\documentclass[a4paper,twoside,leqno,12pt]{article}

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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Se}{\mathbb{S}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

\newcommand{\lgu}{``}
\newcommand{\rgu}{''}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\bar}{\overline}

% Mise en page
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% Informations document
\author{Corentin Avicou}
\date{13 mars 2014}
\title{TMB printemps 2014 - fiche 4 - Applications linéaires et matrices}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Techniques mathématiques de base}
\rhead{Printemps 2014}
\lfoot{Licence PCSI}
\rfoot{Université Claude Bernard - Lyon 1}

\begin{center}
\Large{Fiche 4 - Applications linéaires et matrices}
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
Parmi les applications suivantes indiquer, en justifiant, celles qui sont linaires.
\begin{enumerate}[a.]
\begin{multicols}{2}
\item $f : \R^2 \rightarrow \R^2,  f(x,y)=(2x+3y, 3x-5y) $
\item $f : \R^2 \rightarrow \R\phantom{^2},  f(x,y)= \sin(x) $
\item $f : \R^3 \rightarrow \R^2, f(x,y, z)=(x+2y, y-z^2)$
\item $f : \R^2 \rightarrow \R^2, f(x,y)=(x+y, 2x+3y)$
\end{multicols}
\item $f : \R\phantom{^2} \rightarrow \R\phantom{^2},\quad f(x)=\lfloor x\rfloor$ (Où $\lfloor x\rfloor$ désigne la partie entière de $x$.)
\item $f : \R^3 \rightarrow \R^3,\quad f(x,y,z)=(x+y+1, y-z, 3x+z+2)$
\item $f : \R^3 \rightarrow \R^2,\quad f(x,y,z)=\begin{pmatrix}1&0&1 \\2&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer les matrices des applications linéaires suivantes dans les bases canoniques des espaces vectoriels concernés.
\begin{enumerate}[a.]
\item $f : \R^2 \rightarrow \R^2, f(x,y)=(2x+3y, 3x-5y)$
\item $f : \R^2 \rightarrow \R^2,   f(x,y)= (2x-3y, x+y)$
\item $f : \R^2 \rightarrow \R^3,  f(x,y)=(2x-y,x+y,  x-y)$
\item $f : \R^3 \rightarrow \R^2, f(x,y,z)=(x+y, y-z)$ 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} Pour chaque application linéaire $f:\R^3\rightarrow \R^3$ et chaque vecteur $(u,v,w)$ ci-dessous, déterminer tous les vecteurs $(x,y,z)$ tels que $f(x,y,z)=(u,v,w)$.
\begin{enumerate}[a.]
\item $f (x,y,z) = (x+2y-z , 2x+y,x-y+z)$ et $(u,v,w)=(0,0,0)$
\item $f (x,y,z) = (x+2y-z , 2x+y,x-y+z)$ et $(u,v,w)=(1,2,1)$
\item $f (x,y,z) = (x ,x+y,x+y+z)$ et $(u,v,w)=(0,0,0)$
\item $f (x,y,z) = (x ,x+y,x+y+z)$ et $(u,v,w)=(1,-1,0)$
\item $f (x,y,z) = (x ,x-z,x+z)$ et $(u,v,w)=(0,0,0)$
\item $f (x,y,z) = (x ,x-z,x+z)$ et $(u,v,w)=(0,1,-2)$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} Les applications linéaires suivantes sont-elles inversibles ? Si oui, déterminer leurs inverses.
\begin{enumerate}[a.]
\item $f (x,y,z) = (x+2y-z , 2x+y,x-y+z)$
\item $f (x,y,z) = (x ,x+y,x+y+z)$
\item $f (x,y,z) = (x ,x-z,x+z)$
\item $f (x,y,z) = (2x+z,3x-2y,-x+2y+3z)$
\item $f (x,y,z) = (x+2y+3z,2x+3y+z,3x+y+2z)$
\item $f (x,y,z) = (-x+y+3z,-x-4y,2y+5z)$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f :\R^2 \rightarrow \R^3$ et $g :\R^3 \rightarrow \R^2$ les deux applications linéaires définies, en coordonnées cartésiennes, par 
\[f(x,y)=(2x+y, -y, x-2y), \quad g(x,y,z)=(x-z, 2y).\] 
\begin{enumerate}[a.]
\item Calculer les applications composées $g \circ f :\R^2 \rightarrow \R^2$ et $f \circ g : \R^3 \rightarrow \R^3$. 
\item Trouver les matrices $A$ et $B$ qui représentent $f$ et $g$ dans les bases canoniques  de $\R^2$ et $\R^3$. 
\item Vérifier que les produits $BA$ et $AB$ représentent les composés $g \circ f$ et $f \circ g$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

% Longueur bien pour une séance.

% Exo 1 chiant, mettre des exemples vraiment basiques d'AL, genre x \mapsto ax.

% Laisser la fin des exos calculatoires (3 et 4) aux élèves.

\end{document}