$. Alors, $F$ et $F' \in U_G$ qui est homéomorphe à un espace vectoriel de dimension finie (par exemple par $\varphi_{F,G}$) donc séparé. Il existe donc $V$ et $V'$ deux ouverts de $U_G$ (et donc de $Gr_k(E)$) tels que $F\in V$, $F'\in V'$ et $V \cap V' = \emptyset$. Donc $Gr_k(E)$ est séparé.

\paragraph*{Changements de carte.}

Il serait trop technique  de décrire tous les changements de cartes, on va donc se restreindre à un atlas avec peu de cartes. Fixons une base $(a_1,\dots,a_n)$ de $E$. On fixe aussi une base $(e_1,\dots,e_k)$ de $\R^k$. Dorénavant, toutes les matrices considérées seront écrites dans ces bases.

Pour tout $I \subset \{1,\dots,n\}$ de cardinal $k$, on note
\begin{align*}
F_I &= \vect(a_i \mid i \in I), & G_I &= \vect(a_i \mid i \notin I), & U_I &= U_{G_I} & &\text{et} & \varphi_I &= \varphi_{F_I,G_I}.
\end{align*}
Si $M \in \mathcal{M}_{n,k}(\R)$, on note $M_I$ la matrice extraite de $M$ en ne gardant que les lignes d'indices $i \in I$.

\begin{lem}
\[Gr_k(E) = \bigcup_{\substack{I \subset \{1,\dots,n\}\\ \norm{I}=k}} U_I.\]
\end{lem}
\begin{proof}
Soit $\phi \in \mathcal{I}(\R^k,E)$, sa matrice $M_\phi$ est de rang $k$. Il existe donc une matrice extraite de taille $k$ inversible. C'est-à-dire, il existe $I$ de cardinal $k$ tel que $\det((M_\phi)_I)\neq 0$. Cela signifie que le $k$-plan $F_\phi$ engendré par les colonnes de $M_\phi$ est un supplémentaire de $G_I$ (voir la section sur les ouverts standards plus haut). Donc $\phi \in U_I$.
\end{proof}

Soient $I$ et $J \subset \{1,\dots,n\}$ de cardinal $k$, on va décrire l'application :
\begin{equation*}
\varphi_J \circ \varphi_I^{-1} : \left\{f \in L(F_I,G_I) \mvert \grap(f) \cap G_J = \{0\} \right\} \longrightarrow \left\{f \in L(F_J,G_J) \mvert \grap(f) \cap G_I = \{0\} \right\}
\end{equation*}
et vérifier qu'elle est lisse.

Par les définitions de la section précédente on a $\varphi_J \circ \varphi_I^{-1} = \varphi_J \circ \mathcal{F} \circ \chi_I= \tilde{\varphi}_J \circ \chi_I$, où on a noté $\chi_I = \chi_{F_I,G_I}$ et $\tilde{\varphi}_J = \tilde{\varphi}_{F_J,G_J}$.

\begin{rem}
La construction de $\chi_I$ dépend du choix d'un $\phi_I$ tel que $\mathcal{F}(\phi_I)= F_I$, mais heureusement le changement de cartes n'en dépend pas. Si $I = \{i_1,\dots,i_k\}$, on peut par exemple choisir $\phi_I$ qui envoie $e_j$ sur $a_{i_j}$ pour tout $j$. 
\end{rem}

Soit maintenant $f \in L(F_I,G_I)$ telle que $\grap(f) \cap G_J = \{0\}$. On a
\begin{equation*}
\tilde{\varphi}_J \circ \chi_I(f) = \tilde{\varphi}_J(\phi_I+f\circ \phi_I) = \left(p_{G_J}(\phi_I+f\circ \phi_I)\right) \left(p_{F_J}(\phi_I+f\circ \phi_I)\right)^{-1}
\end{equation*}
ce qui montre que $\tilde{\varphi}_J \circ \chi_I(f)$ est lisse, mais on le voit mieux matriciellement.

Soit $N$ la matrice de $f$. Si $I=\{1,\dots,k\}$, alors la matrice de $\chi_I(f)$ est $M_f=\begin{pmatrix}I_k \\ N\end{pmatrix}$. Sinon $M_f$ est une matrice obtenue à partir de celle-ci en permutant les lignes (la permutation ne dépendant que de $I$).

Comme $f \in \varphi_I(U_J)$, la matrice extraite $(M_f)_J$ est inversible. On a alors que $\tilde{\varphi}_J \circ \chi_I(f)$ a pour matrice :
\[(M_f)_{J^C} \left((M_f)_J\right)^{-1}.\]
Les coefficients de cette matrice sont des fractions rationnelles en les coefficients de $N$, donc sont lisses.

Ainsi $(U_I,\varphi_I)$ est un atlas lisse sur $Gr_k(E)$.

\paragraph*{Autres descriptions et compacité.}

Comme dans le cas de l'espace projectif, on va trouver une autre description de $Gr_k(E)$ pour montrer que c'est un compact.

Pour choisir un $k$-plan de $Gr_k(E)$, on choisit une famille libre de cardinal $k$. On pourrait aussi choisir une base de $E$, et ne conserver que les premiers vecteurs. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$, les autres bases de $E$ s'obtiennent par l'action de $GL(E)$.

À $M \in GL(E)$, on associe le $k$-plan $F_M$ engendré par $(Me_1,\dots,Me_k)$. On a $F_M = F_N$ si et seulement si $M^{-1}N$ stabilise $E_0 = \vect(e_1,\dots,e_k)$. Donc on a une bijection $GL(E)/ H \to Gr_k(E)$ où $H$ est le stabilisateur de $E_0$.

\begin{rem}
Dans la base $(e_1,\dots,e_n)$ les éléments de $H$ ont pour matrice un élément de $GL_n(\R)$ de la forme $\begin{pmatrix}A & B \\ 0 & C\end{pmatrix}$ avec $A \in GL_k(\R)$ et $C \in GL_{n-k}(\R)$.
\end{rem}

Remarquons que dans notre construction initiale, on peut remplacer $\R^k$ par n'importe quel $\R$-espace vectoriel $V$ de dimension $k$. On a alors $Gr_k(E) = \mathcal{I}(V,E)/ GL(V)$. On peut en particulier choisir $V = E_0$.

On peut alors reformuler ce qui précède comme suit. On a une application naturelle $r : GL(E) \to \mathcal{I}(E_0,E)$ définie par $M \mapsto M_{/E_0}$. L'application $r$ est continue, donc $\mathcal{F}\circ r : GL(E) \to Gr_k(E)$ est continue (avec le point de vue précédent $\mathcal{F}(r(M))= F_M$). Cette application passe au quotient par $H$ et définit alors une bijection continue $\alpha : GL(E)/ H \to Gr_k(E)$. On voudrait montrer que c'est un homéomorphisme, mais la continuité de la réciproque n'est pas évidente. Le lemme suivant montre que $GL(E)/ H$ est séparé.

\begin{lem}
\label{lemme separable}
Soit $f:X \to Y$ une bijection continue avec $Y$ séparé, alors $X$ est séparé.
\end{lem}

Supposons que $E$ est muni d'un produit scalaire, et supposons que la base $(e_1,\dots,e_n)$ soit une base orthonormée. On peut alors définir un $k$-plan par le choix d'une base orthonormée et refaire la même chose que précédemment en faisant agir $O(E)$ sur la base $(e_1,\dots,e_n)$.

La restriction à $O(E)$ de $\mathcal{F}\circ r$ est continue pour la topologie induite, et surjective. En effet, tout élément de $Gr_k(E)$ admet une base orthonormée.

Ceci prouve, en particulier, que la restriction à $O(E)$ de la projection $\pi : GL(E) \to GL(E)/H$ est surjective. Soit $M \in GL(E)$, $F_M = \mathcal{F}(r(M))$ admet une base orthonormée, donc il existe $O \in O(E)$ tel que $F_O=F_M$. Donc $M^{-1}O \in H$ et $\pi(M)=\pi(O)$.

Comme $H \cap O(E) = O(E_0) \times O(E_0^\perp)$ (le voir matriciellement), l'application $\left(\mathcal{F}\circ r\right)_{/O(E)}$ induit une bijection continue :
\begin{equation*}
\beta : O(E)/\left((E_0) \times O(E_0^\perp)\right) \to GL(E)/H.
\end{equation*}

Le lemme \ref{lemme separable} montre que $O(E)/\left((E_0) \times O(E_0^\perp)\right)$ est séparé. Comme c'est l'image du compact $O(E)$ par la projection canonique qui est continue, $O(E)/\left((E_0) \times O(E_0^\perp)\right)$ est compact.

Alors $\beta$ est continue d'un compact dans un espace séparé et bijective, donc c'est un homéomorphisme. En particulier, $GL(E)/H$ est compact, et le même raisonnement montre que $\alpha$ est un homéomorphisme.

Finalement $Gr_k(E)$ est compact, et on a trouvé deux descriptions alternatives :
\begin{equation*}
Gr_k(E) \simeq O(E)/\left((E_0) \times O(E_0^\perp)\right) \simeq GL(E)/H.
\end{equation*}
\end{document}