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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Se}{\mathbb{S}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

\newcommand{\lgu}{``}
\newcommand{\rgu}{''}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
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% Mise en page
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% Informations document
\author{Thomas Letendre}
\date{23 avril 2014}
\title{TMB printemps 2014 - fiche 10 - Équations différentielles linéaires}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Techniques mathématiques de base}
\rhead{Printemps 2014}
\lfoot{Licence PCSI}
\rfoot{Université Claude Bernard - Lyon 1}

\begin{center}
\Large{Fiche 10 - Équations différentielles linéaires}
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
Résoudre les équations différentielles linéaires homogènes suivantes d'inconnue $y : \R \to \R$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $y'+2y = 0$
\item $2y'-3y = 0$
\item $y'' + y = 0$
\item $y'' + 2y' + 1y = 0$
\item $y'' - 3y'+ 2y = 0$
\item $y'' - 6y'+ 9y = 0$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre les équations différentielles suivantes d'inconnue $y : \R \to \R$, par variation de la constante.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $y'+3y=1$
\item $y'+ y = \dfrac{1}{1+e^x}$
\item $y' -2y = \cos(x) + e^{2x}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre les équations différentielles suivantes d'inconnue $y : \R \to \R$, en cherchant une solution particulière sous une forme bien choisie.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $y'' -2y +5 y = \sin(x)$
\item $y'' -2y'+ y = (x+1)e^{2x}$
\item $y'' -2y'+ y = (x+1)e^{x}$
\item $y'' +3y' +2y = \cos(x)e^{x} + x-3$
\item $y'' +2y' -2y = x\sin(2x)e^{x}$
\item $y'' +2y' -2y = x\sin(x)e^{x}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre les équations différentielles suivantes d'inconnue $y : \R \to \R$, avec la condition initiale $y(0)=1$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $y' = 1 + y^2$
\item $y' = \tan(y)$
\item $y' - \dfrac{y}{1+x^2} = 0$
\item $y' +2xy = x$ 
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre les équations différentielles suivantes, d'abord sur $\R_+$ et $\R_-$, puis sur $\R$ tout entier.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $xy' - 2y = 0$
\item $x^2y' = y$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

% Exo 1 à 3 très bien, mais il faut pas tout faire c'est ultra long.

% Exo 4 pas abordé. Les equations à coef non constants ne sont pas au programme de l'UE, mais ça peut être bien de voir les variables séparées, et un cas facile de coef non constant en degré 1. Ça fait aussi un exemple de non linéarité.

% Exo 5 très facultatif, juste pour montrer ce qu'il se passe si c'est pas résolu en la dérivée d'ordre max. N'aborder que si on a tout son temps.

\end{document}