\documentclass[a4paper,twoside,leqno,12pt]{article}

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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Se}{\mathbb{S}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

\newcommand{\lgu}{``}
\newcommand{\rgu}{''}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\bar}{\overline}

% Mise en page
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% Informations document
\author{Corentin Avicou}
\date{23 avril 2014}
\title{TMB printemps 2014 - fiche 9 - Intégration}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Techniques mathématiques de base}
\rhead{Printemps 2014}
\lfoot{Licence PCSI}
\rfoot{Université Claude Bernard - Lyon 1}

\begin{center}
\Large{Fiche 9 - Intégration}
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
Déterminer, par un calcul direct les intégrales suivantes :
\begin{enumerate}[a.]
\begin{multicols}{2}
\item $\displaystyle\int_{-1}^2 (e^x+\cos x+3x+1)dx$,
\item $\displaystyle\int_2^3 \frac{(x-2)(x+3)}{\sqrt{x}}dx$,
\item $\displaystyle\int_{-1}^2 |x| dx$,
\item $\displaystyle\int_0^2 f(x) dx \text{ où } f(x)= \left\{\begin{aligned} &1 & &\text{si } 0\leq x\leq 1 \\ &x & &\text{si } 1<x\leq 2.\end{aligned}\right.$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
En reconnaissant une dérivée de fonctions composées, déterminer en fonction de $a$ et $b$ (pour quelles valeurs de $a$ et $b$ cela a-t-il du sens ?) :
\begin{enumerate}[a.]
\begin{multicols}{2}
\item $\displaystyle \int_a^b \cos(x) e^{\sin(x)} dx$,
\item $\displaystyle \int_a^b \frac{3x}{\sqrt{1-x^4}}dx$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
À l'aide d'un changement de variable, déterminer en fonction de $a$ et $b$ :
\begin{enumerate}[a.]
\begin{multicols}{3}
\item $\displaystyle \int_a^b \cos(x) \sin(x) dx$, 
\item $\displaystyle \int_a^b x(x^2-1)^5 dx$,
\item $\displaystyle \int_a^b \frac{1}{1+e^x} dx$,
\item $\displaystyle \int_a^b \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx$,
\item $\displaystyle \int_a^b \frac{\sin(\ln x)}{x}dx$,
\item $\displaystyle \int_a^b \frac{1}{x^{14}(x^{30}+1)}dx$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\`A l'aide d'une intégration par parties, déterminer en fonction de $a$ et $b$ :
\begin{enumerate}[a.]
\begin{multicols}{3}
\item $\displaystyle \int_a^b x^2 \ln(x) dx$,
\item $\displaystyle \int_a^b xe^{-x} dx$,
\item $\displaystyle \int_a^b \cos(x) e^x dx$,
\item $\displaystyle \int_a^b e^x(x+1)^2 dx$,
\item $\displaystyle \int_a^b \sin^4(x) dx$,
\item $\displaystyle \int_a^b \arcsin (x) dx$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer, par la méthode de votre choix :
\begin{enumerate}[a.]
\begin{multicols}{3}
\item $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin(x) dx$,
\item $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{1+x}$,
\item $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{8}} \frac{dx}{\cos(x)(\sin(x)-\cos(x))}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Sachant que la longueur d'une courbe décrite sur un intervalle $[a;b]$ par $y=f(x)$ (où $f$ est une fonction continue dérivable et de dérivée continue) est donnée par \[L=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2} dx,\]
déterminer :
\begin{enumerate}
\item la longueur de la courbe $y=\frac 13\sqrt x (3-x)$ pour $0\leqslant x\leqslant 3$,
\item la circonférence d'un cercle de rayon $r$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer les intégrales suivantes, après avoir décomposé l'intégrand en éléments simples. 
\begin{enumerate}[a.]
\begin{multicols}{2}
\item $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x+2}{x^2-3x+2} dx$
\item $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^2-1} dx$
\item $\displaystyle \int_1^5 \frac{1}{x(x+1)^2} dx$
\item $\displaystyle \int_0^a \frac{1}{x^2+x+1} dx$ 
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer les primitives des fonctions suivantes. 
\begin{enumerate}[a.]
\begin{multicols}{2}
\item $x \mapsto \sin(x)^2$
\item $x \mapsto \tan x$
\item $x \mapsto \sin^2(x)\cos^3(x)$
\item $x \mapsto \frac{\sin^3(x)}{\cos^2(x)}$ 
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

% Exo 1 bien, exo 2 à étoffer un peu, ça pose des problèmes aux élèves. Et exo 2b. foireux, à supprimer.

% Exo 3 le a est pas bien comme premier exemple de changement de variable, et le f il faut passer le x^14 numérateur pour que ça marche. On peut virer a et mettre tan à la fin.

% Exo 4, e foireux et a pas terrible (à mettre plus loin).

% Exo 5 bien.

% Exo 6 trop dur pour les élèves.

% Exo 7 serait un bon exo si les DES étaient au programme de l'UE.

% Exo 8 OK.

\end{document}