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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Se}{\mathbb{S}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

\newcommand{\lgu}{``}
\newcommand{\rgu}{''}

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% Mise en page
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% Informations document
\author{Agnès Rico}
\date{\today}
\title{TMB printemps 2014 - fiche 8 - Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis et formules de Taylor}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Techniques mathématiques de base}
\rhead{Printemps 2014}
\lfoot{Licence PCSI}
\rfoot{Université Claude Bernard - Lyon 1}

\begin{center}
\Large{Fiche 8 - Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis et formules de Taylor}
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
Montrer que l'équation $x^{20 \, 000}+x+1=0$ ne peut avoir plus de deux racines réelles. 
\end{exo}

\begin{exo}
En utilisant le théorème des accroissements finis montrer que pour tout $x \in\ ]0,+\infty[$ : $\frac{x}{x+1} \leq \ln(x+1) \leq x$ et $\frac{1}{x+1}\leq\ln(x+1)-\ln(x)\leq \frac{1}{x}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer le polynôme de Taylor à l'ordre 2 des fonctions suivantes aux points indiqués.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f:x\mapsto \frac{1}{x+1}$, en $x_0=0$ et $x_1=1$.
\item $f:x\mapsto \frac{1}{(x+1)^2}$, en $x_0=0$.
\item $f:x\mapsto (x+1)^\alpha$, en $x_0=0$.
\item $f:x\mapsto \sin(3x)$, en $x_0=0$ et $x_1=\frac{\pi}{2}$.
\item $f:x\mapsto  e^{2x}$, en $x_0=0$ et $x_1=1$.
\item $f:x\mapsto \ln(1+2x)$, en $x_0=0$ et $x_1=1$.
\item $f:x\mapsto \cos(x)^2$, en $x_0=0$ et $x_1=\frac{\pi}{2}$.
\item $f:x\mapsto \sqrt{1+\arcsin(x)}$, en $x_0=0$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer une valeur approchée à la précision $10^{-3}$ de $\cos\left(\frac{1}{2}\right)$.
\end{exo}

\begin{exo}
À l'aide de la formule de Taylor-Lagrange montrer que pour tout $x \in \R^+$ on a : $x-\frac{x^3}{6} \leq \sin(x)$. 
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:[0,1]\to \R$ une fonction continue sur $[0,1]$ dérivable sur $[0,1[$ telle que $f(0)=f(1)=0$ et $f'(0)=0$. Soit $g:[0,1] \to \R$ la fonction définie par $g(0)=0$ et pour tout $x \in\ ]0,1]$, $g(x)= \frac{f(x)}{x}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ vérifie les hypothèses du théorème de Rolle.
\item En déduire qu'il existe $c \in \ ]0,1[$ tel que $f'(c)=\frac{f(c)}{c}$.
\item Interpréter géométriquement ce résultat.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f: \R \to \R$ la fonction définie par :
\begin{equation*}
f : x \mapsto \left\{ \begin{aligned} &\frac{3-x^2}{2} & &\textrm{si } x<1 \\ &\frac{1}{x} & &\textrm{si } x\geq 1\end{aligned}\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur $[0;2]$ et dérivable sur $]0;2[$.
\item Montrer qu'il existe $c \in\ ]0,2[$ tel que $f(2)-f(0) = 2 f'(c)$.
\item Déterminer tous les $c \in\ ]0;2[$ qui vérifient cette condition.
\end{enumerate}
\end{exo}

% Exo 1 à modifier. Montrer le même résultat avec "au plus trois racines réelles" est facile en appliquant deux fois Rolle. Passer de 3 à 2 nécessite de revenir sur les racines n-ièmes de l'unité qui sont loins et pas comprises par les élèves. C'est trop long et les élèves n'en retirent pas grand chose. Utiliser 8 ou 10 plutôt que 20000 permet de ne pas avoir à prononcer "racine 19999-ième de l'unité" 36 fois ...

% Exo 2 bien, mais il faudrait que le cours énonce des variantes sur le TAF, notamment quand on a des bornes sur la dérivée. Ça éviterait de faire 20 minutes de "rappels".

% Exo 3 nécessaire mais sans intérêt. On peut le faire 4 fois plus court, ou bien l'incorporer à la fiche dérivation. En l'état c'est juste un prétexte pour envoyer les élèves dériver au tableau et se reposer.

% Exo 4 bien comme exemple d'utilisation de Taylor-Lagrange, à leur expliquer sans forcément les faire chercher.

% Exo 5 à supprimer car personne ne prouverait ça comme ça alors qu'une bête étude de fonction donne le résultat tout aussi vite (ou à la limite avec un DL, mais pas avec Taylor-Lagrange).

% Exo 6 et 7 trop dur.
\end{document}