\documentclass[a4paper,twoside,leqno,12pt]{article}

%packages utilisés
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{csquotes}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{pgf,tikz}
\usepackage[g]{esvect}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage{multicol}
\usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
\usepackage{enumerate}

% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Se}{\mathbb{S}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

\newcommand{\lgu}{``}
\newcommand{\rgu}{''}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\bar}{\overline}

% Mise en page
\parskip=3pt
\setlength{\voffset}{-0.8cm}
\setlength{\hoffset}{-0.5cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{24cm}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

% Informations document
\author{Corentin Avicou}
\date{\today}
\title{TMB printemps 2014 - fiche 7 - Fonctions circulaires, hyperboliques et leurs réciproques }

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Techniques mathématiques de base}
\rhead{Printemps 2014}
\lfoot{Licence PCSI}
\rfoot{Université Claude Bernard - Lyon 1}

\begin{center}
\Large{Fiche 7 - Fonctions circulaires, hyperboliques et leurs réciproques}
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
Pour chacune des fonctions suivantes, 
\begin{itemize}
\item déterminer l'ensemble image $F$,
\item donner un ensemble $E$, le plus grand possible tel que $f$ réalise une bijection de $E$ sur son image,
\item donner l'allure graphique de la bijection réciproque (avec l'ensemble choisi).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f:x\mapsto x$
\item $g:x\mapsto |x|$
\item $h:x\mapsto x^2$
\item $i:x\mapsto x$
\item $j : x \mapsto \frac{3x+5}{x^2+1}$
\item $k : x \mapsto \left\{ \begin{aligned} 0 \quad &\textrm{si} \ x<0 \\ 1 \quad &\textrm{si} \ x \geq  0\end{aligned} \right.$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\`A l'aide de ceux des fonctions $\exp$, $\sin$ et $\cos$, donner le domaine de définition, le domaine de continuité, le domaine de dérivabilité, la dérivée et l'allure graphique des fonctions $\tan$, $\operatorname{ch}$, $\operatorname{sh}$, $\operatorname{th}$, $\arccos$, $\arcsin$, $\arctan$, $\operatorname{argch}$, $\operatorname{argsh}$ et $\operatorname{argth}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ telles que :
\begin{enumerate}[a.]
\begin{multicols}{3}
\item $\sin(\arcsin x)=x$.
\item $\arcsin(\sin x)=x$.
\item $\arcsin(-x)=-\arcsin (x)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\'Evaluer :
\begin{enumerate}[a.]
\begin{multicols}{3}
\item $\arcsin\left(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right)$
\item $\arctan\left(\tan\left(\frac{9\pi}{4}\right)\right)$
\item $\arcsin\left(\sin\left(-\frac{-9\pi}{4}\right)\right)$
\item $\tan\left(\arctan\left(3\right)\right)$
\item $\arcsin\left(\frac{\sqrt 2}2\right)$
\item $\arctan\left(\frac{\sqrt 3}3\right)$
\item $\arcsin\left(\frac 12\right)$
\item $\cos\left(\arcsin\left(-\frac 14\right)\right)$
\item $\cos\left(\arcsin\left(\frac 1{\sqrt 5}\right)\right)$
\item $\sin\left(\arccos\left(\frac 15\right)-\arctan 2\right)$
\end{multicols}
\begin{multicols}{3}
\item $\operatorname{ch}\left(\ln\left( \frac{1+\sqrt 5}{2}\right)\right)$
\item $\operatorname{sh}\left(\ln\left( \frac{1+\sqrt 5}{2}\right)\right)$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer l'allure graphique des fonctions
\begin{enumerate}[a.]
\begin{multicols}{3}
\item $x\mapsto \arcsin \circ \sin x$.
\item $x\mapsto \arccos \circ \cos x$.
\item $x\mapsto \arctan \circ \tan x$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer, lorsque c'est possible, les solutions des équations suivantes :
\begin{enumerate}[a.]
\begin{multicols}{2}
\item $\arcsin x =\frac{2\pi}{3}$
\item $\arctan x=\frac{2\pi}{3}$
\item $\arcsin x+\arctan(\frac 13)=\frac{\pi}{4}$
\item $\arctan (x)+\arctan(2x)=\frac{\pi}{4}$
\item $\arcsin(2x) -\arcsin(x\sqrt 3)=\arcsin(x)$
\item $\arccos x+\arctan \frac 12 =\pi$
\item $\arccos x+\arctan \frac 12=\frac{3\pi}{3}$
\item $\operatorname{ch}(x)=2$
\item $2\operatorname{ch}(x)-\operatorname{sh}(x)=1$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\forall x\in [-1;1],\ \arccos x+\arcsin x=\frac{\pi}{2},$
\item $\forall x>0,\ \arctan x+\arctan\frac 1x=\frac \pi 2,$
\item $ \forall x<0,\ \arctan x+\arctan\frac 1x=-\frac \pi 2.$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

% Long au final à cause des calculs assez nombreux.

% Exo 1 et 2 pas touchés, pas très utile à ce stade de l'année, ça devrait être fait au début.

% Reste bien (sh et ch pas abordés en cours, donc sautés) mais longuet (nécessité de faire des études de fonction pour prouver l'existence de solutions).

\end{document}