\documentclass[a4paper,twoside,leqno,12pt]{article}

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\usepackage{multicol}
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\usepackage{enumerate}

% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Se}{\mathbb{S}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

\newcommand{\lgu}{``}
\newcommand{\rgu}{''}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\bar}{\overline}

% Mise en page
\parskip=3pt
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% Informations document
\author{Corentin Avicou}
\date{13 mars 2014}
\title{TMB printemps 2014 - fiche 5 - Applications linéaires et matrices}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Techniques mathématiques de base}
\rhead{Printemps 2014}
\lfoot{Licence PCSI}
\rfoot{Université Claude Bernard - Lyon 1}

\begin{center}
\Large{Fiche 5 - Applications linéaires et matrices (suite)}
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
On considère les matrices suivantes.
\[
A=\begin{pmatrix}
1  & 2  & 3 
\end{pmatrix}\quad
B=\begin{pmatrix}
1 \\  -2  
\end{pmatrix}\quad
C=\begin{pmatrix}
2 &  1   \\
-3 & 0\\
1&2
\end{pmatrix}\quad
D=\begin{pmatrix}
-2 &  5   \\
5 & 0
\end{pmatrix}\quad
E=\begin{pmatrix}
-1 &  1 & 3 \\
-1 & -4& 0\\
0 &2&5
\end{pmatrix}
\]
Quels sont les produits matriciels possibles? En calculer au moins cinq. 
\end{exo}

\begin{exo}\label{mat}Pour chacune des matrices suivantes, calculer son carré et son cube.
\[
F=\begin{pmatrix}3 & -1 \\2 & 4\end{pmatrix}\quad G=\begin{pmatrix}5 & 1 \\5 & 1\end{pmatrix}\quad H=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1  \\2 & 1 & 0  \\1 & -1 & 1\end{pmatrix}\quad  J=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\3 & -2& 0 \\-1 & 2 & 3\end{pmatrix}\quad
\]
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer l'ensemble des vecteurs colonnes $X$ tels que :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $FX=\begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}$
\item $FX=\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}$
\item $GX=\begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}$
\item $GX=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$
\item $HX=\begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix}$
\item $HX=\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}$
\item $JX=\begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix}$
\item $JX=\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer le déterminant de chacune des matrices de l'exercice \ref{mat}.
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer l'inverse, lorsqu'il existe de chacune des matrices de l'exercice \ref{mat}.
\end{exo}

\begin{exo}
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}
a &  b  \\
0 & a\end{pmatrix}$ où $(a,b) \in \R^2$. 
\begin{enumerate}[a.]
\item Calculer $A^2$ et $A^3$. 
\item Calculer $A^n$ pour tout entier $n$ strictement positif.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère les matrices 
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & -3 & 2 \\2 & 4 & -2 \\1 & -1 & 1\end{pmatrix} \quad \textrm{et} \quad B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\1 & 1 & -2 \\1 & 2 & -1\end{pmatrix}. 
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer $AB$ et $BA$ et les comparer. 
\item Calculer $\det(A)$ et $\det(B)$. 
\item Vérifier par le calcul que $\det(AB)=\det(BA)$. Comparer avec $\det(A)\det(B)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère les matrices suivantes : 
\[ K=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\0 & 2
\end{pmatrix} \quad
L= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\0 & 0
\end{pmatrix} \quad
M=\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\0 & 1
\end{pmatrix} \quad \textrm{et} \quad
N=\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{-1}{2} \\\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}. 
\]
Quelles sont celles qui déterminent des symétries ? Des projections ? Des rotations?  
\end{exo}

% Un peu trop long pour une séance, supprimer l'exo 6, de toute façon les élèvse ne connaissent pas bien la récurrence.

% Exo 3, laisser 5 à 8 aux élèves.

% Exo 8 pas vraiment utile pour eux, mais peut tomber aux partiels.

% Exo 7 bien, mais serait mieux sur des matrices 2x2, calculs plus simples.

\end{document}