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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
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\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

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% Mise en page
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% Informations document
\author{Thomas Letendre}
\date{19 mars 2014}
\title{TMB printemps 2014 - fiche 6 - Fonctions réelles}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Techniques mathématiques de base}
\rhead{Printemps 2014}
\lfoot{Licence PCSI}
\rfoot{Université Claude Bernard - Lyon 1}

\begin{center}
\Large{Fiche 6 - Fonctions réelles}
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
Déterminer le domaine de définition des fonctions réelles suivantes. Où sont-elles continues ? Dérivables ?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $f : x \mapsto 3$
\item $f : x \mapsto x^3+8x^2-5$
\item $f : x \mapsto \sqrt{x-1}$
\item $f : x \mapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right)$
\item $f : x \mapsto \frac{3x+5}{x^2+1}$
\item $f : x \mapsto \frac{3x+5}{x^2-1}$
\item $f : x \mapsto \ln (\sqrt{x^2-2x})$
\item $f : x \mapsto \norm{x}$
\item $f : x \mapsto \left\{ \begin{aligned} 0 \quad &\textrm{si} \ x<0 \\ 1 \quad &\textrm{si} \ x \geq  0\end{aligned} \right.$
\item $f : x \mapsto \left\{ \begin{aligned} 0 \quad &\textrm{si} \ x\in \R \setminus \Q \\ 1 \quad &\textrm{si} \ x \in  \Q \end{aligned} \right.$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer, si elles existent, les limites des fonctions suivantes en $0^+$, $0^-$, $0$ et $+\infty$. On précisera aussi les domaines de définition.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $f : x \mapsto x^2 -5x+1$
\item $f : x \mapsto -3x+4$
\item $f : x \mapsto \frac{1}{x}$
\item $f : x \mapsto \frac{1}{x^2}$
\item $f : x \mapsto x \ln(x)$
\item $f : x \mapsto \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$
\item $f : x \mapsto \frac{\exp(x)}{x^7}$
\item $f : x \mapsto x^{12}\exp(-x)$
\item $f : x \mapsto \cos(x)$
\item $f : x \mapsto \lfloor x \rfloor$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer la limite au point indiqué des fonctions suivantes, après avoir précisé leur domaine de définition.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f : x \mapsto \frac{x - 2\ln(x)}{e^x-1}$, en $+\infty$
\item $f : x \mapsto \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$, en $0$
\item $f : x \mapsto \frac{1}{x-3}-\frac{1}{x^2-9}$, en $3$
\item $f : x \mapsto x\sin \left( \frac{1}{x} \right)$, en $0$
\item $f : x \mapsto x^3 + 7x\sin(x)$, en $+ \infty$
\item $f : x \mapsto \lfloor x \rfloor e^{-x}$, en $+ \infty$
\item $f : x \mapsto \sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}$, en $+ \infty$
\item $f : x \mapsto \frac{x^3-1}{x^2-1}$, en $1$
\item $f : x \mapsto \ln(x+1)-\ln(x)$, en $+\infty$
\item $f : x \mapsto \ln\left(1-x^3e^x\right)$, en $-\infty$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer les limites suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$
\item $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$
\item $\lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{x-2}$
\item $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}$
\item $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)}$
\item $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos(3x))}{\ln(\cos(2x))}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On note $f : x \mapsto \sqrt{x}$, $g : x \mapsto x^2-1$ et $h : x \mapsto \frac{1}{x}$.
\begin{enumerate}
\item Pour chacune de ces fonctions, donner le domaine de définition, le domaine de dérivabilité et calculer la dérivée sur ce domaine.
\item Faire de même avec toutes les composées de deux de ces fonctions.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son domaine de définition, le domaine sur lequel elle est dérivable, et calculer sa dérivée.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f : x \mapsto (x^2+1)\sqrt{x^3-1}$
\item $f : x \mapsto \frac{(x-1)^3}{\sqrt{x}+1}$
\item $f : x \mapsto \frac{1}{3}\tan(x)^3 - \tan(x)+x$
\item $f : x \mapsto \ln(x+\sqrt{x^2+1})$
\item $f : x \mapsto \frac{\exp\left(\frac{1}{x}\right)-1}{\sqrt{x^2+1}}$
\item $f : x \mapsto \ln\left(\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right)$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer la dérivée et la dérivée seconde des fonctions suivantes. Déterminer les points critiques de ces fonctions et leur nature (minimum, maximum ou point d'inflexion).
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $f : x \mapsto \frac{x^3}{3}-x+5$
\item $f : x \mapsto \frac{1}{x^2-1}$
\item $f : x \mapsto x^3$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Étudier les fonctions suivantes (domaine de définition, continuité, dérivabilité, limites éventuelles, variations, extrema) et tracer leur graphe.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f : x \mapsto x^2(x-1)^3$
\item $f : x \mapsto \frac{1}{x^2-1}$
\item $f : x \mapsto x^2e^{-x}$
\item $f : x \mapsto x + \frac{1}{x}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : ]0,+\infty[ \to \R$ définie par $x \mapsto \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$. Soit $a \in \R$, discuter le nombre de solutions de l'équation $f(x)=a$ d'inconnue $x \in ]0,+\infty[$, en fonction de la valeur de $a$.
\end{exo}

\begin{exo}
En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que pour tout $x \in ]0,+\infty[$ on a : $\frac{1}{x+1}\leq\ln(x+1)-\ln(x)\leq \frac{1}{x}$.
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Pour chacune des fonctions suivantes expliciter l'ensemble image, puis montrer que ces fonctions réalisent des bijections de classe $\mathcal{C}^1$ (dérivables à dérivées continues) de leur domaine de définition vers leur image.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\begin{aligned}\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ &\to \R \\ x \quad &\mapsto \sin(x) \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}]0,\pi[ &\to \R \\ x \quad &\mapsto \cos(x) \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ &\to \R \\ x \quad &\mapsto \tan(x) \end{aligned}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\item Pour chacune de ces fonctions, calculer la dérivée de la bijection réciproque qui est notée respectivement :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\arcsin$ 
\item $\arccos$
\item $\arctan$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère la fonction polynomiale $P : x \mapsto x^{11} - 8x + 4$ définie sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les dérivées première et seconde de $P$.
\item Montrer que $P$ s'annule au plus trois fois sur $\R$.\\
\emph{Indication :} utiliser le théorème de Rolle.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : [0,1]  \to [0,1]$ continue. Montrer qu'il existe $x_0 \in [0,1]$ tel que $f(x_0)=x_0$. Ce point est-il unique ? Le résultat est-il encore vrai sans hypothèse de continuité ?\\
\emph{Indication :} considérer l'application $g : x \mapsto f(x)-x$.
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Soit $f : \R \to \R$ la fonction définie par $x \mapsto \left\{ \begin{aligned} &x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \quad &\textrm{si} \ x \neq 0 \\ &0 &\textrm{si} \ x = 0. \end{aligned} \right.$ Cette fonction est-elle continue ? Est-elle dérivable ?
\item Mêmes questions avec la fonction $g : \R \to \R$ définie par $x \mapsto \left\{ \begin{aligned} &x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \quad &\textrm{si} \ x \neq 0 \\ &0 &\textrm{si} \ x = 0. \end{aligned} \right.$
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}

% Fiche longue, même pour deux séances. Nombreux rappels nécessaires sur les croissances comparées notamment.

% Exo 1 et 2 longs et chiants mais apparemment nécessaires.

% Exo 3, supprimer 2 et 10, 5 à mettre à la fin. En faire 4 puis laisser le reste à la maison.

% Exo 4 à reléguer plus loin dans la fiche, après de sérieux rappels sur la dérivation.

% En général, il faut insister sur tout ce qui touche aux composées.

% Exo 11, premier contact avec les fonctions réciproques. Serait sans doute mieux avec une seule fonction, et plus simple, par exemple l'exponentielle.

% Exo 12, 13 et 14 vraiment dispensables.